Geometria: Szögek

A vonalak és szögek alkotják szinte az összes geometriai alakzatot. Merüljünk el tehát a geometriában az alakzatok ezen nagyon alapvető elemeinek megvitatásával.

Most elkezdhetünk beszélni a geometriáról. A Geometria pedig természetesen a formák tanulmányozása. Most néhány ember számára, akik vizuálisan orientáltak, a Geometria nagyon természetesen jön. Más emberek számára, akiknek nem fejlődött ki a vizuális képességük, a Geometria egy kicsit nehezebb lehet.

Kifejezetten azoknak az embereknek, akiknek a Geometria egy kicsit nehezebb, a következőt fogom mondani.

Nem elég csak egyszerűen megnézni ezeket a videókat. Miután megnéztétek ezeket, vegyetek elő papírt és egy vonalzót, és rajzoljátok le ezeket a különböző alakzatokat, ténylegesen fizikailag rajzoljátok le őket papírra. És építsetek formákat és fizikai tárgyakat. Használhatsz ceruzát, fogpiszkálót, szívószálat, bármi ilyesmit. Ténylegesen építsetek háromszögeket, téglalapokat, nézzétek meg őket.

Használd a kezed!

Használd a kezed, a kezünk valójában az intelligenciánk része. Ha használod a kezeidet, az agy minden részét igénybe veszed. Ez sokkal könnyebbé teszi, hogy megértsük ezeket az összefüggéseket.

Kezdjük tehát a vonalakkal. A vonalak egyenesek, és mindkét irányban örökké tartanak. Itt van egy csomó különböző egyenes vonal, egy csomó különböző irányban. El kell képzelni, hogy minden egyes vonal végén van néhány nyíl vagy valami ilyesmi. Ez azt jelzi, hogy a vonalak valóban örökké tartanak mindkét irányban.

Egyenesek és szögek: Minden vonal egyenes

Nem szabad összekeverni az egyenest a vízszintessel. Ennek a két szónak nagyon különböző jelentése van, de néha vannak olyan diákok, akik összekeverik őket. Minden vonal egyenes. Tehát az összes vonal, ami az előző dián volt, a különböző irányokba haladó vonalak, azok mind egyenesek.

És a teszten mindig feltételezhetjük, hogy egy vonal egyenes. Ha egyenesnek látszik, akkor egyenes is. Ez mindig igaz a teszten. De néhány egyenest a kényelem kedvéért vízszintesen rajzolunk. Viszont soha nem feltételezheted, hogy az egyenesek pontosan vízszintesek vagy függőlegesek, csak mert annak látszanak. Most az emberek nagyon összezavarodnak ezzel kapcsolatban. Összezavarodnak, ha azt hiszik, hogy a vízszintes és az egyenes ugyanazt jelenti.

Ezért azt mondjuk, hogy a teszt alapján feltételezhetjük, hogy a vonalak egyenesek. Az emberek tévesen azt feltételezik, hogy ez azt is jelenti, hogy feltételezhetik, hogy az egyenesek vízszintesek, pedig ez nem helyes. Az egyenes szakasz az egyenes egy véges darabja.

Példa

Így például itt van egy vonalszakasz, ennek két végpontja van. És ha ezek a végpontok fel vannak címkézve, az megkönnyíti a tárgyalást.

Ez az AB vonalszakasz. És a teszt szempontjából az AB jelentheti akár magának az egyenes szegmensnek a tényleges alakját is. Vagy jelentheti a vonalszakasz hosszát, a numerikus hosszát. Két egyenes, vagy két szakasz között szög keletkezik. Itt például van egy szög.

Egyenesek és szögek: Understanding Angles

Ez történetesen egy vonal és egy szegmens között van. A szöget úgy érthetjük meg a legjobban, ha dinamikusan gondolunk rá, mint az elfordulás vagy forgás aktusára. Tehát más szavakkal, innen idefelé haladva. Ez az, ami egy szög, ez az a dinamikus tér a két vonal között. Ha pontokat jelölünk meg, akkor beszélhetünk szögről.

