Inhaltsverzeichnis
Verwendung des Standardabweichungsrechners
Der obige Standardabweichungsrechner bietet eine einfache Möglichkeit, die Standardabweichung einer Reihe von Zahlen zu berechnen und zu lernen, wie man sie findet. Besser als jeder Standardrechner bietet dieser Rechner eine Schritt-für-Schritt-Lösung, wie Sie die Antwort selbst finden können. Dieser Rechner für die Standardabweichung ist ein hervorragendes Lehrmittel, das Ihnen dabei hilft, die richtigen Antworten für Ihre eigene Arbeit zu finden. Wenn Sie auch den Bereich eines Datensatzes ermitteln müssen, besuchen Sie die Seite Rechner für Variabilitätsmaße. Dieser Rechner ermittelt alle drei Maße der Variabilität, den Bereich, die Varianz und die Standardabweichung, und zeigt Ihnen eine schrittweise Lösung.
Was ist die Standardabweichung?
Die Definition der Standardabweichung ist ein Maß für die „Streuung“ der Datenwerte innerhalb eines Datensatzes. Die „Streuung“ bezieht sich darauf, wie nah oder weit die Datenwerte im Vergleich zum Mittelwert des Datensatzes liegen. Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Sowohl die Varianz als auch die Standardabweichung sind Maßzahlen für die Variabilität.
Dieser Standardabweichungsrechner gibt Ihnen nicht nur eine Antwort auf Ihr Problem, sondern führt Sie auch durch eine schrittweise Lösung.
Was bedeutet eine große Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Datenwerte vom Mittelwert. Wenn die Standardabweichung groß ist, ist die Streuung der Datenwerte groß. Das bedeutet, dass die Werte weit vom Mittelwert entfernt sind. Dies deutet auf eine große Variabilität im Datensatz hin. Wenn die Standardabweichung klein ist, sind die Datenwerte in einem Datensatz weniger weit vom Mittelwert entfernt. Dies bedeutet weniger Variabilität und mehr Konsistenz.
Angenommen, Sie nehmen an einer Prüfung teil und die Standardabweichung der Klassennoten beträgt 5,0. Zu diesem Zeitpunkt können wir nicht wirklich sagen, ob deine Klasse eine konstante Leistung erbracht hat oder nicht, denn wir haben nichts, womit wir sie vergleichen können. Nun nimmt Ihr Freund in einer anderen Klasse an einer Prüfung teil, und die Standardabweichung für die Noten dieser Klasse beträgt 15,0. Wenn wir die beiden Standardabweichungen vergleichen, zeigt sich, dass in Ihrer Klasse mehr Konsistenz und weniger Variabilität herrscht. In der Klasse deines Freundes gibt es weniger Konsistenz und mehr Variabilität.
Wenn du den Standardabweichungsrechner verwendest, um die Standardabweichungen von zwei verschiedenen Datensätzen zu finden, ist die Standardabweichung, die kleiner ist, für den Datensatz, der konsistenter ist, und die Standardabweichung, die größer ist, für den Datensatz, der variabler ist.
Einkommensbeispiel – Vergleich zweier Städte
Angenommen, du hast zwei Datensätze, die aus dem Familieneinkommen bestehen. Der erste Datensatz besteht aus der Grundgesamtheit der Einkommen von Familien in Stadt ‚A‘ und der zweite Datensatz besteht aus der Grundgesamtheit der Einkommen von Familien in Stadt ‚B‘. Stadt ‚A‘ und Stadt ‚B‘ haben beide ein mittleres Familieneinkommen von 65.000 $. Bisher haben wir:
Stadt A Mittelwert:
µ = 65.000
Stadt B Mittelwert:
µ = 65.000
Wenn die Standardabweichung für den Datensatz der Einkommen aus Stadt A $ \$ 5.500.00 $ und die Standardabweichung für den Datensatz der Einkommen aus Stadt B $ \$ 2.100,00 $ beträgt, dann wissen wir, dass die Einkommen in Stadt A weiter vom Mittelwert entfernt sind, während die Einkommen in Stadt B näher am Mittelwert liegen bzw. sich enger um diesen herum gruppieren. Die Einkommen in Stadt A haben eine größere Variabilität als die Einkommen in Stadt B.
