Del 1: Dividerer med mindre og mindre tal
af en matematiklærer fra gymnasiet
Sæt, at du har en pizza. En dejlig kulkogt fra New Haven, eller en ovnvarm Chicago deep-dish, eller endda en af de økologiske San Francisco håndværkerpizzaer, der på en eller anden måde får artiskokhjerter til at se ud som om, de hører til på en pizza. Og som den gavmilde sjæl, du er, har du besluttet at dele.
Hvor mange mennesker kan du brødføde, hvis alle får en halv pizza (en stor portion)?
Det er 1 pizza ÷ ½ pizza pr. person = 2 personer.
Og hvor mange kan du brødføde, hvis alle får 1/10 af en pizza (en ostehygge)?
1 pizza ÷ 0,1 pizzaer pr. person = 10 personer.
Og hvor mange kan du brødføde, hvis alle får 1/100 af en pizza (en bid af en pizza)?
1 pizza ÷ 0,01 pizzaer pr. person = 100 personer.
Og hvor mange kan du brødføde, hvis alle får 1/1000 af en pizza (en krumme med en klat sauce)?
1 pizza ÷ 0,001 pizzaer pr. person = 1000 personer.
Jo mindre skive du giver til hver person, jo flere personer kan du brødføde. Eller mere abstrakt: Jo mindre det tal, du dividerer med, jo større er resultatet.
Tag det nu et skridt videre: Hvad hvis hver person får 0 % af en pizza?
1 pizza ÷ 0 pizzaer pr. person = ???
Hvor mange mennesker kan du brødføde? Tja, der er ingen grænse, for du fodrer dem faktisk ikke med noget. Hvis jordens syv milliarder mennesker alle dukker op ved din dør og beder om deres andel af pizza, kan du sige “Intet problem!”, fordi “deres andel af pizza” ikke udgør noget som helst. Tilføj syv milliarder mere, og du ville sige det samme. Hvor mange mennesker kan du brødføde? Der er intet svar.
Når man dividerer et tal med 0, er der ikke noget enkelt svar. At dividere er at dele noget op i bunker af en bestemt størrelse. Og at dele noget i bunker af størrelse nul giver bare ikke mening.
Del 2: “Inverse of Multiplication”
af en matematisk ph.d.-studerende
Mens hun stod og vaskede op, spurgte jeg min forlovede, hvorfor man ikke kan dividere med nul. Hendes spontane svar var mere kortfattet end mit. (Til mit forsvar kan jeg sige, at jeg får opvasken renere, end hun gør.)
Når du dividerer med et tal – lad os sige 4 – spørger du: “Hvor mange gange kan 4 gå ind i tallet?” Så:
Men når du dividerer med 0, spørger du: “Hvor mange gange kan 0 gå ind i tallet?” Og uanset hvor mange nuller du lægger til, vil 0 + 0 + 0 + 0 + 0 … aldrig blive lig med 12. Så 12 ÷ 0 er udefineret.
Del 3: “Inverse of Multiplication” Redux
af en matematikspecialist på grundskoleniveau
Jeg kørte derefter begge disse forklaringer med min søster Jenna, der er matematikspecialist på K-8-niveau. Hun kunne godt lide Taryns svar og gav sin egen, endnu mere kortfattede version.
Division er det omvendte af multiplikation. Så når du dividerer 12 med 4, siger du: “Hvad gange 4 giver dig 12?”
Derfor er dividere med nul det samme som at spørge: “Hvad gange 0 giver dig 12?” Der er naturligvis ikke noget svar, da ethvert multiplum af 0 vil være 0.
Del 4: At binde det hele sammen
af en professor (min far)
Ved en middag med min far James (professor i operationsforskning) bad jeg ham om at forklare, hvorfor man ikke kan dividere med nul. Han gav en forklaring, der lignede min temmelig meget, og opsummerede derefter de relative fordele ved de to tilgange ganske fint.
Den Taryn/Jenna-forklaring, sagde han, går lige til sagen og vil tilfredsstille et bredere (og yngre) publikum. Den starter med at sige: “Nå, her er hvad division er” og viser derefter, at begrebet ikke giver mening, når det anvendes på nul.
Ben/James’ forklaring er derimod værdifuld, fordi den ikke går lige til sagen. Den forbinder spørgsmålet “Kan man dividere med nul?” med andre idéer (grænser og asymptotisk opførsel) og går mere ind på problemets begrebsmæssige kerne.
Hvorom alting er, så har du det. Fire matematiske fagfolk, to grundlæggende forklaringer og endnu en blog, der føjer sin stemme til larmen af svar om dette emne.