Modellering af multi-flagellede bakterier
Vi starter med at opbygge en beregningsmodel af en peritrikkende bakteries bevægelse, som beskrevet i afsnittet Metoder med matematiske detaljer i den supplerende information. Vi betragter en bakterie, der drives af Nf flageller (fig. 2A) med et cellelegeme i form af en prolat ellipsoide. Hvert flagellum består af: (i) en roterende motor, der genererer en fast rotationshastighed omkring flagellarfilamentets akse; (ii) en kort fleksibel krog, der behandles som en torsionsfjeder omkring motoraksen, hvis hydrodynamik kan negligeres17; (iii) et spiralformet flagellarfilament af den normale venstrehåndede polymerform, hvis hydrodynamik er indfanget med teorien om slanke legemer24. Motor- og filamentparametre er valgt, så de svarer til parametrene for E. coli-bakterier7 (tabel S1 i supplerende oplysninger). Hver spiralformet filament har en tilspidset ende, således at spiralradius er nul på dens fastgørelsespunkt til motoren25. Flagellarfilamenter kan rotere, men ikke translateres i forhold til deres fastgørelsespunkt på cellekroppen, og mens rotationen om helixaksen pålægges af motoren, løses eventuelle yderligere rotationer i forhold til kroppen. Vi negligerer hydrodynamiske interaktioner mellem cellekroppen og flagellarfilamenterne, men medtager steriske interaktioner for at forhindre filamenterne i at trænge ind i kroppen. For hver krog bruger vi θ til at angive hældningsvinklen mellem normalen til cellekroppen ved motorens placering og flagellarfilamentets akse (dvs. når θ = 0, er filamentet normalt i forhold til cellekroppen). Det genoprettende elastiske moment, som hver motor påfører flagellarfilamentet, modelleres som en torsionsfjeder med fjederkonstant \(K=EI/{\ell }_{h}\), hvor EI og \({\ell }_{h}\) er henholdsvis krogens bøjningsstivhed og længde16. Størrelsen af det tilbageførende moment er således givet ved K|θ|, og krogens elasticitet virker til at rette spiralaksen ind efter den normale til cellekroppen. Beregningsmodellen løser de øjeblikkelige positioner for flagellarfilamenterne og for cellekroppens svømmehastighed Ub og vinkelhastighed Ωb som en funktion af krogens stivhed.
(A) Beregningsmodel af en peritrich bakterie, der aktiverer Nf spiralformede filamenter (radius Rh; pitchvinkel β) ved at dreje dem om deres akse \(\hat{{{{\bf{k}}}}}\) med foreskrevet vinkelhastighed. Den fleksible krog virker elastisk for at tilpasse spiralaksen til den normale \(\hat{{{{\bf{N}}}}\) til cellekroppen. (B) Forenklet model til indfangning af den elastohydrodynamiske ustabilitet. To lige aktive filamenter af længde \(\ell \), der er fastgjort på hver side af et sfærisk legeme med radius \(a\), hælder i en vinkel ±θ væk fra cellelegemets overfladenormal, \(\hat{{{\bf{N}}}}}\), og virker på cellen med tangentialkraft \(f\ell \hat{{{{\bf{t}}}}}\), hvilket resulterer i, at modelbakterien svømmer med hastighed \(U\hat{{{{{\bf{y}}}}}).
Pusherbakterier med fleksible kroge gennemgår en svømmeinstabilitet
En gennemgang af resultaterne af vores beregningsmodel afdækker en bemærkelsesværdig elastohydrodynamisk ustabilitet, illustreret i fig. 3 i tilfælde af Nf = 4 flageller, det gennemsnitlige antal flageller på en E. coli-celle6. Motorerne er placeret symmetrisk omkring cellekroppens overflade. Vi starter beregningerne med hvert flagellarfilament vippet i en lille vinkel væk fra normalen til overfladen og lader systemet marchere fremad i tiden, mens vi følger cellens position i laboratorierammen og flagellarfilamenternes position i forhold til cellekroppen. Tilhørende film er tilgængelige online (se supplerende oplysninger).
Svømmebevægelse for en bakterie, der svømmer med Nf = 4 flageller med en fleksibel vs. stiv krog. (A) Hver enkelt celles udgangsposition og konformation. (B) Pushercelle med fleksibel krog ved t = 200 (tider skaleret med flagellernes rotationshastighed). (C) Pushercelle med stiv krog ved t = 200. (D) Afstand tilbagelagt af hver svømmer (ikke-dimensionaliseret ved stigningen af de spiralformede filamenter) som funktion af tiden for fire forskellige svømmere: stiv (diamanter) vs. fleksibel krog (firkanter) og pusher (fyldte symboler) vs. puller (tomme).
