Geometri: Linjer og vinkler

Linjer og vinkler udgør næsten alle geometriske figurer. Så lad os dykke ned i geometri ved at diskutere disse meget grundlæggende elementer i figurer.

Nu kan vi begynde at tale om geometri. Og geometri er selvfølgelig studiet af figurer. Nu for nogle mennesker, der er visuelt orienterede, kommer geometri meget naturligt. Og andre mennesker, som ikke har udviklet deres visuelle evner, kan geometri være lidt sværere.

Sær for de mennesker, for hvem geometri er lidt sværere, vil jeg sige følgende.

Det er ikke nok blot at se disse videoer. Når du har set dem, skal du tage papir og en lineal frem og tegne disse forskellige former, faktisk fysisk tegne dem på papiret. Og bygge former og fysiske objekter. Du kan bruge blyanter, tandstikkere, sugerør, alt muligt lignende. Byg reelt trekanter, byg rektangler, se på dem.

Brug dine hænder!

Brug dine hænder, vores hænder er faktisk en del af vores intelligens. Når du bruger dine hænder, engagerer du alle dele af hjernen. Det vil gøre det meget lettere, at forstå alle disse sammenhænge.

Så lad os begynde med linjer. Linjer er lige, og de fortsætter for evigt i begge retninger. Her har vi en masse forskellige lige linjer, i en masse forskellige retninger. Du skal forestille dig, at der for enden af hver linje er nogle pile eller noget i den retning. Det viser, at linjerne faktisk fortsætter evigt i begge retninger.

Linjer og vinkler: Alle linjer er lige

Det er meget vigtigt, at man ikke forveksler lige med vandret. Disse to ord har meget forskellige betydninger, men nogle gange er der nogle elever, der forveksler dem. Alle linjer er lige. Så alle de linjer, som vi havde på det foregående dias, linjer, der går i forskellige retninger, er alle sammen lige linjer.

Og du kan altid gå ud fra, at en linje er lige i prøven. Hvis den ser lige ud, er den også lige. Det er altid sandt i testen. Men nogle linjer er tegnet vandret for nemheds skyld. Du kan dog aldrig antage, at linjer er nøjagtigt vandrette eller lodrette, blot fordi de ser sådan ud. Nu bliver folk virkelig forvirrede over dette. Du er forvirret, hvis du tror, at vandret og lige betyder det samme.

Så vi siger, at man ud fra testen kan gå ud fra, at linjer er lige. Folk antager fejlagtigt, at det også betyder, at de kan antage, at linjer er vandrette, og det er ikke korrekt. Et linjestykke er et endeligt stykke af en linje.

Eksempel

Så for eksempel har vi her et linjestykke, det har to endepunkter. Og når disse endepunkter er mærket, gør det det det nemt at diskutere.

Dette er linjestykket AB. Og i forbindelse med testen kan AB enten betyde selve linjestykkets form. Eller det kan betyde længden af linjestykket, den numeriske længde. Der opstår en vinkel mellem to linjer eller to segmenter. Her har vi f.eks. en vinkel.

Linjer og vinkler: Forståelse af vinkler

Dette sker mellem en linje og et segment. Den bedste måde at forstå en vinkel på er at tænke på den dynamisk, som den handling at dreje eller rotere. Altså med andre ord, at gå fra her til her. Det er det, en vinkel er, det er det dynamiske rum mellem de to linjer. Hvis vi mærker punkter, kan vi tale om en vinkel.

Mærkning af vinkler

Vi kunne kalde denne vinkel enten CDE eller EDC, punkt D, vinkelens toppunkt. Lige her skal vinkelens punkt være i midten af navnet. Og så kan vi altså kalde den enten CDE eller EDC, så længe toppunktet er i midten. Nogle gange vil jeg i disse videoer også bruge det enkelte vinkelnavn, hvis der ikke er nogen tvetydighed. Der er f.eks. kun én vinkel i dette diagram.

Så jeg kunne kalde den vinkel D. Teoretisk set kunne det forekomme i prøven. Selv om testen ofte er omhyggelig nok til altid at bruge et navn på tre bogstaver for en vinkel. Vi måler størrelsen af en vinkel i grader. Testen kan angive disse direkte, altså 50 grader.

Alternativt kan prøven mærke diagrammet og angive målene for vinklen i teksten. Så vinkel GFH = 50 grader, fordi de sætter bogstaver på punkterne i diagrammet. Det kan vi bare bruge til at tale om dette mål, i antallet af grader i teksten. Faktisk er det nok det foretrukne at gøre følgende bare angive vinkel, med et variabelt antal grader.

Fleksibelt testformat

Dette fleksible format giver dem mulighed for enten at angive vinklen, for i teksten kan de sige x = 50, eller de kan stille et spørgsmål om det. De kunne give os andre oplysninger og sige find x. Så de ville kunne lide at gøre dette. Vi vil lave en hurtig gennemgang af grundlæggende fakta om grader. I en lige vinkel er der 180 grader, og husk selvfølgelig, at en lige linje kan gå i alle retninger.

