A matematika talán inkább környezettudomány, mint gondolnánk. Bár örök igazságok kereséséről van szó, sok matematikai fogalom eredete a mindennapi tapasztalatokra vezethető vissza. Az asztrológia és az építészet inspirálta az egyiptomiakat és a babilóniaiakat a geometria kifejlesztésére. A 17. századi tudományos forradalom során a mechanika tanulmányozása hozta el nekünk a számítást.
Figyelemreméltó módon a kvantumelméletből származó elképzelésekről is kiderül, hogy óriási matematikai erőt hordoznak, annak ellenére, hogy kevés mindennapi tapasztalatunk van az elemi részecskékkel kapcsolatban. A kvantumelmélet bizarr világa – ahol a dolgok látszólag egyszerre két helyen is lehetnek, és a valószínűség törvényei vonatkoznak rájuk – nemcsak a természet alapvetőbb leírását jelenti, mint ami előtte volt, hanem gazdag kontextust is nyújt a modern matematika számára. Lehet, hogy a kvantumelmélet logikai felépítése, ha egyszer teljesen megértjük és elsajátítjuk, a matematika egy új területét inspirálhatja, amelyet “kvantummatematikának” nevezhetnénk?
A matematika és a fizika között természetesen régóta fennálló és bensőséges kapcsolat van. Galilei híres írása a természet megfejtésre váró könyvéről szólt: “A filozófia bele van írva ebbe a nagy könyvbe, a világegyetembe, amely folyamatosan nyitva áll a tekintetünk előtt. De a könyvet nem lehet megérteni, hacsak nem tanuljuk meg először megérteni a nyelvet és elolvasni a betűket, amelyekből áll. A matematika nyelvén íródott.” A modernebb időkből Richard Feynmant idézhetjük, aki nem az absztrakt matematika ismerőjeként volt ismert: “Azok számára, akik nem ismerik a matematikát, nehéz átadni a természet szépségének, legmélyebb szépségének valódi érzését. … Ha meg akarjuk ismerni a természetet, ha értékelni akarjuk a természetet, akkor meg kell értenünk azt a nyelvet, amelyen beszél”. (Másrészt azt is kijelentette: “Ha ma eltűnne az egész matematika, a fizika pontosan egy héttel vetné vissza magát”, amire egy matematikusnak volt egy okos riposztja: “Ez volt az a hét, amikor Isten megteremtette a világot.”)
A matematikus fizikus és Nobel-díjas Eugene Wigner ékesszólóan írt a matematikának a valóság leírására való elképesztő képességéről, és ezt úgy jellemezte, mint “a matematika ésszerűtlen hatékonyságát a természettudományokban”. Ugyanazok a matematikai fogalmak a legkülönbözőbb összefüggésekben bukkannak fel. Manapság azonban úgy tűnik, hogy éppen az ellenkezőjének lehetünk tanúi: a kvantumelmélet ésszerűtlen hatékonyságának a modern matematikában. A részecskefizikából származó elképzeléseknek hátborzongató hajlamuk van arra, hogy a legkülönfélébb matematikai területeken is megjelenjenek. Ez különösen igaz a húrelméletre. A matematikára gyakorolt ösztönző hatása tartós és gyümölcsöző lesz, bármi is lesz végül az alapfizikában betöltött szerepe. Az általa érintett tudományágak száma szédítő: analízis, geometria, algebra, topológia, ábrázoláselmélet, kombinatorika, valószínűségszámítás – a lista még hosszan folytatható. Az ember kezdi sajnálni szegény diákokat, akiknek mindezt meg kell tanulniuk!
Mi lehet a kvantumelmélet ilyen ésszerűtlen hatékonyságának a hátterében? Véleményem szerint ez szorosan összefügg azzal a ténnyel, hogy a kvantumvilágban minden, ami megtörténhet, meg is történik.
A klasszikus mechanika nagyon sematikusan próbálja kiszámítani, hogyan jut el egy részecske A-ból B-be. Például a preferált útvonal lehet egy geodézia – egy minimális hosszúságú út egy görbült térben. A kvantummechanikában ehelyett az A-tól B-be vezető összes lehetséges útvonalat figyelembe vesszük, legyen az bármilyen hosszú és tekervényes. Ez Feynman híres “sum over histories” értelmezése. A fizika törvényei ezután minden egyes pályához egy bizonyos súlyt rendelnek, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy egy részecske az adott pályán fog mozogni. A Newton törvényeinek engedelmeskedő klasszikus megoldás egyszerűen a legvalószínűbb a sok közül. A kvantumfizika tehát természetes módon az összes pálya halmazát vizsgálja, mint súlyozott együttest, ami lehetővé teszi számunkra, hogy az összes lehetőséget összegezzük.
