Modelling of multi-flagellated bacteria
Wir beginnen mit dem Aufbau eines Berechnungsmodells der Fortbewegung eines peritrichen Bakteriums, wie im Abschnitt Methoden mit mathematischen Details in den zusätzlichen Informationen beschrieben. Wir betrachten ein Bakterium, das von Nf Geißeln angetrieben wird (Abb. 2A) und einen Zellkörper in Form eines länglichen Ellipsoids besitzt. Jedes Flagellum besteht aus: (i) einem Rotationsmotor, der eine feste Rotationsrate um die Achse des Geißelfilaments erzeugt; (ii) einem kurzen flexiblen Haken, der als Torsionsfeder um die Motorachse behandelt wird und dessen Hydrodynamik vernachlässigt werden kann17; (iii) einem schraubenförmigen Geißelfilament in normaler linkshändiger Polymerform, dessen Hydrodynamik mit der Schlankheitstheorie24 erfasst wird. Die Motor- und Filamentparameter wurden so gewählt, dass sie denen von E. coli-Bakterien7 entsprechen (Tabelle S1 in den ergänzenden Informationen). Jedes helikale Filament hat ein sich verjüngendes Ende, so dass der Helixradius an seinem Befestigungspunkt am Motor null ist25. Flagellarfilamente können sich relativ zu ihrem Befestigungspunkt am Zellkörper drehen, aber nicht verschieben, und während die Drehung um die Helixachse durch den Motor vorgegeben ist, werden alle weiteren Drehungen relativ zum Körper gelöst. Wir vernachlässigen hydrodynamische Wechselwirkungen zwischen dem Zellkörper und den Geißelfilamenten, berücksichtigen aber sterische Wechselwirkungen, um zu verhindern, dass die Filamente in den Körper eindringen. Für jeden Haken verwenden wir θ, um den Neigungswinkel zwischen der Senkrechten zum Zellkörper an der Motorposition und der Achse des Geißelfilaments zu bezeichnen (d. h. wenn θ = 0 ist, steht das Filament senkrecht zum Zellkörper). Das elastische Rückstellmoment, das von jedem Motor auf sein Geißelfilament ausgeübt wird, wird als Torsionsfeder mit der Federkonstante \(K=EI/{\ell }_{h}\) modelliert, wobei EI und \({\ell }_{h}\) die Biegesteifigkeit bzw. die Länge des Hakens sind16. Die Größe des Rückstellmoments ist somit durch K|θ| gegeben und die Elastizität des Hakens bewirkt, dass die Helixachse mit der Normalen zum Zellkörper ausgerichtet wird. Das Rechenmodell löst die momentanen Positionen der Geißelfilamente sowie die Schwimmgeschwindigkeit Ub und die Winkelgeschwindigkeit Ωb des Zellkörpers in Abhängigkeit von der Hakensteifigkeit.
(A) Computermodell eines peritrichen Bakteriums, das Nf helikale Filamente (Radius Rh; Steigungswinkel β) betätigt, indem es sie mit vorgeschriebener Winkelgeschwindigkeit um ihre Achse \(\hat{{\bf{k}}}) dreht. Der flexible Haken wirkt elastisch, um die Helixachse mit der Normalen \(\hat{{\bf{N}}\) zum Zellkörper auszurichten. (B) Vereinfachtes Modell zur Erfassung der elastohydrodynamischen Instabilität. Zwei gerade aktive Filamente der Länge \(\ell \), die auf beiden Seiten eines kugelförmigen Körpers mit dem Radius \(a\) angebracht sind, sind in einem Winkel ±θ von der Oberflächennormalen des Zellkörpers, \(\hat{{\bf{N}}\), weggekippt und wirken auf die Zelle mit einer tangentialen Kraft \(f\ell \hat{{\bf{t}}\), was zum Schwimmen des Modellbakteriums mit der Geschwindigkeit \(U\hat{{\bf{y}}\) führt.)
