Gleichungen mit Brüchen

Bruchrechnen

2. Stufe

UM EINE GLEICHUNG MIT BRÜCHEN zu lösen, wandeln wir sie in eine Gleichung ohne Brüche um, von der wir wissen, wie sie zu lösen ist. Diese Technik nennt man Bruchrechnung.

Beispiel 1. Löse für x:

x 3

+

x – 2 5

= 6.

Lösung. Löse die Brüche wie folgt:

Multipliziere beide Seiten der Gleichung – jeden Term – mit dem LCM der Nenner. Jeder Nenner wird dann durch sein Vielfaches geteilt. Wir haben dann eine Gleichung ohne Brüche.

Die LCM von 3 und 5 ist 15. Multipliziere daher beide Seiten der Gleichung mit 15.

15-

x 3

+

15-

x – 2 5

= 15- 6

Verteile auf der linken Seite 15 auf jeden Term. Jeder Nenner wird nun durch 15 geteilt – das ist der Punkt – und wir haben die folgende einfache Gleichung, die von Brüchen „befreit“ wurde:

5x + 3(x – 2)	=
Sie lässt sich leicht wie folgt lösen:
5x + 3x – 6	=	90
8x	=	90 + 6
x	=	96 8
	=

Wir sagen „multiplizieren“ beide Seiten der Gleichung, Dabei machen wir uns die Tatsache zunutze, dass die Reihenfolge, in der wir multiplizieren oder dividieren, keine Rolle spielt. (Lektion 1.) Daher teilen wir zuerst die LCM durch jeden Nenner und entfernen auf diese Weise die Brüche.

Wir wählen ein Vielfaches jedes Nenners, weil jeder Nenner dann ein Teiler davon ist.

Beispiel 2. Lösche die Brüche und löse für x:

x 2

–

5x 6

=

1 9

Lösung. Die LCM von 2, 6 und 9 ist 18. (Lektion 23 der Arithmetik.) Multipliziere beide Seiten mit 18 – und streiche.

9x – 15x = 2.

Es sollte nicht notwendig sein, 18 zu schreiben. Der Schüler sollte sich einfach ansehen und sehen, dass 2 neun (9) Mal in 18 aufgeht. Der Term wird also zu 9x.

Schauen Sie sich als nächstes an und sehen Sie, dass 6 drei (3) Mal in 18 eingeht. Dieser Term wird also 3- -5x = -15x.

Schließlich schaue an und sieh, dass 9 zwei (2) Mal durch 18 geht. Dieser Term wird also zu 2 – 1 = 2.

Hier ist die gelöste Gleichung, gefolgt von ihrer Lösung:

9x – 15x	=	2
-6x	=	2
x	=	2 -6
x	=	–	1 3

Beispiel 3. Lösen Sie für x:

½(5x – 2) = 2x + 4.

Lösung. Es handelt sich um eine Gleichung mit einem Bruch. Löse die Brüche, indem du beide Seiten mit 2 multiplizierst:

5x – 2	=	4x + 8
5x – 4x	=	8 + 2
x	=

Bei den folgenden Aufgaben, Brüche auflösen und für x lösen:

Um die einzelnen Antworten zu sehen, fahre mit der Maus über den farbigen Bereich.
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Bearbeite die Aufgabe zuerst selbst!

Aufgabe 1.	x 2	–	x 5	=	3
Die LCM ist 10. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	5x	–	2x	=	30
	3x			=	30
	x			=

Beim Lösen einer Gleichung mit Brüchen, sollte die nächste Zeile, die du schreibst —

5x – 2x = 30

— keine Brüche enthalten.

Aufgabe 2.	x 6	=	1 12	+	x 8
Die LCM ist 24. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	4x	=	2 + 3x
	4x – 3x	=	2
	x	=	2

Problem 3.	x – 2 5	+	x 3	=	x 2
Die LCM ist 30. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	6(x – 2) + 10x			=	15x
	6x – 12 + 10x			=	15x
	16x – 15x			=	12
	x			=

Problem 4. Ein Bruch gleich einem Bruch.

x – 1 4	=	x 7
Die LCM ist 28. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
7(x – 1)	=	4x
7x – 7	=	4x
7x – 4x	=	7
3x	=	7
x	=	7 3

Wir sehen, dass wenn ein einzelner Bruch gleich einem einzelnen Bruch ist, dann kann die Gleichung durch „Kreuzmultiplikation“ aufgelöst werden.“

Problem 5.	x – 3 3	=	x – 5 2
Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	2(x – 3)	=	3(x – 5)
	2x – 6	=	3x – 15
	2x – 3x	=	– 15 + 6
	-x	=	-9
	x	=	9

Problem 6.	x – 3 x – 1	=	x + 1 x + 2
Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	(x – 3)(x + 2)	=	(x – 1)(x + 1)
	x² -x – 6	=	x² – 1
	-x	=	-1 + 6
	-x	=	5
	x	=	-5.

Problem 7.	2x – 3 9	+	x + 1 2	=	x – 4
Die LCM ist 18. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	4x – 6 + 9x + 9			=	18x – 72
	13x + 3			=	18x – 72
	13x – 18x			=	– 72 – 3
	-5x			=	-75
	x			=

Problem 8.	2 x	–	3 8x	=	1 4
Die LCM ist 8x. Hier ist die gelöste Gleichung und ihre Lösung:
	16 – 3			=	2x
	2x			=	13
	x			=	13 2

2. Stufe

Nächste Lektion: Word problems

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