Geometría: Líneas y ángulos

Las líneas y los ángulos componen casi todas las formas geométricas. Así que vamos a sumergirnos en la geometría discutiendo estos elementos tan básicos de las formas.

Ahora podemos empezar a hablar de Geometría. Y la Geometría, por supuesto, es el estudio de las formas. Ahora, para algunas personas que están orientadas visualmente, la Geometría es muy natural. Y otras personas que no han desarrollado sus habilidades visuales, la Geometría puede ser un poco más difícil.

Especialmente para la gente para la que la Geometría es un poco más difícil, esto es lo que voy a decir.

No basta con ver estos vídeos. Después de verlos, sacad papel y una regla y dibujad estas diferentes formas, realmente dibujadlas físicamente en papel. Y construye formas y objetos físicos. Puedes usar lápices, palillos, pajitas, cualquier cosa. Construye triángulos, construye rectángulos, míralos realmente.

¡Usa tus manos!

Usa tus manos, nuestras manos son en realidad parte de nuestra inteligencia. Si usas tus manos, estás involucrando cada parte del cerebro. Eso hará que sea mucho más fácil, entender todas estas relaciones.

Así que vamos a empezar con las líneas. Las líneas son rectas y son eternas en ambas direcciones. Aquí tenemos un montón de líneas rectas diferentes, en un montón de direcciones diferentes. Tienes que imaginar que al final de cada línea hay unas flechas o algo así. Esto indica que las líneas realmente son eternas en ambas direcciones.

Líneas y ángulos: Todas las líneas son rectas

Es muy importante no confundir recta con horizontal. Esas dos palabras tienen significados muy diferentes, pero a veces, hay algunos estudiantes que las confunden. Todas las líneas son rectas. Así que todas las líneas que teníamos en la diapositiva anterior, líneas que van en diferentes direcciones, todas ellas son líneas rectas.

Y siempre puedes asumir que una línea es recta en el examen. Si parece recta, es recta. Eso es siempre cierto en la prueba. Pero algunas líneas se dibujan en horizontal por comodidad. Sin embargo, nunca puedes asumir que las líneas son exactamente horizontales o verticales simplemente porque lo parecen. Ahora la gente se confunde mucho con esto. Se confunde si cree que horizontal y recta significan lo mismo.

Así que decimos que puedes asumir por la prueba que las líneas son rectas. La gente asume erróneamente que esto también significa que pueden asumir que las líneas son horizontales, y eso no es correcto. Un segmento de recta es un trozo finito de una recta.

Ejemplo

Así que por ejemplo, aquí tenemos un segmento de línea, tiene dos puntos finales. Y cuando estos puntos finales están etiquetados, que hace que sea fácil de discutir.

Este es el segmento de línea AB. Y para el propósito de la prueba, AB puede significar la forma real del segmento de línea en sí. O puede significar la longitud del segmento de línea, la longitud numérica. Un ángulo se produce entre dos líneas, o dos segmentos. Por ejemplo, aquí tenemos un ángulo

Líneas y ángulos: Entender los ángulos

Esto ocurre entre una línea y un segmento. La mejor manera de entender un ángulo es pensar en él de forma dinámica, como el acto de girar o rotar. En otras palabras, ir de aquí a aquí. Eso es lo que es un ángulo, es ese espacio dinámico entre las dos líneas. Si etiquetamos puntos, podemos hablar de un ángulo.

Etiquetado de ángulos

Podríamos llamar a este ángulo CDE o EDC, Punto D, el vértice del ángulo. Justo aquí, el punto del ángulo debe estar en el centro del nombre. Y así, podemos llamar a cualquiera de los dos CDE o EDC, siempre y cuando el vértice está en el medio. A veces en estos vídeos también utilizaré el nombre de un solo ángulo, si no hay ambigüedad. Por ejemplo, en este diagrama sólo hay un ángulo.

Así que podría llamarlo ángulo D. Teóricamente, eso podría ocurrir en la prueba. Aunque el test suele ser lo suficientemente cuidadoso como para utilizar siempre un nombre de tres letras para un ángulo. Medimos el tamaño de un ángulo en grados. La prueba puede indicar estos directamente, por lo que 50 grados.

Alternativamente, la prueba puede etiquetar el diagrama y declarar la medida del ángulo en el texto. Así que el ángulo GFH = 50 grados porque ponen letras en los puntos del diagrama. Podemos usar eso para hablar de esa medida, en el número de grados en el texto. En realidad, el probablemente es la cosa favorita para hacer es el siguiente sólo especificar el ángulo, con un número variable grados.

Formato flexible de pruebas

Este formato flexible les permite o bien especificar el ángulo, para en el texto, podrían decir x = 50, o podrían hacer una pregunta al respecto. Podrían darnos otra información y decir encontrar x. Así que les gustaría hacer esto. Haremos un repaso rápido de los datos básicos de los grados. En un ángulo recto, hay 180 grados y, por supuesto, recuerda que una línea recta puede ir en cualquier dirección.