I fig. 3A-C illustrerer vi banen for en pusher-bakterie (dvs. en celle med flagellarfilamenter, der undergår normal CCW-rotation) med to forskellige krogstivheder over en tidsskala t = 200 (tid nondimensionaliseret af flagellernes rotationshastighed). Mens begge starter samme sted (A), ender cellen med den fleksible krog (K = 0,1) med flagellarfilamenter, der er viklet helt ind i ryggen, og er i stand til at svømme fem gange så hurtigt (B) som cellen med den stive krog (K = 100), hvis flagellarfilamenter er forblevet i den samme udspredte konfiguration (C). Dette er kvantificeret i fig. 3D, hvor vi plotter den tilbagelagte nettoafstand som en funktion af tiden (skaleret med spiralens hældning). Cellen med en fleksibel krog (udfyldt firkant) svømmer konsekvent hurtigere end den stive celle (udfyldt rude). Hvis vi alternativt vender flagellernes rotationsretning om, så de roterer i urets retning (CW), bliver cellen en trækcelle og overgår ikke til hurtig svømning hverken for en fleksibel krog (tomme firkanter) eller en stiv krog (tomme diamanter). Bemærk, at de to stive tilfælde (pushere og pullere; diamanter) har identisk svømmestørrelse, hvilket er en konsekvens af den kinematiske reversibilitet af Stokes-strømme5. Det er vigtigt at bemærke, at overgangen til hurtig svømning for fleksible pusherbakterier ikke sker jævnt med ændringer i krogens stivhed, men at den i stedet finder sted ved en kritisk dimensionsløs værdi på Kc ≈ 1 (ikke-dimensionaliseret ved hjælp af væskens viskositet, stigningen i spiralfilamentet og rotationsfrekvensen). Over Kc forbliver alle flageller normalt i forhold til cellen (θ ≈ 0), hvilket fører til ubetydelig svømning, mens alle flageller under Kc vikler sig ind bag cellen (|θ| ≈ π/2), hvilket fører til en netto-lokomotion.
Denne skarpe overgang stammer ikke fra en ustabilitet i krogen, som her kun er modelleret på niveauet af en torsionsfjeder16. Instabiliteten skyldes i stedet den tovejskobling mellem flagellens konformation og cellens bevægelser. For at afdække fysikken bag denne ustabilitet ser vi nærmere på tilfældet med et sfærisk cellelegeme og to flageller, som er den mindste konfiguration, der kan vise ustabiliteten og samtidig indfange den samme fysik som i geometrisk komplekse tilfælde (se de tilhørende film i de supplerende oplysninger). De stationære beregningsresultater i dette tilfælde er vist i hoveddelen af fig. 4 (symboler og tynde linjer) for vinklen θ mellem flagellarfilamenternes akse og cellekroppen (A) og for cellens nettosvømmehastighed U i lab-frame (B). Mens flagelkonformationen hos pullerbakterier er uafhængig af krogstivheden og fører til nul svømning (lysrøde cirkler), viser pusherceller tydeligt et pludseligt spring til en indpakket konformation og en nettobevægelse for en krogstivhed under Kc ≈ 0.79 (mørkeblå cirkler).
Steady-state flagellas vippevinkler (|θ|, A) og lab-frame svømmehastigheder (U, B) for den fulde beregningsmodel i fig. 2A med to flageller (symboler og tynde linjer) og for den enkle aktive filamentmodel i fig. 2B (tykke linjer) som funktion af den dimensionsløse krogfjederkonstant K. Grøn linje og lysrøde symboler: trækbakterie, for hvilken den ikke-svømmende tilstand altid er stabil; mørkerød linje og mørkeblå symboler: skubbebakterie, der gennemgår en overgang til svømning for K < Kc. Den stiplede linje viser den kritiske fjederkonstant, der er forudsagt teoretisk, Kc ≈ 0,53.