Szögek címkézése

Ezt a szöget nevezhetjük CDE-nek vagy EDC-nek, D pontnak, a szög csúcsának. Pont itt, a szög pontjának a név közepén kell lennie. Tehát nevezhetjük akár CDE-nek, akár EDC-nek, mindaddig, amíg a csúcspont középen van. Néha ezekben a videókban az egyetlen szögnevet is használom, ha nincs félreértés. Például ezen az ábrán csak egy szög van.

Azt tehát nevezhetném D szögnek is, ami elméletileg előfordulhat a teszten. Bár a teszt gyakran elég óvatos ahhoz, hogy mindig hárombetűs nevet használjon egy szögre. Egy szög nagyságát fokokban mérjük. A teszt ezeket közvetlenül is meg tudja adni, tehát 50 fok.

Alternatívaként a teszt felcímkézheti az ábrát, és a szövegben megadhatja a szög mértékét. Tehát a szög GFH = 50 fok, mert az ábrán betűket tettek a pontokra. Ezt használhatjuk csak arra, hogy beszéljünk erről a mértékről, a fokok számában a szövegben. Valójában a valószínűleg ez a kedvenc dolog, hogy a következő csak megadni szög, egy változó számú fok.

A tesztelés rugalmas formátuma

Ez a rugalmas formátum lehetővé teszi, hogy vagy megadják a szöget, mert a szövegben mondhatják, hogy x = 50, vagy kérdezhetnek róla. Megadhatnak más információt is, és mondhatják, hogy keressük meg x-et. Tehát szívesen csinálnák ezt. Gyorsan áttekintjük az alapvető fokszámtényeket. Egy egyenes szögben 180 fok van, és persze ne feledjük, hogy egy egyenes bármelyik irányba mehet.

De ha az egyenesnek van egy tetszőleges pontja, akkor az egyenes egyik oldalától a másikig. Ez 180 fok, egy derékszögben 90 fok van. Tehát itt van két egyenes, ami derékszögben metszi egymást. Valójában négy derékszög van ebben a metszéspontban. Ha a két egyenes vagy szakasz derékszögben találkozik, akkor merőlegesnek nevezzük őket, ezt a kifejezést ismerned kell.

Függőleges vonalak és derékszögek

A teszt vagy megrajzolja azt a kis négyzetet, a merőleges jelet, ami az a kis négyzet, vagy jelzi, hogy a szög 90 fokos. Megjelölheti az ábrán a 90 fokot vagy az X fokot, és a szövegben közölheti velünk, hogy X egyenlő 90-el. Különböző módokon mondhatják el nekünk, hogy ez egy 90 fokos szög. Ne feltételezd, hogy két egyenes merőleges egymásra, ha nem mondják meg kifejezetten, ez gyakran csapda.

Tegyük fel, hogy ezek a pontok egy nagyobb diagram részeként jelennek meg, és nincs további információ. Az biztos, hogy úgy néz ki, mintha azok derékszögben lennének, és ez nagyon csábító feltételezés. A teszt nagyon szeretné, ha elkövetnéd azt a hibát, hogy feltételezed, hogy a vonalak merőlegesek egymásra, és a szög pontosan 90 fokkal egyenlő.

Valójában nem így van, ezt úgy rajzoltam meg, hogy az a szög ott egy 89,6 fokos szög. Tehát közel áll ahhoz, hogy derékszög legyen, és szabad szemmel is derékszögnek tűnhet. De egyik speciális derékszögtulajdonság sem igaz.

A következő videókban pedig többet fogunk beszélni a speciális derékszögtulajdonságokról. A speciális derékszögtulajdonságok egyike sem igaz, ha a szög közel van a 90-hez, de nem pontosan 90.

Nagyon fontos, tehát nem feltételezhetjük, hogy két egyenes merőleges egymásra, hacsak nem tudjuk ezt valamilyen módon megindokolni.

Egyenesek és szögek: Kongruens alakzatok

Egy fogalom, amit bevezetek, és ami valószínűleg nem fog szerepelni a tesztben, az a kongruens. A kongruens olyan, mint az egyenlő, az alakzatok esetében. Az egyenlő fogalmát használjuk a számok esetében, és a nagyon hasonló “kongruens” fogalmát az alakzatok esetében.

Két alakzat akkor kongruens, ha azonos alakúak és azonos méretűek.

