egyenletek törtekkel

Töredékszámítás

2. szint

Egy egyenlet megoldása törtekkel, átalakítjuk egy törtek nélküli egyenletre — amit már tudunk megoldani. Ezt a technikát törtek tisztázásának nevezzük.

1. példa. Oldjuk meg az x-et:

x 3

+

x – 2 5

= 6.

megoldás. A törtek tisztázása a következőképpen:

Sokszorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát — minden tagot — a nevezők LCM-ével. Ezután minden nevező osztja a többszörösét. Ekkor egy törtek nélküli egyenletet kapunk.

A 3 és az 5 LCM-je 15. Ezért szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 15-tel.

15-

x 3

+

15-

x – 2 5

= 15- 6

A bal oldalon osszuk el a 15-öt minden tagra. Minden nevező most már 15-re fog osztódni — ez a pont — és a következő egyszerű, törtektől “megtisztított” egyenletet kapjuk:

5x + 3(x – 2)	=
A következőképpen könnyen megoldható:
5x + 3x – 6	=	90
8x	=	90 + 6
.
x	=	96 8
	=

Az egyenlet mindkét oldalát “szorozzuk”, mégis kihasználjuk, hogy nem számít, milyen sorrendben szorzunk vagy osztunk. (1. lecke.) Ezért először az LCM-et osztjuk el minden nevezővel, és így tisztázzuk a törteket.

Minden nevező többszörösét választjuk, mert akkor minden nevező osztója lesz.

2. példa. Tisztítsuk meg a törtektől és oldjuk meg x-et:

x 2

–

5x 6

=

1 9

megoldás. A 2, 6 és 9 LCM-je 18. (Számtan 23. lecke.) Szorozzuk meg mindkét oldalt 18-cal — és töröljük.

9x – 15x = 2.

A 18-at nem kell ténylegesen leírni. A tanulónak egyszerűen meg kell néznie a -t, és látnia kell, hogy 2 kilenc (9) alkalommal megy bele 18-ba. Ez a kifejezés tehát 9x.

A következő lépésben nézze meg a -t, és lássa, hogy 6 három (3) alkalommal kerül 18-ba. Ez a kifejezés tehát 3- -5x = -15x.

Végül nézzük meg a -t, és lássuk, hogy 9 két (2) alkalommal kerül 18-ba. Ez a kifejezés tehát 2 – 1 = 2 lesz.

Itt van a tisztázott egyenlet, majd a megoldása:

.

9x – 15x	=	2
-6x	=	2
x	=	2 -6
x	=	–	1 3

Példa 3. Oldjuk meg az x-et:

½(5x – 2) = 2x + 4.

Megoldás:

½(5x – 2) = 2x + 4.

megoldás. Ez egy törtet tartalmazó egyenlet. Tisztázzuk a törteket úgy, hogy mindkét oldalt 2-vel mutiplikáljuk:

.

5x – 2	=	4x + 8
5x – 4x	=	8 + 2
x	=

A következő feladatokban, Tisztázzuk a törteket, és oldjuk meg az x-et:

Az egyes válaszok megtekintéséhez vezesd az egeret a színes terület fölé.
A válasz újbóli elfedéséhez kattintson a “Refresh” (“Újratöltés”) gombra.
Mondja meg először maga a feladatot!

.

1. feladat.	x 2	–	x 5	=	3
Az LCM 10. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
	5x	–	2x	=	30
	3x			=	30
	x			=

Minden törteket tartalmazó egyenlet megoldásáról, a legközelebbi sorban —

5x – 2x = 30

— nem lehetnek törtek.

2. feladat:	x 6	=	1 12	+	x 8
Az LCM értéke 24. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
	4x	=	2 + 3x
	4x – 3x	=	2
	x	=	2

.

3. feladat.	x – 2 5	+	x 3	=	x 2
Az LCM 30. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
	6(x – 2) + 10x			=	15x
	6x – 12 + 10x			=	15x
	16x – 15x			=	12
	x			=

Probléma 4. Egy tört egyenlő egy törttel.

.

x – 1 4	=	x 7
Az LCM 28. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
7(x – 1)	=	4x
7x – 7	=	4x
7x – 4x	=	7
3x	=	7
x	=	7 3

Láthatjuk, hogy amikor egy tört egyenlő egy törttel, akkor az egyenletet “keresztszorzással” lehet tisztázni.”

.

5. feladat.	x – 3 3	=	x – 5 2
Íme a tisztított egyenlet és annak megoldása:
	2(x – 3)	=	3(x – 5)
	2x – 6	=	3x – 15
	2x – 3x	=	– 15 + 6
	-x	=	-9
	x	=	9

.

6. feladat.	x – 3 x – 1	=	x + 1 x + 2
Íme a tisztított egyenlet és annak megoldása:
	(x – 3)(x + 2)	=	(x – 1)(x + 1)
	x² -x – 6	=	x² – 1
	-x	=	-1 + 6
	-x	=	5
	x	=	-5.

7. feladat	2x – 3 9	+	x + 1 2	=	x – 4
Az LCM 18. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
	4x – 6 + 9x + 9			=	18x – 72
.
	13x + 3			=	18x – 72
	13x – 18x			=	– 72 – 3
	-5x			=	-75
	x			=

8. feladat.	2 x	–	3 8x	=	1 4
Az LCM 8x. Íme a tisztázott egyenlet és annak megoldása:
	16 – 3			=	2x
	2x			. =	13
	x			=	13 2

2. szint

Következő lecke:

Tartalomjegyzék | Főoldal

Kérlek, adományozz, hogy a TheMathPage online maradhasson.
Már 1 dollár is segíthet.