Schubbakterien mit flexiblen Haken unterliegen einer Schwimminstabilität
Die Untersuchung der Ergebnisse unseres Rechenmodells enthüllt eine bemerkenswerte elastohydrodynamische Instabilität, die in Abb. 3 für den Fall von Nf = 4 Geißeln, der durchschnittlichen Anzahl von Geißeln auf einer E. coli-Zelle, dargestellt ist6. Die Motoren sind symmetrisch um die Oberfläche des Zellkörpers angeordnet. Wir beginnen die Berechnungen mit jedem Geißelfaden, der in einem kleinen Winkel von der Normalen zur Oberfläche geneigt ist, und bewegen das System in der Zeit vorwärts, während wir die Position der Zelle im Laborrahmen und der Geißelfäden relativ zum Zellkörper verfolgen. Zugehörige Filme sind online verfügbar (siehe ergänzende Informationen).
Schwimmende Bewegung für ein Bakterium, das mit Nf = 4 Geißeln mit flexiblem vs. steifem Haken schwimmt. (A) Ausgangsposition und Konformation der einzelnen Zellen. (B) Pusherzelle mit flexiblem Haken bei t = 200 (Zeiten skaliert mit der Rotationsrate der Geißeln). (C) Pusherzelle mit steifem Haken bei t = 200. (D) Von jedem Schwimmer zurückgelegte Strecke (nicht dimensioniert durch die Steigung der Helixfilamente) als Funktion der Zeit für vier verschiedene Schwimmer: steifer (Rauten) vs. flexibler Haken (Quadrate) und Pusher (gefüllte Symbole) vs. Puller (leer).
In Abb. 3A-C zeigen wir die Flugbahn eines Pusher-Bakteriums (d.h. einer Zelle mit Geißelfilamenten, die eine normale CCW-Drehung erfahren) mit zwei verschiedenen Hakensteifigkeiten über eine Zeitskala t = 200 (Zeit nicht dimensioniert durch die Rotationsrate der Geißeln). Während beide an der gleichen Stelle starten (A), hat die Zelle mit dem flexiblen Haken (K = 0,1) am Ende ihre Geißelfilamente alle auf den Rücken gewickelt und kann fünfmal so schnell schwimmen (B) wie die Zelle mit dem steifen Haken (K = 100), deren Geißelfilamente in der gleichen gespreizten Konfiguration geblieben sind (C). Dies wird in Abb. 3D quantifiziert, wo wir die zurückgelegte Nettostrecke als Funktion der Zeit (skaliert mit der Steigung der Helix) darstellen. Die Zelle mit dem flexiblen Haken (gefülltes Quadrat) schwimmt durchweg schneller als die starre Zelle (gefüllte Raute). Wenn wir alternativ die Drehrichtung der Geißeln umkehren, so dass sie sich im Uhrzeigersinn (CW) drehen, wird die Zelle zu einem Puller und geht weder bei einem flexiblen Haken (leere Quadrate) noch bei einem steifen Haken (leere Rauten) zu schnellem Schwimmen über. Man beachte, dass die beiden steifen Fälle (Schieber und Zieher; Rauten) die gleiche Schwimmstärke haben, was eine Folge der kinematischen Reversibilität von Stokes-Strömungen ist5. Wichtig ist, dass der Übergang zu schnellem Schwimmen für flexible Schubbakterien nicht fließend mit Änderungen der Hakensteifigkeit erfolgt, sondern bei einem kritischen dimensionslosen Wert von Kc ≈ 1 (dimensionslos mit der Viskosität der Flüssigkeit, der Steigung des Helixfilaments und der Rotationsfrequenz). Oberhalb von Kc bleiben alle Geißeln normal zur Zelle (θ ≈ 0), was zu vernachlässigbarem Schwimmen führt, während sich unterhalb von Kc alle Geißeln hinter die Zelle wickeln (|θ| ≈ π/2), was zu einer Netto-Lokomotion führt.
