Snitker spielte 1971 im rechten Feld des Baseballteams der Macon High School in Illinois. Der überraschende Aufstieg des Teams in das staatliche Meisterschaftsturnier wurde in Chris Ballards 2012 erschienenem Buch One Shot at Forever: A Small Town, an Unlikely Coach, and a Magical Baseball Season.
Als Jugendlicher spielte Snitker auch American Legion Baseball, eine Erfahrung, von der er in einem Interview 2018 sagte: „Das gab mir die Möglichkeit, gesehen zu werden, weil bei American Legion Spielen immer Scouts anwesend sind. Das hatte einen großen Einfluss auf meine Entwicklung als Spieler und half mir, eine Profikarriere zu starten.“
Snitker ist Absolvent der University of New Orleans.
Snitker kam 1977 als Spieler zur Braves-Organisation in die Minor Leagues und spielte bis 1980. Er spielte hauptsächlich als Catcher und etwas First Base in den Minor Leagues und schlug .254/.316/.390 mit 23 Homeruns in 780 At Bats.
Snitker war Manager der Anderson Braves, Macon Braves, Durham Bulls, Myrtle Beach Pelicans, Greenville Braves, Mississippi Braves und Richmond Braves, alle im Farmsystem der Braves. Außerdem war er 1985 und 1988-1990 Bullpen-Coach der Atlanta Braves. Einige seiner Auszeichnungen während seiner fünfzehnjährigen Laufbahn als Minor-League-Manager sind der Gewinn von zwei Meisterschaften mit den Myrtle Beach Pelicans in den Jahren 1999 und 2000, und in denselben Jahren gewann er den Carolina League Manager of the Year.
Von 2007 bis 2013 diente Snitker als Third-Base-Trainer der Braves. Er wurde am 3. Oktober 2006 in diese Position berufen und löste damit Fredi González ab, der zu den Florida Marlins als Manager wechselte. Als González nach dem Rücktritt von Bobby Cox zum Braves-Manager für die Saison 2011 ernannt wurde, blieb Snitker als Third-Base-Coach im Amt.
Am 14. Oktober 2013 wurde Snitker zum Manager des Triple-A-Clubs der Braves, den Gwinnett Braves, ernannt.
Am 17. Mai 2016 wurde Snitker zum Interimsmanager von Atlanta ernannt und ersetzte Fredi González, der entlassen wurde. Am 11. Oktober 2016 ernannten die Braves Snitker zu ihrem Vollzeitmanager für die Saison 2017. Am 5. Oktober 2017 gab das Team bekannt, dass Snitker in der Saison 2018 als Manager zurückkehren würde. Am 15. Oktober 2018 gaben die Braves Snitker eine zweijährige Vertragsverlängerung mit einer Cluboption für 2021. Am 13. November 2018 wurde Snitker mit dem National League Manager of the Year Award für die Saison 2018 ausgezeichnet. Snitker teilte sich in diesem Jahr den Sporting News National League Manager of the Year Award mit Craig Counsell. Im Jahr 2019 führte er die Braves zu ihrem zweiten Divisionstitel in Folge. Snitker und Counsell wurden zu Finalisten für den National League Manager of the Year Award 2019 ernannt und verloren gegen Mike Shildt. Am 23. Oktober 2019 gewann Snitker seinen zweiten Sporting News National League Manager of the Year Award. Im Februar 2020 stimmte Snitker einer weiteren Vertragsverlängerung mit den Braves bis zur Saison 2021 zu. Am 22. September 2020 führte er die Braves mit einem 11:1-Sieg gegen die Marlins zum dritten NL East Division Titel in Folge. Snitker führte die Braves in der National League Wild Card Series zu einem 2:0-Sieg über die Cincinnati Reds.
Am 26. Februar 2021 unterzeichnete Snitker eine weitere Vertragsverlängerung, um bis zur Saison 2023 bei den Braves zu bleiben, mit einer Vereinsoption für 2024.