1. rész: Egyre kisebb és kisebb számokkal osztani
egy középiskolai matektanártól
Tegyük fel, hogy van egy pizzád. Egy szép faszénen sült New Haven-i, vagy egy kemencében sült chicagói mélytányér, vagy akár egy olyan bio San Francisco-i kézműves pizza, amiben az articsókaszív valahogy úgy néz ki, mintha pizzára való lenne. És nagylelkű lélek, aki vagy, úgy döntöttél, hogy megosztod.
Hány embert tudsz megetetni, ha mindenki kap egy fél pizzát (egy kiadós adagot)?
Nos, ez 1 pizza ÷ ½ pizza személyenként = 2 ember.
És hány embert tudsz megetetni, ha mindenki kap 1/10 pizzát (sajtos falat)?
1 pizza ÷ 0,1 pizza fejenként = 10 ember.
És hányat tudsz etetni, ha mindenki kap 1/100 pizzát (falatnyi falat)?
1 pizza ÷ 0,01 pizza fejenként = 100 ember.
És hányat tudsz etetni, ha mindenki kap 1/1000 pizzát (morzsa egy pici szósszal)?
1 pizza ÷ 0,001 pizza személyenként = 1000 ember.
Minél kisebb szeletet adsz minden egyes embernek, annál több embert tudsz etetni. Vagy elvontabban: minél kisebb számmal osztasz, annál nagyobb az eredmény.
Most, menjünk egy lépéssel tovább: Mi van akkor, ha minden személy egy pizza 0%-át kapja?
1 pizza ÷ 0 pizza személyenként = ???
Hány embert tudsz etetni? Nos, nincs határ, mert valójában nem eteted őket semmivel. Ha a Föld hétmilliárd embere mind megjelenik az ajtód előtt, és kérik a pizzájuk egy részét, azt mondhatod: “Nem probléma!”, mert “az ő pizzájuk egy része” egyáltalán nem jelent semmit. Adj hozzá még hétmilliárdot, és ugyanezt mondanád. Hány embert tudsz etetni? Nincs válasz.
Ha egy számot elosztasz 0-val, nincs egyetlen válasz. Osztani annyit jelent, mint valamit egy bizonyos méretű halomra bontani. És valamit nulla nagyságú halmokra bontani egyszerűen nincs értelme.
2. rész: “A szorzás inverze”
egy matekdoktorjelölt által
Mialatt mosogatott, megkérdeztem a menyasszonyomat, hogy miért nem lehet nullával osztani. A fejből jövő válasza tömörebb volt, mint az enyém. (Mentségemre szóljon, hogy én tisztábban mosogatok, mint ő.)
Amikor osztasz egy számmal – mondjuk 4-gyel – azt kérdezed: “Hányszor lehet 4 a számban?”. Tehát:
De amikor osztasz 0-val, azt kérdezed: “Hányszor mehet bele a 0 a számba?”. És mindegy, hány nullát adsz hozzá, 0 + 0 + 0 + 0 + 0 … soha nem lesz egyenlő 12-vel. Tehát 12 ÷ 0 határozatlan.
3. rész: “A szorzás inverze” Redux
egy elemi szintű matematikai szakembertől
Ezután mindkét magyarázatot lefuttattam a nővéremmel, Jennával, aki K-8-as matematikai szakember. Neki tetszett Taryn válasza, és megadta a saját, még tömörebb változatát.
Az osztás a szorzás inverze. Tehát amikor 12-t osztasz 4-gyel, akkor azt mondod: “Hányszor 4 adja a 12-t?”
Az osztás nullával tehát olyan, mintha azt kérdeznénk: “Hányszor 0 adja a 12-t?”. Nyilvánvalóan nincs válasz, hiszen a 0 bármely többszöröse 0 lesz.
4. rész: Az egészet összekötve
egy professzortól (az apámtól)
Az apámmal, Jamesszel (az operációkutatás professzorával) vacsorázva megkértem, hogy magyarázza el, miért nem lehet nullával osztani. Eléggé hasonló magyarázatot adott, mint az enyém, majd elég szépen összefoglalta a két megközelítés viszonylagos előnyeit.
A Taryn/Jenna-féle magyarázat, mondta, a lényegre tör, és szélesebb (és fiatalabb) közönséget fog kielégíteni. Azzal kezdi, hogy azt mondja: “Nos, itt van, mi az osztás”, majd megmutatja, hogy a fogalomnak nincs értelme, ha nullára alkalmazzuk.
A Ben/James-féle magyarázat eközben azért értékes, mert nem vág a közepébe. Összekapcsolja a “Lehet-e nullával osztani?” kérdést más gondolatokkal (határértékek és aszimptotikus viselkedés), és jobban eljut a probléma fogalmi lényegéhez.
Mindenesetre, itt van. Négy matematikai szakember, két alapvető magyarázat, és még egy blog, amely hozzáteszi a hangját a témával kapcsolatos válaszok zajához.