Parallelwiderstand/Dünn-.lensEdit
Das folgende Nomogramm führt die Berechnung durch
1 1 / A + 1 / B = A B A + B {\displaystyle {\frac {1}{1/A+1/B}}={\frac {AB}{A+B}}
Dieses Nomogramm ist interessant, weil es eine nützliche nichtlineare Berechnung durchführt, die nur geradlinige, gleichmäßig abgestufte Skalen verwendet. Während die diagonale Linie eine Skala von 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}
mal größer ist als die Achsenskalen, stimmen die Zahlen auf ihr genau mit denen überein, die sich direkt unter oder links von ihr befinden, und daher kann sie leicht durch das Ziehen einer geraden Linie diagonal auf einem Blatt Millimeterpapier erstellt werden.
A und B werden auf der horizontalen und vertikalen Skala eingetragen, und das Ergebnis wird auf der diagonalen Skala abgelesen. Da diese Formel proportional zum harmonischen Mittelwert von A und B ist, hat sie mehrere Anwendungsmöglichkeiten. Sie ist zum Beispiel die Formel für den Parallelwiderstand in der Elektronik und die Gleichung für die dünne Linse in der Optik.
Im Beispiel zeigt die rote Linie, dass parallele Widerstände von 56 und 42 Ohm zusammen einen Widerstand von 24 Ohm haben. Sie zeigt auch, dass ein Objekt in 56 cm Entfernung von einer Linse mit einer Brennweite von 24 cm ein reales Bild in 42 cm Entfernung erzeugt.
Berechnung des Chi-Quadrat-TestsBearbeiten
Das nachstehende Nomogramm kann verwendet werden, um eine ungefähre Berechnung einiger Werte durchzuführen, die bei der Durchführung eines bekannten statistischen Tests, des Chi-Quadrat-Tests von Pearson, benötigt werden. Dieses Nomogramm demonstriert die Verwendung von gekrümmten Skalen mit ungleichmäßiger Abstufung.
Der entsprechende Ausdruck ist
( O B S – E X P ) 2 E X P {\displaystyle {\frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}}
Die Skala am oberen Rand ist auf fünf verschiedene Bereiche beobachteter Werte verteilt: A, B, C, D und E. Der beobachtete Wert befindet sich in einem dieser Bereiche, und die für diese Skala verwendete Markierung befindet sich unmittelbar darüber. Dann wird die für den erwarteten Wert verwendete gebogene Skala auf der Grundlage des Bereichs ausgewählt. Beispielsweise würde bei einem beobachteten Wert von 9 die Markierung oberhalb der 9 im Bereich A verwendet, und die gekrümmte Skala A würde für den erwarteten Wert verwendet werden. Bei einem beobachteten Wert von 81 würde die Markierung oberhalb von 81 im Bereich E verwendet, und die gekrümmte Skala E würde für den erwarteten Wert verwendet. Auf diese Weise können fünf verschiedene Nomogramme in ein einziges Diagramm integriert werden.
Die blaue Linie zeigt die Berechnung von
(9 – 5)2/ 5 = 3,2
und die rote Linie zeigt die Berechnung von
(81 – 70)2 / 70 = 1,7
Bei der Durchführung des Tests wird häufig die Yates-Korrektur für Kontinuität angewandt, bei der einfach 0,5 von den beobachteten Werten abgezogen wird. Ein Nomogramm für die Durchführung des Tests mit der Yates-Korrektur könnte einfach konstruiert werden, indem jede „beobachtete“ Skala um eine halbe Einheit nach links verschoben wird, so dass die Teilungen 1,0, 2,0, 3,0, … an der Stelle platziert werden, wo die Werte 0,5, 1,5, 2,5, …
Risikobewertung von LebensmittelnBearbeiten
Obwohl Nomogramme mathematische Beziehungen darstellen, sind nicht alle mathematisch abgeleitet. Das folgende Nomogramm wurde grafisch entwickelt, um geeignete Endergebnisse zu erzielen, die leicht durch das Produkt ihrer Beziehungen in subjektiven Einheiten und nicht numerisch definiert werden können. Die Verwendung nicht paralleler Achsen ermöglichte es, die nichtlinearen Beziehungen in das Modell einzubeziehen.
Die Zahlen in den quadratischen Kästchen bezeichnen die Achsen, die nach einer entsprechenden Bewertung eingegeben werden müssen.
Die beiden Nomogramme im oberen Teil des Bildes bestimmen die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Verfügbarkeit, die dann in das untere mehrstufige Nomogramm einfließen.
