Características de una espiral
Tipos de espirales
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Una espiral es una curva formada por un punto que gira alrededor de un eje fijo a una distancia cada vez mayor. Se puede definir mediante una función matemática que relaciona la distancia de un punto a su origen con el ángulo con el que gira. Algunas espirales comunes son la espiral de Arquímedes y la espiral hiperbólica. Otro tipo de espiral, llamada espiral logarítmica, se encuentra en muchos casos en la naturaleza.
Características de una espiral
Una espiral es una función que relaciona la distancia de un punto desde el origen con su ángulo con el positivo
Términos clave
Espiral logarítmica -Un tipo de curva definida por la relación r = ea q. Es una forma que se encuentra comúnmente en la naturaleza.
Origen -El punto de inicio de una espiral. También se conoce como el núcleo.
Espiral de Arquímedes -Un tipo de curva definida por la relación r = aq. Ésta fue la primera espiral descubierta.
Cola -La parte de una espiral que se aleja del origen.
Eje x. La ecuación de una espiral suele darse en términos de sus coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es otra forma de localizar los puntos de una gráfica. En el sistema de coordenadas rectangulares, cada punto se define por su distancia x e y desde el origen. Por ejemplo, el punto (4,3) estaría situado a 4 unidades sobre el eje x, y a 3 unidades sobre el eje y. A diferencia del sistema de coordenadas rectangulares, el sistema de coordenadas polares utiliza la distancia y el ángulo desde el origen de un punto para definir su ubicación. La notación común para este sistema es (r,θ)donde r representa la longitud de una semirrecta trazada desde el origen hasta el punto, y θ representa el ángulo que esta semirrecta forma con el eje x. Este rayo se conoce a menudo como un vector.
Como todas las demás formas geométricas, una espiral tiene ciertas características que ayudan a definirla. El centro, o punto de partida, de una espiral se conoce como su origen o núcleo. La línea que se aleja del núcleo se llama cola. La mayoría de las espirales son también infinitas, es decir, no tienen un punto final finito.
Tipos de espirales
Las espirales se clasifican por la relación matemática entre la longitud r del radio vector, y el ángulo vectorial q, que se hace con el eje x positivo. Algunas de las más comunes son la espiral de Arquímedes, la espiral logarítmica, la espiral parabólica y la espiral hiperbólica.
La más simple de todas las espirales fue descubierta por el antiguo matemático griego Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.). La espiral de Arquímedes se ajusta a la ecuación r = aθ, donde r y θ representan las coordenadas polares del punto trazado a medida que la longitud del radio a, cambia uniformemente. En este caso, r es proporcional a θ.
La espiral logarítmica o equiangular fue sugerida por primera vez por René Descartes (1596-1650) en 1638. A otro matemático, Jakob Bernoulli (1654-1705), que hizo importantes contribuciones al tema de la probabilidad, también se le atribuye la descripción de aspectos significativos de esta espiral. Una espiral logarítmica se define por la ecuación r = eaθ, donde e es la constante logarítmica natural, r y θ representan las coordenadas polares, y a es la longitud del radio cambiante. Estas espirales son similares a un círculo porque cruzan sus radios con un ángulo constante. Sin embargo, a diferencia de un círculo, el ángulo en el que sus puntos cruzan sus radios no es un ángulo recto. Además, estas espirales se diferencian de un círculo en que la longitud de los radios aumenta, mientras que en un círculo la longitud del radio es constante. Hay ejemplos de espirales logarítmicas en toda la naturaleza. La concha de un Nautilus y los patrones de las semillas de girasol tienen ambos la forma de una espiral logarítmica.
Una espiral parabólica puede representarse mediante la ecuación matemática r2 = a2θ. Esta espiral descubierta por Bonaventura Cavalieri (1598-1647) crea una curva comúnmente conocida como parábola. Otra espiral, la espiral hiperbólica, se ajusta a la ecuación r = a/θ.
Otro tipo de curva similar a la espiral es la hélice. Una hélice es como una espiral en el sentido de que es una curva hecha al girar alrededor de un punto a una distancia cada vez mayor. Sin embargo, a diferencia de las curvas planas bidimensionales de una espiral, una hélice es una curva espacial tridimensional que se encuentra en la superficie de un cilindro. Sus puntos son tales que forma un ángulo constante con las secciones transversales del cilindro. Un ejemplo de esta curva son las roscas de un tornillo.
Ver también Logaritmos.