Pero si hay cualquier punto en la línea recta, todo el camino alrededor de un lado de la línea a la otra. Eso es 180 grados, hay 90 grados en un ángulo recto. Así que aquí tenemos dos líneas que se cruzan en ángulos rectos. En realidad hay cuatro ángulos rectos en esa intersección. Si las dos líneas o segmentos se encuentran en ángulos rectos, se llaman perpendiculares, es un término que debes conocer.

Líneas perpendiculares y ángulos rectos

El test puede dibujar ese cuadradito, el signo de perpendicularidad, que es ese cuadradito, o puede indicar que el ángulo es de 90 grados. Puede etiquetar 90 grados en el diagrama o X grados y decirnos en el texto que X es igual a 90. Hay varias formas de decirnos que es un ángulo de 90 grados. No asumas que dos líneas son perpendiculares si no te lo dicen explícitamente, esto suele ser una trampa.

Supongamos que estos puntos aparecen como parte de un diagrama mayor, y no se da más información. Ciertamente parece que esos podrían estar en ángulo recto, y eso es algo muy tentador de suponer. A la prueba le encantaría que cometieras el error, de suponer que las líneas son perpendiculares, y que el ángulo es igual a 90 grados exactamente.

De hecho no es así, he dibujado esto para que, ese ángulo allí es un ángulo de 89,6 grados. Así que, está cerca de ser un ángulo recto, y puede parecer un ángulo recto a simple vista. Pero ninguna de las propiedades especiales de los ángulos rectos es cierta.

Y en los próximos vídeos hablaremos más de las propiedades especiales del ángulo recto. Ninguna de las propiedades especiales de los ángulos rectos es verdadera, si el ángulo es cercano a 90 pero no exactamente 90.

Muy importante, así que no puedes asumir que dos líneas son perpendiculares, a menos que tengas algún tipo de justificación para hacerlo.

Líneas y ángulos: Formas congruentes

Un término que introduciré, que probablemente no aparecerá en el examen, es congruente. Congruente es como igual, para las formas. Utilizamos el concepto de igual para un número, y el concepto muy similar de «congruente» para las formas.

Dos formas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.

No tienen que tener la misma orientación. Así, por ejemplo, las formas púrpura y verde aquí son congruentes, una está volteada con respecto a la otra. Una se podría decir que es una versión derecha, y la otra es una versión izquierda, pero es la misma forma fundamentalmente.

Estos dos son congruentes, aunque tienen orientaciones diferentes.

Bisectores

Una bisectriz corta algo en dos trozos congruentes. Una bisectriz de un ángulo corta un ángulo en dos ángulos congruentes más pequeños. Así que por ejemplo aquí tenemos una bisectriz de un ángulo. Si nos dicen, por ejemplo, que el ángulo grande, PNM es de 40 grados, y que NQ biseca el ángulo, entonces podemos deducir que los dos ángulos más pequeños tienen que ser cada uno de 20 grados.

Cada uno tiene que ser exactamente la mitad del otro, porque el ángulo fue bisecado. Del mismo modo, la bisectriz de un segmento puede ser un punto, otro segmento o una recta. La bisectriz divide el segmento en dos mitades iguales. Observa que aquí el segmento ST biseca a PQ. Observa también que es definitivamente cierto que PQ no biseca a ST, porque SR es claramente mayor que RT.

Entonces el hecho de que ST biseca a PQ significa que R es el punto medio de PQ, y que PR = RQ. Lo hemos dividido en dos mitades iguales, y de nuevo, eso es siempre lo que significa bisecar. A veces, una recta biseca un segmento y también es perpendicular a él. La línea se llama bisectriz del segmento.

La recta VW es perpendicular, es la bisectriz de TU. Cada punto de la bisectriz perpendicular de un segmento es equidistante de los dos puntos extremos del segmento. Y eso es un hecho muy útil de saber, que se muestra en una variedad de maneras. La bisectriz perpendicular, de hecho, es el conjunto de todos los puntos posibles, que son equidistantes de los dos puntos extremos del segmento.

Líneas y ángulos: Veamos los ángulos

Ahora algunos datos básicos sobre los ángulos. Ya hemos dicho que una línea recta contiene 180 grados. Esto significa que si dos o más ángulos se encuentran en una línea recta, la suma de sus ángulos es de 180 grados. Así que, por ejemplo, podemos suponer que esa línea larga es recta. No tiene una ligera curva en ese punto.

La prueba no nos hará eso, si parece recta, es recta. Y por tanto, sabemos que esos dos ángulos juntos hacen 180. Por tanto, x + y = 180. Si los dos ángulos suman 180, entonces se llaman suplementarios. Dos ángulos en una recta son siempre suplementarios. Así que p + q = 180.

