Integration, in der Mathematik, Technik, eine Funktion g(x) zu finden, deren Ableitung, Dg(x), gleich einer gegebenen Funktion f(x) ist. Dies wird durch das Integralzeichen „∫“ angezeigt, wie in ∫f(x), das gewöhnlich als unbestimmtes Integral der Funktion bezeichnet wird. Das Symbol dx steht für eine infinitesimale Verschiebung entlang x; somit ist ∫f(x)dx die Summation des Produkts von f(x) und dx. Das definite Integral, geschrieben
mit a und b als Integrationsgrenzen, ist gleich g(b) – g(a), wobei Dg(x) = f(x).
Einige Gegenableitungen können berechnet werden, indem man sich einfach daran erinnert, welche Funktion eine bestimmte Ableitung hat, aber die Techniken der Integration beinhalten meistens eine Klassifizierung der Funktionen danach, welche Arten von Manipulationen die Funktion in eine Form ändern, deren Gegenableitung leichter erkannt werden kann. Wenn man zum Beispiel mit Ableitungen vertraut ist, kann man die Funktion 1/(x + 1) leicht als Ableitung von loge(x + 1) erkennen. Die Gegenableitung von (x2 + x + 1)/(x + 1) ist nicht so leicht zu erkennen, aber wenn sie als x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1) geschrieben wird, kann sie als Ableitung von x2/2 + loge(x + 1) erkannt werden. Ein nützliches Hilfsmittel für die Integration ist der Satz, der als Integration durch Teile bekannt ist. In Symbolen ausgedrückt, lautet die Regel ∫fDg = fg – ∫gDf. Das heißt, wenn eine Funktion das Produkt von zwei anderen Funktionen ist, f und eine, die als Ableitung einer Funktion g erkannt werden kann, dann kann das ursprüngliche Problem gelöst werden, wenn man das Produkt gDf integrieren kann. Wenn zum Beispiel f = x und Dg = cos x ist, dann ist ∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x = x-sin x – cos x + C. Integrale werden verwendet, um Größen wie Fläche, Volumen, Arbeit und allgemein jede Größe zu bewerten, die als Fläche unter einer Kurve interpretiert werden kann.