Matematik er måske mere en miljøvidenskab, end vi er klar over. Selv om den er en søgen efter evige sandheder, har mange matematiske begreber deres oprindelse i hverdagens erfaringer. Astrologi og arkitektur inspirerede egypterne og babylonierne til at udvikle geometri. Studiet af mekanikken under den videnskabelige revolution i det 17. århundrede bragte os regnearket.
Mærkværdigt nok viser det sig, at ideer fra kvanteteorien også har en enorm matematisk kraft, selv om vi har meget lidt daglig erfaring med elementarpartikler. Kvanteteoriens bizarre verden – hvor tingene tilsyneladende kan være to steder på samme tid og er underlagt sandsynlighedslovene – repræsenterer ikke blot en mere grundlæggende beskrivelse af naturen end det, der gik forud for den, den giver også en rig kontekst for den moderne matematik. Kunne kvanteteoriens logiske struktur, når den først er fuldt forstået og absorberet, inspirere til et nyt matematisk område, som kunne kaldes “kvantematematik”?
Der er naturligvis et langvarigt og nært forhold mellem matematik og fysik. Galileo skrev berømt om en naturbog, der venter på at blive afkodet: “Filosofien er skrevet i denne store bog, universet, som hele tiden står åben for vores blik. Men bogen kan ikke forstås, medmindre man først lærer at forstå sproget og læse de bogstaver, som den er skrevet med. Den er skrevet på matematikkens sprog.” Fra mere moderne tid kan vi citere Richard Feynman, som ikke var kendt som en kendere af abstrakt matematik: “For dem, der ikke kender til matematik, er det vanskeligt at få en reel følelse af naturens skønhed, den dybeste skønhed, frem. … Hvis man ønsker at lære om naturen, at værdsætte naturen, er det nødvendigt at forstå det sprog, som den taler på.” (På den anden side udtalte han også: “Hvis al matematik forsvandt i dag, ville fysikken blive sat præcis en uge tilbage”, hvortil en matematiker havde den kloge replik: “Det var den uge, hvor Gud skabte verden.”)
Den matematiske fysiker og nobelpristager Eugene Wigner har skrevet velformuleret om matematikkens fantastiske evne til at beskrive virkeligheden og karakteriseret den som “matematikkens urimelige effektivitet i naturvidenskaberne”. De samme matematiske begreber dukker op i en lang række sammenhænge. Men i disse dage synes vi at være vidne til det modsatte: kvanteteoriens urimelige effektivitet i den moderne matematik. Ideer, der stammer fra partikelfysikken, har en uhyggelig tendens til at dukke op i de mest forskelligartede matematiske områder. Dette gælder især for strengteori. Dens stimulerende indflydelse i matematikken vil have en varig og givende virkning, uanset hvilken rolle den i sidste ende kommer til at spille i den grundlæggende fysik. Antallet af discipliner, som den berører, er svimlende: analyse, geometri, algebra, topologi, repræsentationsteori, kombinatorik, sandsynlighedsregning – listen fortsætter og fortsætter. Man begynder at få ondt af de stakkels studerende, der skal lære alt dette!
Hvad kan være den underliggende årsag til kvanteteoriens urimelige effektivitet? Efter min mening hænger det tæt sammen med, at i kvanteverdenen sker alt, hvad der kan ske, også.
Den klassiske mekanik forsøger på en meget skematisk måde at beregne, hvordan en partikel bevæger sig fra A til B. Den foretrukne vej kunne f.eks. være langs en geodætisk bane – en bane af minimal længde i et krumt rum. I kvantemekanikken betragter man i stedet en samling af alle mulige veje fra A til B, uanset hvor lange og snoede de er. Dette er Feynmans berømte “sum over historier”-fortolkning. Fysikkens love vil derefter tildele hver vej en vis vægt, som bestemmer sandsynligheden for, at en partikel vil bevæge sig ad den pågældende bane. Den klassiske løsning, der adlyder Newtons love, er simpelthen den mest sandsynlige af de mange løsninger. Så på en naturlig måde studerer kvantefysikken på en naturlig måde mængden af alle baner som et vægtet ensemble, hvilket giver os mulighed for at summere over alle muligheder.
