Geometrie: Linien und Winkel

Linien und Winkel machen fast alle geometrischen Formen aus. Lass uns also in die Geometrie eintauchen, indem wir diese grundlegenden Elemente der Formen besprechen.

Jetzt können wir anfangen, über Geometrie zu sprechen. Und Geometrie ist natürlich die Lehre von den Formen. Für manche Menschen, die visuell orientiert sind, ist Geometrie ganz natürlich. Für andere, die ihre visuellen Fähigkeiten nicht entwickelt haben, kann Geometrie ein bisschen schwieriger sein.

Speziell für die Leute, für die Geometrie ein bisschen schwieriger ist, werde ich folgendes sagen.

Es reicht nicht aus, sich diese Videos anzusehen. Nachdem du sie gesehen hast, nimm dir Papier und ein Lineal und zeichne diese verschiedenen Formen, zeichne sie tatsächlich physisch auf Papier. Und bauen Sie Formen und physische Objekte. Du kannst Bleistifte, Zahnstocher, Strohhalme und so weiter benutzen. Baue Dreiecke, baue Rechtecke, schau sie dir an.

Benutze deine Hände!

Benutze deine Hände, unsere Hände sind eigentlich ein Teil unserer Intelligenz. Wenn du deine Hände benutzt, beanspruchst du jeden Teil des Gehirns. Das wird es viel einfacher machen, all diese Zusammenhänge zu verstehen.

Beginnen wir also mit Linien. Linien sind gerade und gehen in beide Richtungen weiter. Hier haben wir einen Haufen verschiedener gerader Linien, in verschiedene Richtungen. Du musst dir vorstellen, dass am Ende jeder Linie ein Pfeil oder etwas Ähnliches steht. Das zeigt, dass die Linien tatsächlich ewig in beide Richtungen weitergehen.

Linien und Winkel: Alle Linien sind gerade

Es ist sehr wichtig, gerade nicht mit horizontal zu verwechseln. Diese beiden Wörter haben sehr unterschiedliche Bedeutungen, aber manchmal gibt es Schüler, die sie verwechseln. Alle Linien sind gerade. Alle Linien, die wir auf der vorigen Folie gesehen haben, Linien, die in verschiedene Richtungen gehen, sind also gerade Linien.

Und bei der Prüfung kann man immer davon ausgehen, dass eine Linie gerade ist. Wenn sie gerade aussieht, ist sie gerade. Das ist im Test immer der Fall. Aber manche Linien sind der Einfachheit halber waagerecht gezeichnet. Man kann jedoch nie davon ausgehen, dass Linien genau horizontal oder vertikal sind, nur weil sie so aussehen. Das verwirrt viele Menschen. Sie sind verwirrt, wenn sie denken, dass horizontal und gerade dasselbe bedeuten.

Wir sagen also, dass man bei der Prüfung davon ausgehen kann, dass Linien gerade sind. Die Leute nehmen fälschlicherweise an, dass dies auch bedeutet, dass sie annehmen können, dass Linien horizontal sind, und das ist nicht korrekt. Ein Linienabschnitt ist ein endliches Stück einer Linie.

Beispiel

So haben wir zum Beispiel hier ein Liniensegment, es hat zwei Endpunkte. Und wenn diese Endpunkte beschriftet sind, dann ist es einfach zu diskutieren.

Das ist der Linienabschnitt AB. Und für den Zweck des Tests kann AB entweder die tatsächliche Form des Liniensegments selbst bedeuten. Oder es kann die Länge des Linienabschnitts bedeuten, die numerische Länge. Ein Winkel entsteht zwischen zwei Linien oder zwei Segmenten. Hier haben wir zum Beispiel einen Winkel.

Linien und Winkel: Winkel verstehen

Dieses ist zwischen einer Linie und einem Segment. Der beste Weg, einen Winkel zu verstehen, ist, ihn dynamisch zu betrachten, als den Akt des Drehens oder der Rotation. Mit anderen Worten, man geht von hier nach hier. Das ist es, was ein Winkel ist, dieser dynamische Raum zwischen zwei Linien. Wenn wir Punkte beschriften, können wir über einen Winkel sprechen.

Winkel beschriften

Wir könnten diesen Winkel entweder CDE oder EDC nennen, Punkt D, der Scheitelpunkt des Winkels. Genau hier muss der Punkt des Winkels in der Mitte des Namens liegen. Wir können also entweder CDE oder EDC sagen, solange der Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Manchmal verwende ich in diesen Videos auch den Namen eines einzelnen Winkels, wenn es keine Zweideutigkeit gibt. In diesem Diagramm gibt es zum Beispiel nur einen Winkel.