Nem kell, hogy azonos tájolásúak legyenek. Tehát például itt a lila és a zöld alakzat kongruens, az egyik meg van fordítva a másikról. Mondhatnánk, hogy az egyik egy jobbra fordított változat, a másik pedig egy balra fordított változat, de alapvetően ugyanarról az alakzatról van szó.

Ez a kettő kongruens, még akkor is, ha különböző a tájolásuk.

Bizektorok

A felezővonal valamit két kongruens darabra vág. Egy szögfelező egy szöget két kisebb egybevágó szögre vág. Tehát itt például van egy szögfelezőnk. Ha például azt mondjuk, hogy a nagy szög, PNM 40 fokos, és az NQ felezi a szöget – akkor levezethetjük, hogy a két kisebb szögnek egyenként 20 fokosnak kell lennie.

Mindegyiknek pontosan feleakkorának kell lennie, mint a másiknak, mert a szöget kettéosztották. Hasonlóképpen, egy szakasz felezője lehet egy pont, egy másik szakasz vagy egy egyenes. A felező a szegmenst két egyenlő felére osztja. Vegyük észre, hogy itt az ST szegmens felezi a PQ-t. Vedd észre azt is, hogy biztosan igaz, hogy PQ nem metszi fel az ST-t, mert SR egyértelműen nagyobb, mint RT.

Az a tény tehát, hogy ST felezi PQ-t, azt jelenti, hogy R a PQ középpontja, és hogy PR = RQ. Két egyenlő felére osztottuk, és ismétlem, mindig ezt jelenti a kettéosztás. Néha előfordul, hogy egy egyenes kettéoszt egy szakaszt, és egyben merőleges is rá. Az egyenest a szakasz merőleges felezőjének nevezzük.

A VW vonal merőleges, ez a TU merőleges felezője. Egy szakasz merőleges felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától. És így ez egy nagyon hasznos tény, amit sokféleképpen megmutatkozik. A merőleges felező valójában az összes lehetséges pont halmaza, amely egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától.

Egyenesek és szögek: Nézzük meg a szögeket

Most néhány alapvető tény a szögekről. Azt már mondtuk, hogy egy egyenes 180 fokot tartalmaz. Ez azt jelenti, hogy ha két vagy több szög egy egyenesbe esik, akkor szögeik összege 180 fok. Tehát például feltételezhetjük, hogy az a hosszú egyenes egyenes. Nincs rajta valamilyen enyhe kanyarulat azon a ponton.

A teszt ezt nem teszi meg velünk, ha egyenesnek látszik, akkor egyenes. És ezért tudjuk, hogy ez a két szög együtt 180. Tehát x + y = 180. Ha a két szög összege 180, akkor azt kiegészítőnek nevezzük. Egy egyenes vonal két szöge mindig kiegészítő. Tehát p + q = 180.

Mikor két egyenes keresztezi egymást

Ha két egyenes keresztezi egymást, négy szög keletkezik. Tehát itt van két vonal, ami örökké megy mindkét irányba, keresztezniük kell egymást, és ez a négy szög keletkezik. Az egymással szemben lévő szögpárokat, amelyeknek csak a csúcsuk közös, függőleges szögeknek nevezzük, és a függőleges szögek mindig kongruensek. Tehát például A és C, nincs közös oldaluk.

Az a és c szögekben csak annyi a közös, hogy egyetlen csúcsban érintkeznek. Egy csúcsban érintkeznek, b és d szintén egy csúcsban érintkezik. És ezért hívják őket függőleges szögeknek, mert egy csúcsban találkoznak. Tehát tudjuk, hogy a függőleges szögek kongruensek, tudjuk, hogy a = c, és b = d. Természetesen az egymás melletti szögpárok, a + b, b + c, ezek mind kiegészítő szögek.

Mindegyik 180 fokot ad össze, mert szögpárok vannak egy egyenesen. Ezért, ha ezen az ábrán egy szöget kapnánk, meg tudjuk találni a másik hármat. Például, ha a = 35, akkor tudjuk, hogy c-nek egyenlőnek kell lennie. Ennek is 35 foknak kell lennie. A b-nek és a d-nek pedig a 145 fokos kiegészítő szögnek kell lennie. Tehát bármelyik két pár együtt, bármelyik két szög együtt egy párban 180 fokot ad ki.