Denne holistiske tilgang, hvor man betragter alt på én gang, er meget i tråd med den moderne matematiks ånd, hvor studiet af “kategorier” af objekter fokuserer meget mere på de indbyrdes relationer end på et specifikt individuelt eksempel. Det er dette fugleperspektiv på kvanteteorien, der bringer overraskende nye sammenhænge frem.
Kvantetællere
Et slående eksempel på kvanteteoriens magi er spejlsymmetri – en virkelig forbløffende ækvivalens af rum, der har revolutioneret geometrien. Historien starter i enumerativ geometri, en veletableret, men ikke særlig spændende gren af algebraisk geometri, der tæller objekter. Forskere kan f.eks. ønske at tælle antallet af kurver på Calabi-Yau-rum – seks-dimensionelle løsninger på Einsteins tyngdeligninger, der er af særlig interesse i strengteori, hvor de bruges til at krølle ekstra rumdimensioner.
Som man kan vikle et elastikbånd rundt om en cylinder flere gange, er kurverne på et Calabi-Yau-rum klassificeret ved et heltal, kaldet graden, der måler, hvor ofte de vikler sig rundt. At finde antallet af kurver af en given grad er et berømt svært problem, selv for det enkleste Calabi-Yau-rum, det såkaldte quinticum. Et klassisk resultat fra det 19. århundrede fastslår, at antallet af linjer – kurver af grad 1 – er lig med 2 875. Antallet af grad-to-kurver blev først beregnet omkring 1980 og viser sig at være meget større: 609 250. Men antallet af kurver af grad tre krævede hjælp fra strengteoretikere.
Omkring 1990 bad en gruppe strengteoretikere geometrikerne om at beregne dette antal. Geometrikerne udtænkte et kompliceret computerprogram og kom tilbage med et svar. Men strengteoretikerne havde mistanke om, at det var fejlagtigt, hvilket tydede på en fejl i koden. Ved kontrol bekræftede geometrikerne, at der var en fejl, men hvordan vidste fysikerne det?
Strengteoretikerne havde allerede arbejdet på at omsætte dette geometriske problem til et fysisk problem. I den forbindelse havde de udviklet en metode til at beregne antallet af kurver af en hvilken som helst grad på én gang. Det er svært at overvurdere chokket over dette resultat i matematiske kredse. Det var lidt som at udtænke en måde at bestige hvert eneste bjerg på, uanset hvor højt!
I kvanteteorien giver det perfekt mening at kombinere antallet af kurver af alle grader i en enkelt elegant funktion. Samlet på denne måde har den en ukompliceret fysisk fortolkning. Den kan ses som en sandsynlighedsamplitude for en streng, der udbreder sig i Calabi-Yau-rummet, hvor sum-over-historier-princippet er blevet anvendt. En streng kan tænkes at undersøge alle mulige kurver af alle mulige grader på samme tid og er således en supereffektiv “kvanteberegner.”
Men en anden ingrediens var nødvendig for at finde den egentlige løsning: en tilsvarende formulering af fysikken ved hjælp af et såkaldt “spejl” Calabi-Yau-rum. Udtrykket “spejl” er bedragerisk enkelt. I modsætning til den måde, hvorpå et almindeligt spejl reflekterer et billede, er det oprindelige rum og dets spejl her af meget forskellig form; de har ikke engang samme topologi. Men inden for kvanteteorien har de mange egenskaber til fælles. Især viser det sig, at strengenes udbredelse i begge rum er identisk. Den vanskelige beregning på den oprindelige manifold kan omsættes til et meget enklere udtryk på den spejlede manifold, hvor den kan beregnes ved hjælp af et enkelt integral. Et voilà!
Dualitet af ligemænd
Spejlsymmetri illustrerer en kraftfuld egenskab ved kvanteteori kaldet dualitet: To klassiske modeller kan blive ækvivalente, når de betragtes som kvantesystemer, som om man vifter med en tryllestav, og alle forskelle pludselig forsvinder. Dualiteter peger på dybe, men ofte mystiske symmetrier i den underliggende kvanteteori. Generelt er de dårligt forstået og et tegn på, at vores forståelse af kvanteteorien i bedste fald er ufuldstændig.