Ich könnte ihn also Winkel D nennen. Theoretisch könnte das in der Prüfung vorkommen. Allerdings ist der Test oft vorsichtig genug, um immer einen dreibuchstabigen Namen für einen Winkel zu verwenden. Wir messen die Größe eines Winkels in Grad. Der Test kann diese direkt angeben, also 50 Grad.

Alternativ kann der Test das Diagramm beschriften und das Maß des Winkels im Text angeben. So ist der Winkel GFH = 50 Grad, weil man die Punkte im Diagramm mit Buchstaben beschriftet. Wir können das einfach benutzen, um über das Maß zu sprechen, in der Anzahl der Grad im Text. Eigentlich ist das wahrscheinlich die beliebteste Sache zu tun ist die folgende einfach angeben Winkel, mit einer variablen Anzahl Grad.

Flexibles Testformat

Dieses flexible Format erlaubt es ihnen, entweder den Winkel anzugeben, denn im Text könnten sie sagen, x = 50, oder sie könnten eine Frage dazu stellen. Sie könnten uns auch andere Informationen geben und sagen: „Finde x.“ Sie würden dies also gerne tun. Wir wiederholen kurz die grundlegenden Fakten zum Winkel. In einem geraden Winkel gibt es 180 Grad, und natürlich kann eine gerade Linie in jede Richtung gehen.

Aber wenn es irgendeinen Punkt auf der geraden Linie gibt, der sich von einer Seite der Linie zur anderen erstreckt. Das sind 180 Grad, in einem rechten Winkel sind es 90 Grad. Hier haben wir also zwei Linien, die sich im rechten Winkel schneiden. Es gibt sogar vier rechte Winkel an diesem Schnittpunkt. Wenn sich die beiden Linien oder Segmente im rechten Winkel treffen, nennt man sie senkrecht, das ist ein Begriff, den du kennen solltest.

Senkrechte Linien und rechte Winkel

Der Test kann entweder dieses kleine Quadrat, das Lotzeichen, einzeichnen, das dieses kleine Quadrat ist, oder er kann angeben, dass der Winkel 90 Grad beträgt. Er kann 90 Grad im Diagramm oder X Grad angeben und uns im Text sagen, dass X gleich 90 ist. Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, uns mitzuteilen, dass es sich um einen 90-Grad-Winkel handelt. Nehmen Sie nicht an, dass zwei Linien senkrecht zueinander stehen, wenn Ihnen das nicht ausdrücklich gesagt wird, denn das ist oft eine Falle.

Angenommen, diese Punkte erscheinen als Teil eines größeren Diagramms, und es werden keine weiteren Informationen gegeben. Es sieht auf jeden Fall so aus, als ob diese Punkte in einem rechten Winkel stehen könnten, und das ist eine sehr verlockende Annahme. Der Test würde es lieben, wenn du den Fehler machst, anzunehmen, dass die Linien rechtwinklig sind und der Winkel genau 90 Grad beträgt.

In der Tat ist das nicht der Fall. Ich habe das so gezeichnet, dass der Winkel dort 89,6 Grad beträgt. Es ist also fast ein rechter Winkel, und mit bloßem Auge mag es wie ein rechter Winkel aussehen. Aber keine der speziellen Eigenschaften eines rechten Winkels ist wahr.

Und in den nächsten Videos werden wir mehr über die besonderen Eigenschaften rechter Winkel sprechen. Keine der speziellen rechten Winkeleigenschaften ist wahr, wenn der Winkel nahe bei 90, aber nicht genau 90 ist.

Sehr wichtig, man kann also nicht davon ausgehen, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen, es sei denn, man hat irgendeine Begründung dafür.

Linien und Winkel: Kongruente Formen

Ein Begriff, den ich einführen werde und der wahrscheinlich nicht in der Prüfung vorkommt, ist kongruent. Kongruent ist wie gleich, nur für Formen. Wir verwenden den Begriff „gleich“ für eine Zahl und den sehr ähnlichen Begriff „kongruent“ für Formen.

Zwei Formen sind kongruent, wenn sie die gleiche Form und die gleiche Größe haben.

