Snitker jugó en el campo derecho en el equipo de béisbol de la Macon High School de 1971 en Illinois. La sorprendente carrera del equipo hasta el torneo del campeonato estatal fue documentada en el libro de Chris Ballard de 2012 One Shot at Forever: A Small Town, an Unlikely Coach, and a Magical Baseball Season.
De joven, Snitker también jugó al American Legion Baseball, una experiencia que, según dijo en una entrevista de 2018, «me dio la plataforma para ser visto porque siempre hay ojeadores en los partidos de la Legión Americana. Tuvo una gran parte en mi desarrollo como jugador y me ayudó a dar un salto en una carrera profesional.»
Snitker es un graduado de la Universidad de Nueva Orleans.
Snitker se unió a la organización de los Braves en las ligas menores como jugador en 1977, jugando hasta 1980. Jugó principalmente como receptor y algo de primera base en las ligas menores, bateando .254/.316/.390 con 23 jonrones en 780 bateos.
Snitker ha sido gerente de los Anderson Braves, Macon Braves, Durham Bulls, Myrtle Beach Pelicans, Greenville Braves, Mississippi Braves y Richmond Braves, todos en el sistema de granjas de los Braves. También fue el entrenador de bullpen de los Atlanta Braves en 1985 y 1988-1990. Algunos de sus honores durante su carrera de quince años como gerente de ligas menores son haber ganado dos campeonatos con los Myrtle Beach Pelicans en 1999 y 2000, y en esos mismos años ganó el Gerente del Año de la Liga de Carolina.
De 2007 a 2013, Snitker se desempeñó como entrenador de tercera base de los Braves. Fue nombrado en ese puesto el 3 de octubre de 2006, en sustitución de Fredi González, quien se fue para unirse a los Marlins de Florida como gerente. Cuando González fue nombrado gerente de los Braves para la temporada 2011 tras el retiro de Bobby Cox, Snitker se mantuvo como entrenador de tercera base.
El 14 de octubre de 2013, Snitker fue nombrado gerente del club Triple-A de los Braves, los Gwinnett Braves.
El 17 de mayo de 2016, Snitker fue nombrado gerente interino de Atlanta, en sustitución de Fredi González, quien fue despedido. El 11 de octubre de 2016, los Braves nombraron a Snitker su gerente de tiempo completo para la temporada 2017. El equipo anunció el 5 de octubre de 2017 que Snitker regresaría como gerente para la temporada 2018. El 15 de octubre de 2018, los Braves le dieron a Snitker una extensión de contrato de dos años con una opción del club para 2021. El 13 de noviembre de 2018, Snitker fue galardonado con el Premio al Gerente del Año de la Liga Nacional para la temporada 2018. Snitker compartió ese año el Premio al Gerente del Año de la Liga Nacional de Sporting News con Craig Counsell. En 2019, llevó a los Braves a su segundo título de división consecutivo. Snitker y Counsell fueron nombrados finalistas para el Premio al Mánager del Año de la Liga Nacional en 2019, perdiendo ante Mike Shildt. El 23 de octubre de 2019, Snitker ganó su segundo premio Sporting News National League Manager of the Year. En febrero de 2020, Snitker acordó otra extensión de contrato con los Braves, hasta la temporada 2021. El 22 de septiembre de 2020, los condujo a un tercer título consecutivo de la División Este de la Liga Nacional cuando los Braves derrotaron a los Marlins por 11-1. Snitker llevaría a los Braves a una barrida de la serie 2-0 sobre los Cincinnati Reds en la Serie de Comodines de la Liga Nacional,
El 26 de febrero de 2021, Snitker firmó otra extensión para permanecer con los Braves hasta la temporada 2023 con una opción del club para 2024.