‘Mind over matter’: Stephen Hawking – gyászjelentés Roger Penrose-tól

A 76 éves korában elhunyt Stephen Hawking képe a motoros kerekesszékében, kissé oldalra hajtott fejjel és a kezét keresztbe tett kézzel, hogy kezelje a kezelőszerveket, megragadta a közvéleményt, mint az elme anyag feletti diadalának igazi szimbóluma. Az ókori görög delphoi jóshoz hasonlóan úgy tűnt, hogy a fizikai károsodást szinte természetfeletti adottságok kompenzálják, amelyek lehetővé tették elméjének, hogy szabadon barangoljon a világegyetemben, és alkalmanként rejtélyesen feltárja annak néhány, a közönséges halandó szeme elől elrejtett titkát.

Az ilyen romantikus kép persze csak részigazságot képviselhet. Azok, akik ismerték Hawkingot, egyértelműen egy valódi emberi lény meghatározó jelenlétét értékelték, aki hatalmas életkedvvel, nagyszerű humorral és óriási elszántsággal rendelkezett, de a nyilvánvaló erősségei mellett normális emberi gyengeségekkel is. Nyilvánvalónak tűnik, hogy nagy örömét lelte abban a szerepben, amelyet általánosan “az első számú sztár tudósként” képviselt; nyilvános előadásain hatalmas közönség vett részt, talán nem mindig csak a tudományos ismeretterjesztés céljából.

A tudományos közösség talán józanabbul értékelhetné a dolgot. Rendkívül nagyra becsülték, tekintettel a világegyetem fizikájának és geometriájának megértéséhez nyújtott számos, igen lenyűgöző, olykor forradalmi hozzájárulására.

Hawkingot nem sokkal a 21. születésnapja után diagnosztizálták, hogy egy meghatározatlan, gyógyíthatatlan betegségben szenved, amelyet aztán a halálos degeneratív motoros neuronbetegségként, amyotrófiás laterálszklerózisként (ALS) azonosítottak. Nem sokkal később, ahelyett, hogy depressziónak adta volna át magát, mint mások talán tették volna, a világegyetem fizikai természetével kapcsolatos legalapvetőbb kérdésekkel kezdett foglalkozni. Idővel rendkívüli sikereket ért el a legsúlyosabb fizikai fogyatékosságokkal szemben. Dacolva a bevett orvosi véleményekkel, sikerült még 55 évet élnie.

A háttere akadémikus volt, bár nem közvetlenül a matematika vagy a fizika területén. Apja, Frank, a trópusi betegségek szakértője volt, édesanyja, Isobel (született Walker) pedig szabadgondolkodó radikális, aki nagy hatással volt rá. Oxfordban született, és nyolcévesen a hertfordshire-i St Albansba költözött. A St Albans-i iskolában tanult, majd ösztöndíjat nyert, hogy fizikát tanulhasson az oxfordi University College-ban. Tanárai szokatlanul tehetségesnek ismerték el, de nem vette teljesen komolyan a munkáját. Bár 1962-ben első osztályú diplomát szerzett, ez nem volt különösebben kiemelkedő.

Úgy döntött, hogy a cambridge-i Trinity Hallban folytatja fizikai pályafutását, és azt javasolta, hogy a kiváló kozmológus, Fred Hoyle mellett tanuljon. Csalódottan tapasztalta, hogy Hoyle nem tudta őt felvenni, az elérhető személy ezen a területen Dennis Sciama volt, akit Hawking akkor még nem ismert. Valójában ez szerencsésnek bizonyult, mert Sciama a brit kozmológia kiemelkedően ösztönző alakjává vált, és több olyan diákot is felügyelt, akik a későbbiekben lenyűgöző nevet szereztek maguknak (köztük a későbbi királyi csillagász Lord Rees of Ludlow-t).

Sciama úgy tűnt, mindent tud, ami akkoriban a fizikában történt, különösen a kozmológiában, és ragályos izgalmat közvetített mindenkinek, aki találkozott vele. Nagyon hatékony volt abban is, hogy összehozza azokat az embereket, akiknek fontos dolgaik lehetnek, hogy kommunikáljanak egymással.