Dieser scharfe Übergang entsteht nicht durch eine Knickinstabilität des Hakens, die hier nur auf der Ebene einer Torsionsfeder modelliert wird16. Stattdessen entsteht die Instabilität durch die wechselseitige Kopplung zwischen der Konformation der Geißel und der Zellbewegung. Um die physikalischen Zusammenhänge dieser Instabilität zu entschlüsseln, betrachten wir den Fall eines kugelförmigen Zellkörpers und zweier Geißeln genauer, da dies die Mindestkonfiguration ist, die die Instabilität zeigt und gleichzeitig die gleichen physikalischen Zusammenhänge erfasst wie geometrisch komplexe Fälle (siehe zugehörige Filme in den Zusatzinformationen). Die stationären Berechnungsergebnisse für diesen Fall sind im Hauptteil von Abb. 4 (Symbole und dünne Linien) für den Winkel θ zwischen der Achse der Geißelfilamente und dem Zellkörper (A) und für die Netto-Schwimmgeschwindigkeit U der Zelle im Labor (B) dargestellt. Während die Geißelkonformation von Pullerbakterien unabhängig von der Hakensteifigkeit ist und zu Nullschwimmen führt (hellrote Kreise), zeigen Pusherzellen deutlich einen plötzlichen Sprung zu einer gewickelten Konformation und eine Netto-Lokomotion für eine Hakensteifigkeit unter Kc ≈ 0.79 (dunkelblaue Kreise).
Neigungswinkel der Geißeln im stationären Zustand (|θ|, A) und Schwimmgeschwindigkeiten im Labor (U, B) für das vollständige Rechenmodell aus Abb. 2A mit zwei Geißeln (Symbole und dünne Linien) und für das einfache aktive Filamentmodell von Abb. 2B (dicke Linien) in Abhängigkeit von der dimensionslosen Hakenfederkonstante K. Grüne Linie und hellrote Symbole: Pullerbakterium, für das der Nichtschwimmzustand immer stabil ist; Dunkelrote Linie und dunkelblaue Symbole: Pusherbakterium, das für K < Kc einen Übergang zum Schwimmen erfährt. Die gestrichelte Linie zeigt die theoretisch vorhergesagte kritische Federkonstante, Kc ≈ 0,53.
Analytisches Modell der elastohydrodynamischen Instabilität
Die beobachtete Dynamik kann durch ein analytisches Modell erfasst werden, das zeigt, dass Schwimmen als Ergebnis einer linearen elastohydrodynamischen Instabilität auftritt. Betrachten wir das einfache geometrische Modell, das in Abb. 2 dargestellt ist. Zwei gerade aktive Filamente der Länge \(\ell \) sind symmetrisch an beiden Seiten eines kugelförmigen Zellkörpers mit dem Radius a befestigt und um symmetrische Winkel ±θ von der Normalen der Körperoberfläche weg gekippt, \(\hat{{\bf{N}})) (man beachte, dass der asymmetrische Kippmodus, der hier nicht berücksichtigt wird, zu einem Übergang in Rotation statt in Translation führen würde). Jedes Filament, das über einen Haken, der als Torsionsfeder mit der Steifigkeit K modelliert ist, elastisch am Zellkörper befestigt ist, stößt die Zelle entlang ihrer tangentialen Richtung mit einer Antriebskraftdichte \(f\hat{{\bf{t}}\) an, was zum Schwimmen des Bakteriums mit der Geschwindigkeit \(U\hat{{\bf{y}}\) führt (siehe Abb. 2 für alle Schreibweisen). Bei der CCW-Bewegung sind die Antriebskräfte auf den Zellkörper gerichtet (f < 0) und die Zelle ist ein Schieber. Im Gegensatz dazu zeigen die Antriebskräfte bei der CW-Bewegung von der Zelle weg (f > 0), und der Schwimmer ist ein Zieher.