Ez a holisztikus megközelítés, amely mindent egyszerre vizsgál, nagyon is megfelel a modern matematika szellemének, ahol a tárgyak “kategóriáinak” vizsgálata sokkal inkább a kölcsönös kapcsolatokra, mint bármely konkrét egyedi példára összpontosít. A kvantumelméletnek ez a madártávlatú szemlélete az, amely meglepő új összefüggéseket hoz felszínre.
Kvantumszámológépek
A kvantumelmélet varázslatának egyik szemléletes példája a tükörszimmetria – a terek valóban meghökkentő ekvivalenciája, amely forradalmasította a geometriát. A történet az enumeratív geometriában kezdődik, az algebrai geometria egy jól ismert, de nem túl izgalmas ágában, amely az objektumokat számolja. A kutatók például meg akarják számolni a Calabi-Yau terek görbéinek számát – Einstein gravitációs egyenleteinek hatdimenziós megoldásai, amelyek különösen érdekesek a húrelméletben, ahol extra térdimenziók görbítésére használják őket.
Mint ahogy egy gumiszalagot is többször körbetekerhetünk egy henger körül, a Calabi-Yau terek görbéit egy egész szám, az úgynevezett fokszám osztályozza, amely azt méri, milyen gyakran tekerednek körbe. Az adott fokú görbék számának megtalálása közismerten nehéz feladat, még a legegyszerűbb Calabi-Yau-tér, az úgynevezett kvintikus tér esetében is. Egy 19. századi klasszikus eredmény szerint a vonalak – az egyes fokú görbék – száma 2,875-ös. A másodfokú görbék számát csak 1980 körül számították ki, és kiderült, hogy sokkal nagyobb: 609.250. A hármas fokú görbék számához azonban a húrelméleti szakemberek segítségére volt szükség.
1990 körül a húrelméleti szakemberek egy csoportja megkérte a geométereket, hogy számolják ki ezt a számot. A geométerek egy bonyolult számítógépes programot dolgoztak ki, és visszajöttek a válasszal. A húrelméleti teoretikusok azonban gyanították, hogy ez hibás, ami a kódban lévő hibára utalt. Ellenőrzés után a geométerek megerősítették, hogy volt, de honnan tudták a fizikusok?
A húrelméleti szakemberek már dolgoztak azon, hogy ezt a geometriai problémát fizikai problémára fordítsák le. Ennek során kifejlesztettek egy olyan módszert, amellyel egyszerre ki lehetett számítani a tetszőleges fokú görbék számát. Nehéz túlbecsülni ennek az eredménynek a megdöbbenését matematikus körökben. Kicsit olyan volt, mintha kitalálták volna, hogyan lehet minden egyes hegyet megmászni, bármilyen magas is legyen az!
A kvantumelméletben tökéletes értelme van annak, hogy az összes fokozatú görbék számát egyetlen elegáns függvényben egyesítsük. Így összerakva pedig egyenes fizikai értelmezéssel rendelkezik. Úgy tekinthetjük, mint egy Calabi-Yau-térben terjedő húr valószínűségi amplitúdóját, ahol a sum-over-história elvét alkalmaztuk. Elképzelhető, hogy egy húr minden lehetséges fokú görbét egyszerre szondáz, és így egy szuperhatékony “kvantumszámológép”.
A tényleges megoldás megtalálásához azonban szükség volt egy második összetevőre is: a fizika egyenértékű megfogalmazására egy úgynevezett “tükör” Calabi-Yau-tér segítségével. A “tükör” kifejezés megtévesztően egyszerű. Ellentétben azzal, ahogyan egy közönséges tükör visszatükrözi a képet, itt az eredeti tér és tükörképe nagyon különböző alakú; még topológiájuk sem azonos. A kvantumelmélet birodalmában azonban számos tulajdonságuk közös. Különösen a húr terjedése mindkét térben azonosnak bizonyul. A bonyolult számítás az eredeti sokféleségen sokkal egyszerűbb kifejezéssé válik a tükör sokféleségen, ahol egyetlen integrál segítségével kiszámítható. Et voilà!
Egyenlőségek kettőssége
A tükörszimmetria a kvantumelmélet egy erős tulajdonságát, a dualitást szemlélteti: Két klasszikus modell ekvivalenssé válhat, ha kvantumrendszerként tekintünk rájuk, mintha egy varázspálcát lengetnénk, és hirtelen eltűnne minden különbség. A dualitások a mögöttes kvantumelmélet mély, de gyakran rejtélyes szimmetriáira mutatnak rá. Általában kevéssé ismertek, és azt jelzik, hogy a kvantumelmélet megértése a legjobb esetben is hiányos.