Sie müssen nicht die gleiche Ausrichtung haben. So sind zum Beispiel die lila und die grüne Form hier kongruent, die eine ist zur anderen umgedreht. Man könnte sagen, das eine ist eine rechtshändige Version und das andere ist eine linkshändige Version, aber im Grunde ist es die gleiche Form.

Diese beiden sind kongruent, auch wenn sie unterschiedliche Ausrichtungen haben.

Bisektoren

Eine Winkelhalbierende schneidet etwas in zwei kongruente Teile. Eine Winkelhalbierende schneidet einen Winkel in zwei kleinere, kongruente Winkel. Hier haben wir also zum Beispiel eine Winkelhalbierende. Wenn wir z.B. sagen, dass der große Winkel PNM 40 Grad beträgt und NQ den Winkel halbiert, dann können wir ableiten, dass die beiden kleineren Winkel jeweils 20 Grad betragen müssen.

Sie müssen jeweils genau halb so groß sein wie der andere, weil der Winkel halbiert wurde. In ähnlicher Weise kann die Winkelhalbierende eines Segments ein Punkt, ein anderes Segment oder eine Linie sein. Die Winkelhalbierende teilt das Segment in zwei gleiche Hälften. Hier halbiert das Segment ST das Segment PQ. Beachte auch, dass es definitiv wahr ist, dass PQ ST nicht halbiert, denn SR ist deutlich größer als RT.

Die Tatsache, dass ST PQ halbiert, bedeutet also, dass R der Mittelpunkt von PQ ist, und dass PR = RQ. Wir haben sie in zwei gleiche Hälften geteilt, und das ist auch immer die Bedeutung der Halbierung. Manchmal halbiert eine Linie ein Segment und steht auch senkrecht dazu. Dann nennt man die Linie eine Mittelsenkrechte auf das Segment.

Die Linie VW ist senkrecht, sie ist die Mittelsenkrechte von TU. Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten eines Segments ist gleich weit von den beiden Endpunkten des Segments entfernt. Das ist eine wirklich nützliche Tatsache, die sich auf verschiedene Weise bemerkbar macht. Die Mittelsenkrechte ist in der Tat die Menge aller möglichen Punkte, die von den beiden Endpunkten des Segments gleich weit entfernt sind.

Linien und Winkel: Schauen wir uns die Winkel an

Nun noch ein paar grundlegende Fakten zu den Winkeln. Wir haben schon gesagt, dass eine gerade Linie 180 Grad enthält. Das bedeutet, dass, wenn zwei oder mehr Winkel auf einer Geraden liegen, die Summe ihrer Winkel 180 Grad beträgt. Wir können also zum Beispiel davon ausgehen, dass diese lange Linie gerade ist. Sie hat keine leichte Biegung an diesem Punkt.

Der Test wird uns das nicht zeigen, wenn sie gerade aussieht, ist sie gerade. Und deshalb wissen wir, dass diese beiden Winkel zusammen 180 ergeben. Also: x + y = 180. Wenn die Summe der beiden Winkel 180 ergibt, nennt man sie ergänzend. Zwei Winkel auf einer Geraden sind immer ergänzend. Also p + q = 180.

Wenn sich zwei Linien kreuzen

Wenn sich zwei Linien kreuzen, werden vier Winkel gebildet. Hier haben wir also zwei Linien, die ewig in beide Richtungen weitergehen, sie müssen sich kreuzen, und es entstehen diese vier Winkel. Die Winkelpaare, die sich gegenüberliegen und nur den Scheitelpunkt gemeinsam haben, werden als vertikale Winkel bezeichnet, und vertikale Winkel sind immer kongruent. Also zum Beispiel A und C, sie haben keine gemeinsame Seite.

Alles, was a und c gemeinsam haben, ist, dass sie sich an einem einzigen Scheitelpunkt berühren. Sie berühren sich an einem Scheitelpunkt, b und d berühren sich auch an einem Scheitelpunkt. Deshalb nennt man sie auch Vertikalwinkel, weil sie sich an einem Scheitelpunkt berühren. Wir wissen also, dass vertikale Winkel kongruent sind, wir wissen, dass a = c und b = d. Natürlich sind die Winkelpaare nebeneinander, a + b, b + c, alle ergänzend.

Sie addieren sich alle zu 180 Grad, weil wir Winkelpaare auf einer Linie haben. Wenn wir also einen Winkel in diesem Diagramm gegeben haben, können wir die anderen drei finden. Wenn zum Beispiel a = 35 ist, wissen wir, dass c gleich sein muss. Das muss auch 35 Grad sein. Und b und d müssen den zusätzlichen Winkel von 145 Grad bilden. So dass zwei beliebige Paare, zwei beliebige Winkel zusammen in einem Paar, 180 Grad ergeben.