Symbol für die Standardabweichung
Das Symbol für die Standardabweichung eines Datensatzes, der eine Stichprobe darstellt, ist s. Das Symbol für die Standardabweichung eines Datensatzes, der die Grundgesamtheit darstellt, ist σ (klein geschriebenes griechisches Sigma). Wir haben die Informationen über die Grundgesamtheit sowohl für die Stadt „A“ als auch für die Stadt „B“. Daher lautet das Symbol für die Standardabweichung für beide:
Stadt A Standardabweichung:
σ = 5.500 $
Stadt B Standardabweichung:
σ = 2.100 $
Standardabweichung für keine Variabilität
Eine Standardabweichung ist immer eine positive Zahl oder möglicherweise 0. Angenommen, in der Stadt ‚C‘ hat jede Familie das gleiche Einkommen, nämlich 65.000 $. Obwohl dies realistisch gesehen nicht möglich ist, würde dies mathematisch gesehen bedeuten, dass das Einkommen in der Stadt ‚C‘ $ \$ 65.000 $ beträgt und die Standardabweichung 0 ist. Eine Standardabweichung von 0 zeigt an, dass ein Datensatz überhaupt keine Variabilität aufweist und jeder Datenwert im Datensatz genau gleich ist.
Versuchen Sie es! Verwenden Sie den Standardabweichungsrechner und geben Sie Folgendes ein:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Sie werden sehen, dass die Standardabweichung zu 0 berechnet wird, und die Lösungsschritte zeigen Ihnen, warum sie 0 ist.
Verwendete Einheiten für die Standardabweichung
Die Einheiten für die Standardabweichung sind die gleichen wie die Einheiten für die Datenwerte im Datensatz. In unserem obigen Beispiel sind die Datenwerte in Dollar, daher ist die Standardabweichung in Dollar angegeben.
Was ist die Varianz?
Im Zusammenhang mit der Standardabweichung eines Datensatzes steht die Varianz eines Datensatzes. Die Varianz eines Datensatzes ist das Quadrat der Standardabweichung, und daher sind die Einheiten für die Varianz quadratisch zu den Einheiten der Standardabweichung. Das Symbol für die Stichprobenvarianz ist s2, und das Symbol für die Populationsvarianz ist σ2. In unserem obigen Beispiel lauten die Varianzen für Stadt A und Stadt B:
Stadt A Varianz:
σ2 = 30.250.000 $2
Stadt B Varianz:
σ2 = 4.410.000 $2
Gleich wie bei einer manuellen Berechnung ermittelt der Standardabweichungsrechner zunächst die Varianz und zieht dann die Quadratwurzel, um die Standardabweichung zu ermitteln.
Anwendung der Formeln für Standardabweichung und Varianz
Nachdem Sie nun die Definition der Standardabweichung kennen, möchten Sie lernen, wie Sie die Standardabweichung und die Varianz berechnen können? Sie können entweder die Formeln für Standardabweichung und Varianz anwenden, oder Sie können nach oben scrollen und den Standardabweichungsrechner online benutzen. In der folgenden Anleitung zeige ich Ihnen, wie Sie die Standardabweichung und Varianz mit Hilfe von Formeln manuell ermitteln können.
Möchten Sie wissen, wie Sie die Standardabweichung oder Varianz eines Datensatzes manuell ermitteln können? Dann müssen Sie die Formeln für die Varianz und/oder Standardabweichung verwenden. Diese Formeln sehen zwar kompliziert aus, aber wenn man sie in kleinen Schritten ausführt, ist der Prozess der Berechnung sehr überschaubar. Die Formeln verwenden unterschiedliche Symbole, je nachdem, ob der Datensatz eine Grundgesamtheit oder eine Stichprobe darstellt.
Es gibt zwei Versionen der Varianz- und Standardabweichungsformeln, die Standard- und die Berechnungsformel. Ich werde in diesem Artikel die Berechnungsformel verwenden. Sie ist einfacher von Hand zu berechnen und weist weniger Rundungsfehler auf. Wenn Sie die Lösung mit der Standardformel sehen möchten, können Sie mit dem obigen Rechner für die Standardabweichung die Lösungen mit beiden Formeln anzeigen.