Men hvis der er et hvilket som helst punkt på den lige linje, hele vejen rundt fra den ene side af linjen til den anden. Det er 180 grader, der er 90 grader i en ret vinkel. Så her har vi to linjer, der skærer hinanden i rette vinkler. Der er faktisk fire rette vinkler i dette skæringspunkt. Hvis de to linjer eller segmenter mødes i rette vinkler, kaldes de vinkelrette, det er et begreb, du bør kende.

Lodrette linjer og rette vinkler

Testen kan enten tegne det lille kvadrat, det vinkelrette tegn, som er det lille kvadrat, eller den kan angive, at vinklen er 90 grader. Den kan mærke 90 grader i diagrammet eller X grader og fortælle os i teksten, at X er lig med 90. Der er mange forskellige måder, hvorpå de kan fortælle os, at det er en vinkel på 90 grader. Du må ikke antage, at to linjer er vinkelrette, hvis du ikke udtrykkeligt får det at vide, det er ofte en fælde.

Sæt, at disse punkter optræder som en del af et større diagram, og at der ikke er givet yderligere oplysninger. Det ser bestemt ud som om, at de kunne være i en ret vinkel, og det er meget fristende at antage. Prøven vil meget gerne have, at du begår den fejl, at du antager, at linjerne er vinkelrette, og at vinklen er lig med præcis 90 grader.

Det gør den faktisk ikke, jeg har tegnet det her, så den vinkel der er en vinkel på 89,6 grader. Så det er tæt på at være en ret vinkel, og det kan se ud som en ret vinkel med det blotte øje. Men ingen af de specielle egenskaber for den rette vinkel er sande.

Og i de kommende videoer vil vi tale mere om specielle retvinklers egenskaber. Ingen af de specielle retvinklede egenskaber er sande, hvis vinklen er tæt på 90, men ikke præcis 90.

Virkeligt vigtigt, så du kan ikke antage, at to linjer er vinkelrette, medmindre du har en eller anden form for begrundelse for at gøre det.

Linjer og vinkler: Kongruente figurer

Et begreb, som jeg vil introducere, og som sandsynligvis ikke vil optræde i prøven, er kongruent. Kongruent er ligesom lige, når det gælder figurer. Vi bruger begrebet “lige” for et tal og det meget lignende begreb “kongruent” for figurer.

To figurer er kongruente, hvis de har samme form og samme størrelse.

De behøver ikke at have samme orientering. Så for eksempel er den lilla og den grønne form her kongruente, den ene er vendt om i forhold til den anden. Den ene kan man sige er en højrevendt version, og den anden er en venstrevendt version, men det er grundlæggende den samme form.

Disse to er kongruente, selv om de har forskellige orienteringer.

Bisektorer

En bisektorer skærer noget i to kongruente stykker. En vinkelhalvdeler skærer en vinkel i to mindre kongruente vinkler. Så her har vi f.eks. en vinkelhalvdeler. Hvis vi f.eks. får at vide, at den store vinkel, PNM, er 40 grader, og at NQ skærer vinklen i to dele – så kan vi udlede, at de to mindre vinkler hver skal være 20 grader.

De skal hver især være præcis halvt lige store, fordi vinklen blev halveret. På samme måde kan et segments vinkelhalvdel være et punkt, et andet segment eller en linje. Bisektoren deler segmentet i to lige store halvdele. Bemærk her, at segmentet ST er halvdelen af PQ. Bemærk også, at det er helt sikkert sandt, at PQ ikke halverer ST, fordi SR er klart større end RT.

Så det faktum, at ST halverer PQ, betyder, at R er midtpunktet af PQ, og at PR = RQ. Vi har delt den i to lige store halvdele, og igen, det er altid det, som en halvdeling betyder. Nogle gange vil en linje dele et segment i to dele og også være vinkelret på det. Linjen kaldes en vinkelhalveringslinje på segmentet.

Linje VW er vinkelret, det er vinkelhalveringslinjen på TU. Hvert punkt på den vinkelrette halvlinje til et segment er lige langt fra de to endepunkter på segmentet. Det er en meget praktisk kendsgerning at vide, som viser sig på mange forskellige måder. Den vinkelrette vinkelhalvdel er faktisk mængden af alle mulige punkter, der er lige langt fra de to endepunkter på segmentet.

Linjer og vinkler: Lad os se på vinkler

Nu nogle grundlæggende fakta om vinkler. Vi har allerede sagt, at en ret linje indeholder 180 grader. Det betyder, at hvis to eller flere vinkler ligger i en ret linje, er summen af deres vinkler 180 grader. Så vi kan f.eks. antage, at denne lange linje er lige. Den har ikke en eller anden form for lille bøjning på det punkt.

Det vil testen ikke gøre for os, hvis den ser lige ud, er den lige. Og derfor ved vi, at de to vinkler tilsammen giver 180. Så x + y = 180. Hvis de to vinkler tilsammen giver 180, så kaldes de supplerende. To vinkler på en lige linje er altid komplementære. Så p + q = 180.