Az ilyen ekvivalencia első és leghíresebb példája a jól ismert részecske-hullám dualitás, amely azt állítja, hogy minden kvantumrészecske, például az elektron, részecskének és hullámnak is tekinthető. Mindkét nézőpontnak megvannak a maga előnyei, hiszen különböző nézőpontokat kínálnak ugyanarra a fizikai jelenségre. A “helyes” nézőpontot – részecske vagy hullám – kizárólag a kérdés természete határozza meg, nem pedig az elektron természete. A tükörszimmetria két oldala kettős és egyformán érvényes perspektívát kínál a “kvantumgeometriára.”
A matematikának megvan az a csodálatos képessége, hogy összekapcsolja a különböző világokat. A leginkább figyelmen kívül hagyott szimbólum minden egyenletben a szerény egyenlőségjel. Az ötletek úgy áramlanak rajta keresztül, mintha az egyenlőségjel vezetné az elektromos áramot, amely meggyújtja az “Aha!” villanykörtét az elménkben. A kettős vonal pedig azt jelzi, hogy a gondolatok mindkét irányba áramolhatnak. Albert Einstein abszolút mestere volt annak, hogy olyan egyenleteket találjon, amelyek ezt a tulajdonságot példázzák. Vegyük az E = mc2-t, kétségkívül a történelem leghíresebb egyenletét. A maga visszafogott eleganciájában összekapcsolja a tömeg és az energia fizikai fogalmait, amelyeket a relativitáselmélet megjelenése előtt teljesen különállónak tekintettek. Einstein egyenletéből megtudjuk, hogy a tömeg energiává alakítható, és fordítva. Einstein általános relativitáselméletének egyenlete, bár kevésbé fülbemászó és ismert, ugyanolyan meglepő és gyönyörű módon kapcsolja össze a geometria és az anyag világát. Röviden úgy foglalhatjuk össze ezt az elméletet, hogy a tömeg mondja meg a térnek, hogyan görbüljön, a tér pedig a tömegnek, hogyan mozogjon.
A tükörszimmetria egy másik tökéletes példája az egyenlőségjel erejének. Képes két különböző matematikai világot összekötni. Az egyik a szimplektikus geometria birodalma, a matematika azon ága, amely a mechanika nagy részét megalapozza. A másik oldalon az algebrai geometria birodalma, a komplex számok világa. A kvantumfizika lehetővé teszi, hogy az ötletek szabadon áramoljanak az egyik területről a másikra, és váratlan “nagy egyesülést” biztosít e két matematikai diszciplína számára.
Megnyugtató látni, hogy a matematika hogyan volt képes a kvantumfizika és a húrelmélet intuitív, gyakran pontatlan gondolkodásának oly nagy részét magába szívni, és ezen ötletek közül sokat szigorú állításokká és bizonyításokká alakítani. A matematikusok közel állnak ahhoz, hogy ezt a pontosságot alkalmazzák a homologikus tükörszimmetriára, egy olyan programra, amely óriási mértékben kiterjeszti a húrelmélet eredeti ötletét, a tükörszimmetriát. Bizonyos értelemben egy teljes szótárat írnak a két különálló matematikai világban megjelenő objektumokról, beleértve az általuk kielégített összes relációt. Figyelemre méltó, hogy ezek a bizonyítások gyakran nem azt az utat követik, amelyet a fizikai érvek sugalltak. Úgy tűnik, nem a matematikusok feladata, hogy a fizikusok után takarítsanak! Éppen ellenkezőleg, sok esetben teljesen új gondolatmenetet kellett kidolgozni a bizonyítások megtalálásához. Ez újabb bizonyítéka annak a mély és még fel nem fedezett logikának, amely a kvantumelmélet és végső soron a valóság alapja.”
Niels Bohr nagyon szerette a komplementaritás fogalmát. A fogalom abból a tényből alakult ki, hogy – amint azt Werner Heisenberg a bizonytalansági elvével bebizonyította – a kvantummechanikában vagy egy részecske p impulzusát, vagy q helyzetét lehet mérni, de mindkettőt egyszerre nem. Wolfgang Pauli szellemesen foglalta össze ezt a kettősséget egy 1926. október 19-én, alig néhány héttel a felfedezés után Heisenbergnek írt levelében: “Az ember láthatja a világot a p-szemével, és láthatja a q-szemével, de ha mindkét szemét kinyitja, akkor megőrül.”
Későbbi éveiben Bohr megpróbálta ezt a gondolatot egy sokkal szélesebb filozófiába átültetni. Egyik kedvenc komplementer párosa az igazság és a világosság volt. Talán a matematikai szigor és a fizikai intuíció párosát kellene hozzátenni, mint a két egymást kizáró tulajdonság másik példáját. Nézhetjük a világot matematikai szemmel vagy egymást kiegészítő fizikai szemmel, de ne merjük mindkettőt kinyitni.”
Ezt a cikket spanyolul az Investigacionyciencia.es.
oldalon nyomtattuk újra.