Ecuaciones con fracciones

Desarrollo de fracciones

Segundo nivel

Para resolver una ecuación con fracciones, la transformamos en una ecuación sin fracciones… que sabemos resolver. La técnica se llama despeje de fracciones.

Ejemplo 1. Resolver para x:

x 3

+

x – 2 5

= 6.

Solución. Despejar las fracciones de la siguiente manera:

Multiplicar ambos lados de la ecuación -cada término- por el MCL de los denominadores. Cada denominador se dividirá entonces en su múltiplo. Tendremos entonces una ecuación sin fracciones.

El MCL de 3 y 5 es 15. Por tanto, multiplica ambos lados de la ecuación por 15.

A la izquierda, distribuye 15 a cada término. Cada denominador se dividirá ahora en 15 — es el punto de — y tenemos la siguiente ecuación simple que ha sido «limpiada» de fracciones:

15-

x 3

+

15-

x – 2 5

= 15- 6

5x + 3(x – 2)	=
Se resuelve fácilmente como sigue:
5x + 3x – 6	=	90
8x	=	90 + 6
x	=	96 8
	=

Decimos «multiplicar» ambos lados de la ecuación, pero aprovechamos que el orden en que multiplicamos o dividimos no importa. (Lección 1.) Por lo tanto, dividimos primero el MCL por cada denominador, y así despejamos de fracciones.

Elegimos un múltiplo de cada denominador, porque entonces cada denominador será un divisor del mismo.

Ejemplo 2. Despejar de fracciones y resolver para x:

x 2

–

5x 6

=

1 9

Solución. El mcm de 2, 6 y 9 es 18. (Lección 23 de Aritmética.) Multiplica ambos lados por 18 — y cancela.

9x – 15x = 2.

No debería ser necesario escribir realmente 18. El estudiante debe simplemente mirar y ver que 2 entrará en 18 nueve (9) veces. Por lo tanto, ese término se convierte en 9x.

A continuación, mira , y ve que 6 entrará en 18 tres (3) veces. Por lo tanto, ese término se convierte en 3- -5x = -15x.

Por último, mira , y ve que 9 se convertirá en 18 dos (2) veces. Por lo tanto, ese término se convierte en 2 – 1 = 2.

Aquí está la ecuación despejada, seguida de su solución:

9x – 15x	=	2
-6x	=	2
x	=	2 -6
x	=	–	1 3

Ejemplo 3. Resolver para x:

½(5x – 2) = 2x + 4.

Solución. Esta es una ecuación con una fracción. Despeja las fracciones mutiplicando ambos lados por 2:

5x – 2	=	4x + 8
5x – 4x	=	8 + 2
x	=

En los siguientes problemas, despeja las fracciones y resuelve para x:

Para ver cada respuesta, pasa el ratón por la zona coloreada.
Para volver a cubrir la respuesta, haz clic en «Refrescar» («Reload»).
¡Haz el problema tú mismo primero!

.

Problema 1.	x 2	–	x 5	=	3
El MCL es 10. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
	5x	–	2x	=	30
	3x			=	30
	x			=

Al resolver cualquier ecuación con fracciones, la siguiente línea que escribes —

5x – 2x = 30

— no debería tener fracciones.

Problema 2.	x 6	=	1 12	+	x 8
El MCL es 24. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
	4x	=	2 + 3x
	4x – 3x	=	2
	x	=	2

Problema 3.	x – 2 5	+	x 3	=	x 2
El MCL es 30. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
	6(x – 2) + 10x			=	15x
	6x – 12 + 10x			=	15x
	16x – 15x			=	12
	x			=

Problema 4. Una fracción igual a otra fracción.

x – 1 4	=	x 7
El MCL es 28. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
7(x – 1)	=	4x
7x – 7	=	4x
7x – 4x	=	7
3x	=	7
x	=	7 3

Vemos que cuando una fracción simple es igual a una fracción simple, entonces la ecuación se puede despejar mediante una «multiplicación cruzada».»

Problema 5.	x – 3 3	=	x – 5 2
He aquí la ecuación despejada y su solución:
	2(x – 3)	=	3(x – 5)
	2x – 6	=	3x – 15
	2x – 3x	=	– 15 + 6
	-x	=	-9
	x	=	9

Problema 6.	x – 3 x – 1	=	x + 1 x + 2
He aquí la ecuación despejada y su solución:
	(x – 3)(x + 2)	=	(x – 1)(x + 1)
	x² -x – 6	=	x² – 1
	-x	=	-1 + 6
	-x	=	5
	x	=	-5.

Problema 7.	2x – 3 9	+	x + 1 2	=	x – 4
El MCL es 18. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
	4x – 6 + 9x + 9			=	18x – 72
	13x + 3			=	18x – 72
	13x – 18x			=	– 72 – 3
	-5x			=	-75
	x			=

Problema 8.	2 x	–	3 8x	=	1 4
El MCL es 8x. Aquí está la ecuación despejada y su solución:
	16 – 3			=	2x
	2x			=	13
	x			=	13 2

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