Merkmale einer Spirale
Typen von Spiralen
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Eine Spirale ist eine Kurve, die von einem Punkt gebildet wird, der sich in immer größerem Abstand um eine feste Achse dreht. Sie kann durch eine mathematische Funktion definiert werden, die den Abstand eines Punktes von seinem Ursprung mit dem Winkel, um den er gedreht wird, in Beziehung setzt. Zu den gebräuchlichen Spiralen gehören die Archimedische Spirale und die Hyperbolische Spirale. Eine andere Art von Spirale, die so genannte logarithmische Spirale, ist in der Natur häufig anzutreffen.
Eigenschaften einer Spirale
Eine Spirale ist eine Funktion, die den Abstand eines Punktes vom Ursprung zu seinem Winkel mit der positiven
SCHLÜSSELBEZEICHNUNGEN
Logarithmische Spirale – Eine Art von Kurve, die durch die Beziehung r = ea q definiert ist. Sie ist eine in der Natur häufig vorkommende Form.
Ursprung – Der Anfangspunkt einer Spirale. Auch bekannt als der Kern.
Spirale von Archimedes – Ein Kurventyp, der durch die Beziehung r = aq definiert ist. Dies war die erste Spirale, die entdeckt wurde.
Schwanz – Der Teil einer Spirale, der sich vom Ursprung weg windet.
x Achse. Die Gleichung für eine Spirale wird in der Regel in Form ihrer Polarkoordinaten angegeben. Das Polarkoordinatensystem ist eine weitere Möglichkeit, Punkte in einer Grafik zu lokalisieren. Im rechtwinkligen Koordinatensystem wird jeder Punkt durch seinen x- und y-Abstand vom Ursprung definiert. Der Punkt (4,3) liegt zum Beispiel 4 Einheiten über der x-Achse und 3 Einheiten über der y-Achse. Im Gegensatz zum rechtwinkligen Koordinatensystem verwendet das Polarkoordinatensystem den Abstand und den Winkel vom Ursprung eines Punktes, um seine Lage zu definieren. Die übliche Schreibweise für dieses System ist (r,θ), wobei r die Länge eines vom Ursprung zum Punkt gezogenen Strahls und θ den Winkel darstellt, den dieser Strahl mit der x-Achse bildet. Dieser Strahl wird oft als Vektor bezeichnet.
Wie alle anderen geometrischen Formen hat auch die Spirale bestimmte Merkmale, die zu ihrer Definition beitragen. Das Zentrum oder der Ausgangspunkt einer Spirale wird als ihr Ursprung oder Kern bezeichnet. Die Linie, die sich vom Kern wegdreht, nennt man den Schweif. Die meisten Spiralen sind außerdem unendlich, d.h. sie haben keinen endlichen Endpunkt.
Typen von Spiralen
Spiralen werden nach der mathematischen Beziehung zwischen der Länge r des Radiusvektors und dem Vektorwinkel q, der mit der positiven x-Achse gebildet wird, klassifiziert. Zu den gebräuchlichsten gehören die Spirale des Archimedes, die logarithmische Spirale, die parabolische Spirale und die hyperbolische Spirale.
Die einfachste aller Spiralen wurde von dem antiken griechischen Mathematiker Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) entdeckt. Die Spirale des Archimedes entspricht der Gleichung r = aθ, wobei r und θ die Polarkoordinaten des Punktes darstellen, der bei gleichmäßiger Änderung der Länge des Radius a aufgetragen wird. In diesem Fall ist r proportional zu θ.
Die logarithmische oder gleichwinklige Spirale wurde erstmals von Rene Descartes (1596-1650) im Jahr 1638 vorgeschlagen. Ein anderer Mathematiker, Jakob Bernoulli (1654-1705), der wichtige Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung leistete, hat ebenfalls wichtige Aspekte dieser Spirale beschrieben. Eine logarithmische Spirale ist durch die Gleichung r = eaθ definiert, wobei e die natürliche logarithmische Konstante, r und θ die Polarkoordinaten und a die Länge des sich ändernden Radius ist. Diese Spiralen ähneln einem Kreis, da sie ihre Radien in einem konstanten Winkel kreuzen. Im Gegensatz zu einem Kreis ist der Winkel, in dem die Punkte ihre Radien schneiden, jedoch kein rechter Winkel. Außerdem unterscheiden sich diese Spiralen von einem Kreis dadurch, dass die Länge der Radien zunimmt, während bei einem Kreis die Länge der Radien konstant ist. Beispiele für die logarithmische Spirale finden sich überall in der Natur. Die Schale eines Nautilus und die Samenmuster von Sonnenblumenkernen haben beide die Form einer logarithmischen Spirale.
Eine parabolische Spirale kann durch die mathematische Gleichung r2 = a2θ dargestellt werden. Diese von Bonaventura Cavalieri (1598-1647) entdeckte Spirale erzeugt eine Kurve, die allgemein als Parabel bekannt ist. Eine andere Spirale, die hyperbolische Spirale, entspricht der Gleichung r = a/θ.
Eine andere Art von Kurve, die einer Spirale ähnelt, ist eine Helix. Eine Helix ist wie eine Spirale eine Kurve, die durch Rotation um einen Punkt in immer größer werdendem Abstand entsteht. Im Gegensatz zu den zweidimensionalen ebenen Kurven einer Spirale ist eine Helix jedoch eine dreidimensionale Raumkurve, die auf der Oberfläche eines Zylinders liegt. Ihre Punkte sind so beschaffen, dass sie einen konstanten Winkel mit den Querschnitten des Zylinders bildet. Ein Beispiel für eine solche Kurve ist das Gewinde einer Schraube.
Siehe auch Logarithmen.