Linien und Winkel: Practice Problem One

Hier ist ein Übungsproblem, pausiere das Video und dann werden wir darüber sprechen.

Okay In dem Diagramm ist x = 40 Grad und RT halbiert den großen Winkel SRU, was ein sehr großer Winkel ist. Nun, SRU ist der Ergänzungswinkel zu diesem 40-Grad-Winkel, also muss SRU 180 minus 40 sein, was 140 ergeben würde. SRU ist also 140.

Und dieser Winkel ist halbiert, weil er halbiert ist, ist er in zwei gleiche Hälften geschnitten. Es gibt also zwei Hälften, die jeweils 70 Grad betragen müssen. SRT = 70 Grad, TRU = 70 Grad. Das sind die beiden gleichen Hälften des Winkels, der halbiert wurde. Nun bemerken wir, dass der Winkel TRV aus TRU und dem Winkel x besteht, den wir kennen.

Wir wissen, dass TRU 70 Grad ist, wir wissen, dass Winkel X 40 Grad ist, also addieren wir sie zusammen. TRV muss ein Winkel von 110 Grad sein. Man beachte, dass TRV der vertikale Winkel von SRW ist, also müssen diese beiden gleich sein. Das bedeutet, dass SRW auch ein Winkel von 110 Grad sein muss, also ist Y gleich 110. Zum Schluss werden wir die parallelen Linien betrachten.

Linien und Winkel: Parallele Linien

Wenn zwei Linien parallel sind, schneiden sie sich nie, und sie sind immer genau gleich weit voneinander entfernt. Auch das ist eine dieser Eigenschaften, wie senkrecht oder nahezu parallel, die nicht die Bohne zählen. Man muss wissen, dass die beiden Linien genau parallel sind. Da sich parallele Linien nie schneiden, bilden sie natürlich auch keine Winkel miteinander.

Transversale Linien

Wir erhalten jedoch viele Winkel, wenn eine dritte, nicht parallele Linie die beiden parallelen Linien schneidet. Diese dritte Linie nennt man eine Transversale. Eine Transversale ist eine Linie, die zwei parallele Linien schneidet. Hier haben wir also eine Transversale, die die parallelen Linien WX und YZ schneidet. Und wir erhalten acht Engel.

Nun sind die vier großen Engel alle gleich. Und die vier kleinen Engel sind alle gleich. Also mit anderen Worten a = d = e = h und b = c = f = g, das ist die große Idee. Darunter gibt es natürlich, wie du dich vielleicht aus der Geometrie erinnerst, alle möglichen speziellen Namen.

Alternative Innenwinkel und gleichseitige Außenwinkel und entsprechende Winkel. Wenn du dir all diese speziellen Namen merken willst, ist das großartig, du brauchst es nicht. Alles, was du dir merken musst, ist, dass alle großen Winkel gleich sind, alle kleinen Winkel sind gleich. Hier ist also wieder das Diagramm, und jetzt habe ich es beschriftet, damit klar ist, dass alles gleich ist.

Linien und Winkel: Ergänzende Winkel

Beachte auch, dass p und q ergänzend sind. Jeder große Winkel plus jeder kleine Winkel ergibt also 180 Grad, das ist eine wirklich große Idee. Wenn wir also den Grad eines beliebigen Winkels hier angeben, können wir die anderen sieben finden. Zusammenfassend: Wir haben über Linien und Linienabschnitte gesprochen, wir haben über Winkel und Grad gesprochen.

Wir haben darauf hingewiesen, dass ein gerader Winkel 180 Grad und ein rechter Winkel 90 Grad hat. Wir haben über Winkelhalbierende und Lothalbierende gesprochen. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei kleinere gleiche Winkel. Eine rechtwinklige Winkelhalbierende steht senkrecht auf einem Segment und teilt es in zwei gleiche Hälften.

Wir haben darüber gesprochen, wie sich zwei Winkel auf einer Linie ergänzen. Senkrechte Winkel sind kongruent. Und wir haben über die Winkel gesprochen, die durch eine Transversale gebildet werden, die ein Paar paralleler Linien schneidet. Und wir werden in den kommenden Videos über viele Anwendungen dieser grundlegenden Ideen sprechen.