Analytisk model af den elastohydrodynamiske ustabilitet
Den observerede dynamik kan indfanges af en analytisk model, der viser, at svømning opstår som følge af en lineær elastohydrodynamisk ustabilitet. Vi betragter den enkle geometriske model, der er illustreret i fig. 2. To lige aktive filamenter af længde \(\ell \) er symmetrisk fastgjort på hver side af et kugleformet cellelegeme med radius a og hælder med symmetriske vinkler ±θ væk fra kroppens overfladenormal, \(\hat{{{\bf{N}}}}\) (bemærk, at den asymmetriske hældningstilstand, der ikke er taget i betragtning her, ville føre til en overgang i rotation i stedet for translation). Hvert filament, der er elastisk fastgjort til cellekroppen via en krog, der er modelleret som en torsionsfjeder med stivhed K, skubber på cellen langs deres tangentielle retning med fremdriftskraftens tæthed \(f\hat{{{\bf{t}}}}\), hvilket resulterer i, at bakterien svømmer med en hastighed \(U\hat{{{{\bf{y}}}}\) (se fig. 2 for alle notationer). Ved CCW-bevægelse peger fremdriftskræfterne mod cellekroppen (f < 0), og cellen er en skubber. I modsætning hertil peger fremdriftskræfterne ved CW-bevægelse væk fra cellen (f > 0), og svømmeren er en trækker.
Svømmehastigheden (U) og ændringshastigheden af filamenternes konformation (\(\(\dot{\theta }\))) kan fås ved at håndhæve kraft- og momentbalance. Ved at anvende c|| og c⊥ til at betegne modstandskoefficienterne for et slankt filament, der bevæger sig henholdsvis parallelt og vinkelret på dets tangent (se supplerende materiale), kan man beregne kraftbalancen på hele cellen i svømmeretningen, \(\hat{{{{\bf{y}}}}\), skrives som
hvor de to første udtryk skyldes modstanden på cellekroppen og på de aktive filamenter som følge af svømning, det tredje udtryk er modstanden på filamenterne som følge af rotation og det sidste udtryk er den samlede fremdriftskraft, der virker på cellen.
Den anden ligning stammer fra balancen af momentet på hvert aktivt filament, skrevet i \(\hat{{{{\bf{z}}}}=\hat{{{{\bf{x}}}}\times \hat{{{\bf{y}}}}}\) retning ved fastgørelsespunktet på celleoverfladen som
hvor den første term er det hydrodynamiske moment som følge af filamentets rotation, den anden er det hydrodynamiske moment som følge af svømmemodstanden og den sidste term er det elastiske genopretningsmoment fra krogen, der virker for at bringe filamentet tilbage til sin lige konfiguration. Ved at kombinere ligningerne (1) og (2) fås en udviklingsligning for θ
Når det elastiske moment dominerer, er den lige konfiguration θ = 0 den eneste stationære tilstand, som er forbundet med ingen svømning. Hvis det elastiske moment i stedet er ubetydeligt, bliver svømmetilstandene med θ = ±π/2 mulige ligevægte.
For at undersøge, hvordan en variation af krogens stivhed muliggør overgang fra den ene tilstand til den næste, løser vi Eq. (3) numerisk med de passende flagellarfilamentværdier for en svømmende E. coli-celle af vildtypen og ved hjælp af størrelsen af f, der fører til overensstemmelse med de fuldstændige beregninger ved krostivhed nul (se supplerende materiale). Vi starter med små forstyrrelser omkring θ = 0 og beregner langtids-stationær tilstand i Eq. (3), med resultater illustreret i Fig. 4 for både pusher (mørkerød linje) og puller (grøn linje). Puller-cellerne svømmer aldrig for nogen værdi af krogens stivhed, og den lige konfiguration θ = 0 er altid stabil. I modsætning hertil kan pushere ikke svømme for kroge, der er stivere end en kritisk værdi, men gennemgår en pludselig overgang til direkte svømning for blødere kroge, hvilket er i fremragende overensstemmelse med beregningerne af det fulde tilfælde med to flageller (symboler i fig. 4).
Den pludselige overgang til svømning for en kritisk krog-stivhed kan forudsiges analytisk ved at linearisere Eq. (3) nær ligevægten ved θ = 0, hvilket fører til
Hvis f er positiv (puller), så er konfigurationen med θ = 0, som er forbundet med ingen svømning U = 0, altid lineært stabil over for små forstyrrelser for enhver værdi af K. Derimod er pushere med f < 0 lineært ustabile for K < Kc således, at den højre side af Eq. (4) bliver positiv, dvs. \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). En lineær elastohydrodynamisk ustabilitet gør det derfor muligt for pusherbakterier med tilstrækkeligt fleksible kroge at foretage en dynamisk overgang til en asymmetrisk konformation (θ ≠ 0) med nettosvømning (U ≠ 0). Bemærk, at den simple teoretiske model (lineær stabilitet og numerisk løsning af Eq. 3) forudsiger en kritisk dimensionsløs stivhed på Kc ≈ 0,53, hvilket er i overensstemmelse med beregningerne for den fulde bakteriemodel, Kc ≈ 0,79.