Die Schwimmgeschwindigkeit (U) und die Änderungsrate der Konformation der Filamente (\(\dot{\theta }\)) lassen sich durch Erzwingen eines Kräfte- und Momentengleichgewichts ermitteln. Unter Verwendung von c|| und c⊥ zur Bezeichnung der Widerstandskoeffizienten für ein schlankes Filament, das sich parallel bzw. senkrecht zu seiner Tangente bewegt (siehe ergänzendes Material), ergibt sich das Gleichgewicht der Kräfte auf die gesamte Zelle in Schwimmrichtung, \(\hat{{\bf{y}}}\), wird geschrieben als
wobei die ersten beiden Terme auf den Luftwiderstand am Zellkörper und an den aktiven Filamenten aufgrund des Schwimmens zurückzuführen sind, der dritte Term der Luftwiderstand an den Filamenten aufgrund der Rotation ist und der letzte Term die gesamte auf die Zelle wirkende Antriebskraft ist.
Die zweite Gleichung ergibt sich aus dem Gleichgewicht des Moments an jedem aktiven Filament, die in der Richtung \hat{{\bf{z}}=\hat{{\bf{x}}\mal \hat{{\bf{y}}\) am Befestigungspunkt auf der Zelloberfläche geschrieben wird als
wobei der erste Term das hydrodynamische Moment aufgrund der Drehung des Fadens ist, der zweite das hydrodynamische Moment aufgrund des Schwimmwiderstands und der letzte Term das elastische Rückstellmoment des Hakens ist, das den Faden in seine gerade Konfiguration zurückbringt. Die Kombination der Gleichungen (1) und (2) führt zu einer Entwicklungsgleichung für θ
Wenn das elastische Moment dominiert, ist die gerade Konfiguration θ = 0 der einzige stationäre Zustand, der mit keinem Schwimmen verbunden ist. Wenn stattdessen das elastische Moment vernachlässigbar ist, werden die Schwimmzustände mit θ = ±π/2 zu möglichen Gleichgewichten.
Um zu untersuchen, wie eine Variation der Hakensteifigkeit den Übergang von einem Zustand zum nächsten ermöglicht, lösen wir Gl. (3) numerisch mit den entsprechenden Geißelfilamentwerten für eine schwimmende E. coli-Zelle vom Wildtyp und unter Verwendung der Größe von f, was zu einer Übereinstimmung mit den vollständigen Berechnungen bei einer Hakensteifigkeit von Null führt (siehe ergänzendes Material). Wir beginnen mit kleinen Störungen um θ = 0 und berechnen den langzeitigen stationären Zustand von Gleichung (3), wobei die Ergebnisse in Abb. 4 sowohl für Pusher (dunkelrote Linie) als auch für Puller (grüne Linie) dargestellt sind. Ziehende Zellen schwimmen nie für irgendeinen Wert der Hakensteifigkeit, und die gerade Konfiguration θ = 0 ist immer stabil. Im Gegensatz dazu können Drückerzellen für Haken, die steifer als ein kritischer Wert sind, nicht schwimmen, sondern durchlaufen einen plötzlichen Übergang zum direkten Schwimmen für weichere Haken, in hervorragender Übereinstimmung mit den Berechnungen für den vollständigen Fall mit zwei Flagellen (Symbole in Abb. 4).
Der plötzliche Übergang zum Schwimmen für eine kritische Hakensteifigkeit kann analytisch vorhergesagt werden, indem Gleichung. (3) in der Nähe des Gleichgewichts bei θ = 0, was zu
Wenn f positiv ist (Puller), dann ist die Konfiguration mit θ = 0, die mit keinem Schwimmen U = 0 verbunden ist, immer linear stabil gegenüber kleinen Störungen für jeden Wert von K. Im Gegensatz dazu sind Schieber mit f < 0 linear instabil für K < Kc, so dass die rechte Seite von Gleichung (4) positiv wird, d.h. \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Eine lineare elastohydrodynamische Instabilität ermöglicht es also Schubbakterien mit ausreichend flexiblen Haken, dynamisch in eine asymmetrische Konformation (θ ≠ 0) mit Netzschwimmen (U ≠ 0) überzugehen. Man beachte, dass das einfache theoretische Modell (lineare Stabilität und numerische Lösung von Gl. 3) eine kritische dimensionslose Steifigkeit von Kc ≈ 0,53 vorhersagt, in Übereinstimmung mit den Berechnungen für das vollständige Bakterienmodell, Kc ≈ 0,79.