Når to linjer krydser hinanden

Når to linjer krydser hinanden, dannes der fire vinkler. Så her har vi to linjer, der fortsætter i en uendelighed i begge retninger, de er nødt til at krydse hinanden, og disse fire vinkler dannes. De par af vinkler, der ligger over for hinanden, og som kun har toppunktet til fælles, kaldes lodrette vinkler, og lodrette vinkler er altid kongruente. Så for eksempel A og C, de har ikke nogen sider til fælles.

Det eneste, som a og c har til fælles, er, at de berører hinanden i et enkelt toppunkt. De berører hinanden ved toppunktet, b og d berører også hinanden ved toppunktet. Og det er altså derfor, de kaldes lodrette vinkler, fordi de mødes i et toppunkt. Så vi ved, at lodrette vinkler er kongruente, vi ved, at a = c, og b = d. Selvfølgelig er de par af vinkler ved siden af hinanden, a + b, b + c, alle sammen komplementære.

De summerer alle sammen til 180 grader, fordi vi har vinkelpar på en linje. Hvis vi fik én vinkel i dette diagram, kan vi derfor finde de tre andre vinkler. Hvis f.eks. a = 35, ved vi, at c skal være lige stor. Det skal også være 35 grader. Og b og d skal være den supplerende vinkel på 145 grader. Så alle to par sammen, alle to vinkler sammen i et par, giver tilsammen 180 grader.

Linjer og vinkler: Øvelsesopgave et

Her er en øvelsesopgave, sæt videoen på pause, og så taler vi om dette.

Okay I diagrammet er x = 40 grader, og RT halverer den store vinkel SRU ,som er en meget stor vinkel. Jamen SRU er jo den supplerende vinkel til den 40 graders vinkel, så SRU må være 180 minus 40, hvilket ville være 140. Så SRU er 140.

Og denne vinkel er halveret, fordi den er halveret, den er skåret i to lige store halvdele. Så der er to halvdele, som hver skal være 70 grader. SRT =70 grader, TRU = 70 grader. Det er de to lige store halvdele af den vinkel, der blev halveret. Læg nu mærke til, at vinklen TRV, denne vinkel består af TRU og vinkel x, som vi kender.

Vi ved, at TRU er 70 grader, vi ved, at vinkel X er 40 grader, så vi lægger dem sammen. TRV må være en vinkel på 110 grader. Bemærk nu, at TRV er den lodrette vinkel på SRW, så de to må være lige store. Så det betyder, at SRW også skal være en vinkel på 110 grader, så Y er lig med 110. Til sidst vil vi gennemgå parallelle linjer.

Linjer og vinkler: Parallelle linjer

Hvis to linjer er parallelle, skærer de aldrig hinanden, og de er altid præcis lige langt fra hinanden. Og igen, dette er endnu en af disse egenskaber, ligesom vinkelret, tæt på parallel, ikke tæller for bønner. Man skal vide, at de to linjer er nøjagtigt parallelle. Da parallelle linjer aldrig skærer hinanden, danner de naturligvis heller aldrig vinkler med hinanden.

Transversale linjer

Vi får dog mange vinkler, hvis en tredje ikke-parallel linje skærer de to parallelle linjer på tværs af hinanden. Denne tredje linje kaldes en tværlinje. En transversal er en linje, der skærer to parallelle linjer på tværs af to parallelle linjer. Her har vi altså en tværlinje, der skærer de parallelle linjer WX og YZ. Og vi får otte engle der.

Nu er de fire store engle alle lige store. Og de fire små engle er alle lige store. Så med andre ord a = d = e = h og b = c = f = g, det er den store idé. Nu blandt disse, kan du selvfølgelig huske fra geometrien, er der alle mulige specielle navne.

Alternativ indvendig og samme side udvendig og tilsvarende vinkler. Hvis du vil huske alle disse specielle navne, er det fint nok, det behøver du ikke. Det eneste du behøver at huske er, at alle de store vinkler er lige store, alle de små vinkler er lige store. Så her er diagrammet igen, og nu har jeg mærket det, så det er tydeligt, at alt er lige stort.

Linjer og vinkler: Supplerende vinkler

Også bemærk, at p og q er supplerende. Så enhver stor vinkel plus enhver lille vinkel er lig med 180 grader, det er en rigtig stor idé. Hvis vi altså får graden af en hvilken som helst af vinklerne her, kan vi finde de syv andre vinkler. Sammenfattende kan man sige, at vi har talt om linjer og linjestykker, vi har talt om vinkler og grader.

Vi gjorde opmærksom på, at der er 180 grader i en lige vinkel og 90 grader i en retvinklet vinkel. Vi talte om vinkelhalveringslinjer og vinkelhalveringslinjer. En vinkelhalvdeler deler en vinkel op i to mindre lige store vinkler. En vinkelhalvdeler er vinkelret på et segment og deler det i to lige store halvdele.

Vi talte om, hvordan to vinkler på en linje er komplementære. Lodrette vinkler er kongruente. Og vi talte om de vinkler, der dannes af en tværlinje, som skærer et par parallelle linjer. Og vi vil tale om mange anvendelser af disse grundlæggende idéer i de kommende videoer.