Bevölkerungsvarianzformel und Stichprobenvarianzformel
| Bevölkerungsvarianzformel | Stichprobenvarianzformel |
|---|---|
$$ {\sigma^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}$$Wobei $\sigma^2$ das Symbol der Bevölkerungsvarianz ist, |
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$Wobei $s^2$ das Symbol für die Stichprobenvarianz ist, |
Es gibt einen sehr einfachen Schritt zwischen der Ermittlung der Varianz und der Ermittlung der Standardabweichung. Sobald Sie die Varianz haben, ziehen Sie einfach die Quadratwurzel, um die Standardabweichung zu erhalten.
Formel der Standardabweichung der Bevölkerung und Formel der Standardabweichung der Stichprobe
| Standardabweichung der Bevölkerung Formel | Stichprobenstandardabweichung Formel |
|---|---|
$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}} $$Wobei $\sigma$ das Symbol der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist, |
$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$Wobei $s$ das Symbol für die Standardabweichung der Stichprobe ist, |
Beispiel für die Ermittlung der Standardabweichung und der Varianz
Lassen Sie uns durchgehen, wie man die Standardabweichung und die Varianz für einen kleinen Datensatz ermittelt, wenn der Datensatz eine Stichprobe der Körpergrößen von Kindern darstellt. Nachdem wir die Varianz ermittelt haben, gehen wir einen kleinen Schritt weiter, um die Standardabweichung zu erhalten. Wir berechnen unsere Antworten, indem wir eine Reihe von 8 Schritten durchführen.
Das Problem: Finde die Varianz und die Standardabweichung für das Folgende. Angenommen, Sie haben eine Stichprobe von 5 Kindern mit folgenden Größen:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Schritt 1 – Schreiben Sie die Formeln für die Stichprobenvarianz und die Stichprobenstandardabweichung
Da dieses Problem besagt, dass die 5 Werte eine Stichprobe darstellen, werden wir die Formeln für die Stichprobenvarianz und die Stichprobenstandardabweichung verwenden. Schreiben Sie zunächst die Berechnungsformeln für die Stichprobenvarianz und die Stichprobenstandardabweichung:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$
$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$
Schritt 2 – Erstellen einer Tabelle für alle Werte von $ x $ und $x^2$
Nachfolgend zeichnen Sie eine Tabelle mit 2 Spalten und 5 Zeilen für jeden Datenwert und eine Kopfzeile. Beschrifte die Kopfzeile mit $ x $ und $ x^2 $. Setze nun jeden der Datenwerte in die Spalte $ x $. Jeder Datenwert hat seine eigene Zeile. Quadriere jeden Wert von x in der ersten Spalte und füge diese Werte in der zweiten Spalte ein.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Schritt 3 – Addiere alle Werte in der ersten Spalte
Nachdem die Tabelle und die Spalten erstellt wurden, nehmen Sie die Summe aller Werte in der ersten Spalte. Dies wird symbolisiert als $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$ \sum{x} = 289 $$
Schritt 4 – Quadrieren und Dividieren
Nimm nun die Antwort aus Schritt 3, 289, und quadriere sie. Teilen Sie dann durch den Umfang der Stichprobe.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Schritt 5 – Addieren Sie alle Werte in der zweiten Spalte
Nächste nehmen Sie die Summe aller Werte in der zweiten Spalte. Dies wird symbolisiert als $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Schritt 6 – Subtrahiere $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
In diesem Schritt, nimmst du die Antwort aus Schritt 5 und subtrahierst die Antwort aus Schritt 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$
$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$
Schritt 7 – Dividieren und die Varianz ermitteln
Hier nimmst du die Antwort aus Schritt 6 und teilst sie durch $n – 1$, also um eins weniger als den Stichprobenumfang. Das ist die Varianz!
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Schritt 8 – Ermittlung der Standardabweichung aus der Varianz
Um die Standardabweichung zu ermitteln, nimmt man die Quadratwurzel aus der Antwort für die Varianz aus Schritt 7. Hier runde ich die Antwort auf 4 Dezimalstellen.
$$ s = \sqrt{30.7} = 5.5408 $$
Da unsere Daten zunächst in Einheiten von Zoll vorliegen, beträgt die Standardabweichung 5.5408 Zoll.
Das war’s! Gar nicht so schlecht, oder? Es ist eine gute Idee, den obigen Rechner für die Standardabweichung zu benutzen, um dich bei der Lösung weiterer Probleme zu unterstützen. Versuchen Sie, die Lösungen selbst zu berechnen, und vergleichen Sie Ihre Arbeit mit der vom Rechner errechneten Lösung. Du hast es geschafft!