Egyenesek és szögek: Practice Problem One

Itt egy gyakorló feladat, állítsuk meg a videót, és utána megbeszéljük ezt.

Oké Az ábrán x = 40 fok és RT felezi a nagy szöget SRU ,ami egy nagyon nagy szög. Nos SRU a kiegészítő szöge ennek a 40 fokos szögnek, tehát SRU-nak 180 mínusz 40-nek kell lennie, ami 140 lenne. Tehát SRU 140.

És ez a szög feleződik, mert feleződik, két egyenlő félre van vágva. Tehát két fele van, mindegyiknek 70 fokosnak kell lennie. SRT = 70 fok, TRU = 70 fok. Ez a kettéosztott szög két egyenlő fele. Nos, most figyeljük meg, hogy a TRV szög, ez a szög a TRU és az x szögből áll, amit ismerünk.

Tudjuk, hogy TRU 70 fok, tudjuk, hogy az X szög 40 fok, tehát összeadjuk őket. A TRV-nek 110 fokos szögnek kell lennie. Most vegyük észre, hogy a TRV az SRW függőleges szöge, tehát a kettőnek egyenlőnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy SRW-nek is 110 fokos szögnek kell lennie, tehát Y egyenlő 110. Végül áttekintjük a párhuzamos egyeneseket.

Egyenesek és szögek: Párhuzamos egyenesek

Ha két egyenes párhuzamos, akkor soha nem metszik egymást, és mindig pontosan ugyanolyan távolságra vannak egymástól. És ez megint egy ilyen tulajdonság, mint a merőleges, a párhuzamoshoz közeli, nem számít babszemnek. Tudni kell, hogy a két egyenes pontosan párhuzamos. Nyilvánvaló, hogy mivel a párhuzamos egyenesek soha nem metszik egymást, soha nem alkotnak egymással szöget.

Transzverzális egyenesek

Sok szöget kapunk azonban, ha a két párhuzamos egyenest egy harmadik, nem párhuzamos egyenes metszi. Ezt a harmadik egyenest nevezzük transzverzálisnak. A transzverzális olyan egyenes, amely két párhuzamos egyenest metsz. Itt tehát egy transzverzális metszi a WX és YZ párhuzamos egyeneseket. És itt nyolc angyalt kapunk.

Most a négy nagy angyal mind egyenlő. És a négy kis angyal mind egyenlő. Tehát más szavakkal a = d = e = h és b = c = f = g, ez a nagy ötlet. Most ezek között, persze emlékezhetsz a geometriából, mindenféle különleges nevek vannak.

Változó belső és azonos oldali külső és a megfelelő szögek. Ha emlékezni akarsz ezekre a speciális nevekre, az remek, nem kell. Csak annyit kell megjegyezned, hogy minden nagy szög egyenlő, minden kis szög egyenlő. Itt van tehát megint a diagram, és most már felcímkéztem, hogy egyértelmű legyen, hogy minden egyenlő.

Egyenesek és szögek: Kiegészítő szögek

Azt is figyeljük meg, hogy p és q kiegészítik egymást. Tehát bármelyik nagy szög plusz bármelyik kis szög egyenlő 180 fokkal, ez egy nagyon nagy ötlet. Így, ha itt bármelyik szög fokát megkapjuk, meg tudjuk találni a másik hetet. Összefoglalva, beszéltünk az egyenesekről és az egyenes szakaszokról, beszéltünk a szögekről és a fokokról.

Rámutattunk, hogy egy egyenes szögben 180 fok van, egy derékszögben pedig 90 fok. Beszéltünk a szögfeleződésekről és a merőleges feleződésekről. Egy szögfelező egy szöget két kisebb egyenlő szögre oszt. A merőleges felező merőleges egy szakaszra, és azt két egyenlő félre osztja.

Beszéltünk arról, hogy egy egyenes két szöge kiegészíti egymást. A függőleges szögek kongruensek. És beszéltünk a szögekről, amelyeket egy transzverzális képez, párhuzamos egyeneseket metszve. És ezeknek az alapgondolatoknak számos alkalmazásáról fogunk beszélni, a következő videókban.