Cuando dos líneas se cruzan

Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Así que aquí tenemos dos líneas que se eternizan en ambas direcciones, tienen que cruzarse, y se forman estos cuatro ángulos. Los pares de ángulos opuestos entre sí, que sólo comparten el vértice en común, se llaman ángulos verticales, y los ángulos verticales son siempre congruentes. Así, por ejemplo, A y C, no comparten ningún lado.

Todo lo que tienen en común a y c es que se tocan en un solo vértice. Se tocan en el vértice, b y d también se tocan en el vértice. Y por eso se llaman ángulos verticales, porque se tocan en un vértice. Así que sabemos que los ángulos verticales son congruentes, sabemos que a = c, y b = d. Por supuesto, los pares de ángulos próximos, a + b, b + c, todos ellos son suplementarios.

Todos ellos suman 180 grados, porque tenemos pares de ángulos en una línea. Por lo tanto, si nos dieran un ángulo en este diagrama, podemos encontrar los otros tres. Por ejemplo, si a = 35, sabemos que c tiene que ser igual. También tiene que ser de 35 grados. Y b y d tienen que ser el ángulo suplementario de 145 grados. De modo que dos pares cualesquiera juntos, dos ángulos cualesquiera juntos en un par, suman 180 grados.

Líneas y ángulos: Problema de práctica uno

Aquí tienes un problema de práctica, pausa el vídeo y luego hablamos de esto.

Bien En el diagrama x = 40 grados y RT biseca el gran ángulo SRU ,que es un ángulo muy grande. Bueno SRU es el ángulo suplementario a ese ángulo de 40 grados, por lo que SRU tiene que ser 180 menos 40 que sería 140. Así que SRU es 140.

Y este ángulo se biseca, porque se biseca se corta en dos mitades iguales. Así que hay dos mitades cada una tiene que ser 70 grados. SRT =70 grados, TRU = 70 grados. Esas son las dos mitades iguales del ángulo que fue bisecado. Bien, ahora fíjate que el ángulo TRV, ese ángulo está hecho de TRU y el ángulo x, que conocemos.

Sabemos que TRU es de 70 grados sabemos que el ángulo X es de 40 grados, así que los sumamos. TRV tiene que ser un ángulo de 110 grados. Ahora nota que TRV es el ángulo vertical de SRW, así que esos dos tienen que ser iguales. Eso significa que SRW también tiene que ser un ángulo de 110 grados, así que Y es igual a 110. Finalmente revisaremos las líneas paralelas.

Líneas y ángulos: Líneas paralelas

Si dos líneas son paralelas, nunca se cruzan, y siempre están exactamente a la misma distancia. Y de nuevo, esta es otra de estas propiedades, como la perpendicular, cercana a la paralela, no cuenta para los frijoles. Tienes que saber que las dos líneas son exactamente paralelas. Obviamente, como las líneas paralelas nunca se cruzan, nunca forman ángulos entre sí.

Líneas transversales

Sin embargo, obtenemos muchos ángulos si una tercera línea no paralela corta a las dos líneas paralelas. Esta tercera línea se llama transversal. Una transversal es una línea que corta a dos líneas paralelas. Así que aquí tenemos una transversal que corta las líneas paralelas WX e YZ. Y ahí tenemos ocho ángeles.

Ahora los cuatro ángeles grandes son todos iguales. Y los cuatro ángeles pequeños son todos iguales. Así que en otras palabras a = d = e = h y b = c = f = g, esa es la gran idea. Ahora, entre estos, por supuesto, usted puede recordar de la geometría hay todo tipo de nombres especiales.

Interior alternativo y exterior del mismo lado y los ángulos correspondientes. Si quieres recordar todos esos nombres especiales, es genial, no es necesario. Todo lo que necesitas recordar es que todos los ángulos grandes son iguales, todos los ángulos pequeños son iguales. Así que aquí está el diagrama de nuevo, y ahora lo he etiquetado para que quede claro que todo es igual.

Líneas y ángulos: Ángulos suplementarios

También fíjate en que p y q son suplementarios. Así que cualquier ángulo grande más cualquier ángulo pequeño es igual a 180 grados, es una idea muy grande. Así, si nos dan el grado de cualquiera de los ángulos aquí, podríamos encontrar los otros siete. En resumen, hemos hablado de líneas y segmentos de línea, hemos hablado de ángulos y grados.

Hemos señalado que hay 180 grados en un ángulo recto, y 90 grados en un ángulo recto. Hablamos de bisectrices de ángulos y bisectrices perpendiculares. Una bisectriz de un ángulo divide un ángulo en dos ángulos iguales más pequeños. Una bisectriz perpendicular es perpendicular a un segmento, y lo divide en dos mitades iguales.

Hemos hablado de que dos ángulos de una recta son complementarios. Los ángulos verticales son congruentes. Y hablamos de los ángulos formados por una transversal, que interseca un par de rectas paralelas. Y hablaremos de muchas aplicaciones de estas ideas fundamentales, en los próximos vídeos.