Det første og mest berømte eksempel på en sådan ækvivalens er den velkendte partikel-bølge-dualitet, der fastslår, at enhver kvantepartikel, som f.eks. en elektron, kan betragtes både som en partikel og som en bølge. Begge synspunkter har deres fordele, idet de tilbyder forskellige perspektiver på det samme fysiske fænomen. Det “rigtige” synspunkt – partikel eller bølge – bestemmes udelukkende af spørgsmålets karakter og ikke af elektronens karakter. De to sider af spejlsymmetri tilbyder dobbelte og lige gyldige perspektiver på “kvantegeometri.”
Matematikken har den vidunderlige evne til at forbinde forskellige verdener. Det mest oversete symbol i enhver ligning er det ydmyge lighedstegn. Ideer flyder gennem det, som om lighedstegnet leder den elektriske strøm, der oplyser “Aha!”-pæren i vores sind. Og de dobbelte linjer viser, at ideer kan flyde i begge retninger. Albert Einstein var en absolut mester i at finde ligninger, der illustrerer denne egenskab. Tag E = mc2, som uden tvivl er den mest berømte ligning i historien. I al sin underspillede elegance forbinder den de fysiske begreber masse og energi, som før relativitetsteoriens indførelse blev betragtet som helt adskilte begreber. Gennem Einsteins ligning lærer vi, at masse kan omdannes til energi og omvendt. Ligningen i Einsteins generelle relativitetsteori er ganske vist mindre fængende og velkendt, men den forbinder geometri- og stofverdenen på en lige så overraskende og smuk måde. En kortfattet måde at opsummere denne teori på er, at massen fortæller rummet, hvordan det skal krumme sig, og rummet fortæller massen, hvordan den skal bevæge sig.
Spejlsymmetri er et andet perfekt eksempel på lighedstegnets kraft. Det er i stand til at forbinde to forskellige matematiske verdener. Den ene er den symplektiske geometris verden, den gren af matematikken, der ligger til grund for en stor del af mekanikken. På den anden side ligger den algebraiske geometris verden, verden af komplekse tal. Kvantefysikken gør det muligt for ideer at flyde frit fra det ene felt til det andet og giver en uventet “stor forening” af disse to matematiske discipliner.
Det er betryggende at se, hvordan matematikken har været i stand til at absorbere så meget af kvantefysikkens og strengteoriens intuitive, ofte upræcise ræsonnementer og til at omdanne mange af disse ideer til stringente udsagn og beviser. Matematikere er tæt på at anvende denne nøjagtighed på homologisk spejlsymmetri, et program, der i høj grad udvider strengteoriens oprindelige idé om spejlsymmetri. På en måde er de ved at skrive en komplet ordbog over de objekter, der optræder i de to separate matematiske verdener, herunder alle de relationer, som de opfylder. Det er bemærkelsesværdigt, at disse beviser ofte ikke følger den vej, som fysiske argumenter havde foreslået. Det er tilsyneladende ikke matematikeres rolle at rydde op efter fysikere! Tværtimod var det i mange tilfælde nødvendigt at udvikle helt nye tankegange for at finde beviserne. Dette er endnu et bevis på den dybe og endnu uopdagede logik, der ligger til grund for kvanteteorien og i sidste ende for virkeligheden.
Niels Bohr var meget glad for begrebet komplementaritet. Begrebet opstod af det faktum, at man i kvantemekanikken, som Werner Heisenberg beviste med sit usikkerhedsprincip, kan man i kvantemekanikken måle enten en partikels impuls p eller dens position q, men ikke begge dele på samme tid. Wolfgang Pauli opsummerede vittigt denne dualitet i et brev til Heisenberg af 19. oktober 1926, kun få uger efter opdagelsen, i et brev til Heisenberg: “Man kan se verden med p-øjet, og man kan se den med q-øjet, men hvis man åbner begge øjne, bliver man skør.”
I sine senere år forsøgte Bohr at overføre denne idé til en meget bredere filosofi. Et af hans foretrukne komplementære par var sandhed og klarhed. Måske bør man tilføje parret matematisk stringens og fysisk intuition som et andet eksempel på to kvaliteter, der gensidigt udelukker hinanden. Man kan se på verden med et matematisk øje eller med et komplementært fysisk øje, men man skal ikke vove at åbne begge dele.
Denne artikel blev genoptrykt på spansk på Investigacionyciencia.es.