Die Linien 8 und 10 sind „Verbindungslinien“ oder „Pivot-Linien“ und werden für den Übergang zwischen den Stufen des zusammengesetzten Nomogramms verwendet.
Das letzte Paar paralleler logarithmischer Skalen (12) sind keine Nomogramme im eigentlichen Sinne, sondern Ableseskalen, um den Risikowert (11, entfernt bis extrem hoch) in eine Probenahmehäufigkeit zu übersetzen, um Sicherheitsaspekte bzw. andere „Verbraucherschutz“-Aspekte zu berücksichtigen. In dieser Phase muss die Politik ein Gleichgewicht zwischen Kosten und Risiko finden. In dem Beispiel wird eine Mindesthäufigkeit von drei Jahren für beide Aspekte verwendet, wobei das hohe Risiko am Ende der Skala für die beiden Aspekte unterschiedlich ist, was zu unterschiedlichen Häufigkeiten für die beiden Aspekte führt, aber für beide Aspekte gilt eine allgemeine Mindestbeprobung jedes Lebensmittels für alle Aspekte mindestens einmal alle drei Jahre.
Dieses Nomogramm zur Risikobewertung wurde vom britischen Public Analyst Service mit finanzieller Unterstützung der britischen Food Standards Agency entwickelt und soll als Leitfaden für die angemessene Häufigkeit von Probenahmen und Analysen von Lebensmitteln im Rahmen der amtlichen Lebensmittelüberwachung dienen; es soll zur Bewertung aller potenziellen Probleme bei allen Lebensmitteln verwendet werden, wurde aber noch nicht angenommen.
Schätzung des StichprobenumfangsBearbeiten
Dieses Nomogramm kann verwendet werden, um den erforderlichen Stichprobenumfang für statistische Analysen zu schätzen. Es verwendet vier Parameter: α (fest), Effektgröße (ρ oder δ), statistische Aussagekraft und Fallzahl N (zwei Skalen für α = .05 (liberal) oder .01 (konservativ)).
Die angenommene Effektgröße in der Population kann entweder als Korrelationskoeffizient (ρ) oder als normalisierte Differenz der Mittelwerte (δ) für einen T-Test ausgedrückt werden. Die normalisierte Differenz ist gleich dem absoluten Wert der Differenz zwischen zwei Populationsmitteln (μ₁ – μ₂), geteilt durch die gepoolte Standardabweichung (s).
Die gewünschte statistische Aussagekraft wird durch 1 – β geschätzt, wobei β gleich der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ II ist. Ein Fehler vom Typ II bedeutet, dass die statistische Nullhypothese nicht zurückgewiesen wird (d. h. ρ oder δ ist Null), obwohl die Nullhypothese in der Population falsch ist und zurückgewiesen werden sollte. Cohen (1977) empfiehlt eine Trennschärfe von 0,80 oder 80 % bei einem β = 0,20.
Der erforderliche Stichprobenumfang oder die Anzahl der Fälle wird für zwei Standardniveaus der statistischen Signifikanz (α = 0,01 oder 0,05) angegeben. Der Wert von α ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ I zu machen. Ein Fehler vom Typ I ist die Ablehnung der statistischen Nullhypothese (d. h. die Behauptung, dass entweder ρ oder δ gleich Null ist), obwohl sie in der Grundgesamtheit tatsächlich wahr ist (der Wert ist Null) und nicht abgelehnt werden sollte. Die am häufigsten verwendeten Werte von α sind 0,05 oder 0,01.
Um den erforderlichen Stichprobenumfang für eine bestimmte statistische Analyse zu ermitteln, schätzt man die in der Grundgesamtheit erwartete Effektgröße (ρ oder δ) auf der linken Achse, wählt das gewünschte Leistungsniveau auf der rechten Achse und zieht eine Linie zwischen den beiden Werten.
Der Schnittpunkt der Linie mit der Mittelachse α = 0,05 oder α = 0,01 gibt den Stichprobenumfang an, der erforderlich ist, um eine statistische Signifikanz von α kleiner als 0,05 bzw. 0,01 (für die zuvor angegebenen Parameter) zu erreichen.
Wenn man beispielsweise die Korrelation in der Population (ρ) auf 0.30 schätzt und eine statistische Aussagekraft von 0,80 wünscht, dann wäre für ein Signifikanzniveau von α kleiner als 0,05 ein Stichprobenumfang von N = 70 Fällen, aufgerundet (genauer: ca. 68 Fälle durch Interpolation) erforderlich.
Andere schnelle NomogrammeBearbeiten
Mit einem Lineal, kann man den fehlenden Term des Sinussatzes oder die Wurzeln der quadratischen und kubischen Gleichung leicht ablesen.