Amikor Hawking a cambridge-i kutatás második évében volt, én (akkor a londoni Birkbeck College-ban) felállítottam egy bizonyos matematikai tételt, amelynek jelentősége volt. Ez néhány plauzibilis feltételezés alapján (a fizikusok számára akkoriban még nagyrészt ismeretlen globális/topológiai technikák alkalmazásával) megmutatta, hogy egy összeomló túlmasszív csillag a téridőben szingularitást eredményez – egy olyan helyet, ahol várhatóan a sűrűségek és a téridő görbületei végtelenné válnak -, ami azt a képet adja, amit ma “fekete lyuknak” nevezünk. Egy ilyen téridő-szingularitás mélyen egy “horizonton” belül helyezkedne el, amelyen keresztül semmilyen jel vagy anyagi test nem menekülhet. (Ezt a képet J. Robert Oppenheimer és Hartland Snyder már 1939-ben felvetette, de csak abban a különleges helyzetben, amikor pontos gömbszimmetriát feltételeztek. Az új tétel célja az ilyen irreális szimmetriafeltételek kiküszöbölése volt). Ennél a központi szingularitásnál Einstein klasszikus általános relativitáselmélete elérte volna a határait.”

Eközben Hawking is ilyen jellegű problémán gondolkodott George Ellisszel, aki a cambridge-i St John’s College-ban doktorált. A két férfi a “szingularitás-tétel” egy korlátozottabb típusán dolgozott, amely egy indokolatlanul korlátozó feltételezést igényelt. Sciama igyekezett összehozni Hawkingot és engem, és Hawkingnak nem sokáig tartott, amíg megtalálta a módját, hogy az én tételemet váratlan módon úgy használja fel, hogy az (időben megfordított formában) kozmológiai környezetben is alkalmazható legyen, és megmutassa, hogy az “ősrobbanásként” emlegetett téridő-szingularitás nemcsak a szokásos, erősen szimmetrikus kozmológiai modelleknek, hanem bármely minőségileg hasonló, de aszimmetrikus modellnek is jellemzője.

Az eredeti tételem néhány feltevése kevésbé tűnik természetesnek kozmológiai környezetben, mint a fekete lyukba való összeomlás esetében. Annak érdekében, hogy a matematikai eredményt úgy általánosítani lehessen, hogy az ilyen feltételezések megszűnjenek, Hawking a probléma szempontjából relevánsnak tűnő új matematikai technikák tanulmányozásába kezdett.

A Morse-elmélet néven ismert nagyhatású matematikai munkák egy része már korábban is a Riemann-tér globális (topológiai) vizsgálatával foglalkozó matematikusok gépezetének része volt. Az Einstein elméletében használt terek azonban valójában pszeudo-Riemann-térségek, és a vonatkozó Morse-elmélet finom, de fontos módokon különbözik. Hawking kidolgozta magának a szükséges elméletet (bizonyos tekintetben Charles Misner, Robert Geroch és Brandon Carter segítségével), és képes volt azt felhasználni új, erőteljesebb jellegű tételek kidolgozására, amelyekben a tételem feltételezései jelentősen gyengülhettek, megmutatva, hogy a big-bang típusú szingularitás széleskörű körülmények között Einstein általános relativitáselméletének szükségszerű következménye.

Néhány évvel később (egy 1970-ben a Royal Society által közzétett tanulmányban, amikor Hawking már a cambridge-i Gonville and Caius College “a tudomány kitüntetettje” lett), ő és én egyesítettük erőinket, hogy egy még erőteljesebb tételt tegyünk közzé, amely szinte minden korábbi, ezen a területen végzett munkát magába foglalt.

1967-ben Werner Israel egy figyelemre méltó dolgozatot publikált, amelynek az volt a következménye, hogy a nem forgó fekete lyukak, amikor végre lecsillapodnak, hogy álló helyzetbe kerüljenek, szükségszerűen teljesen gömbszimmetrikusak lesznek. Carter, David Robinson és mások későbbi eredményei ezt általánosították a forgó fekete lyukakra is, amiből az következik, hogy a végső téridőgeometriának szükségszerűen meg kell felelnie az Einstein-egyenletek Roy Kerr által 1963-ban megtalált megoldási családjának. A teljes érvelés kulcseleme az volt, hogy ha van forgás, akkor teljes tengelyszimmetriának kell lennie. Ezt az összetevőt alapvetően Hawking szolgáltatta 1972-ben.

Mindebből az a nagyon figyelemre méltó következtetés vonható le, hogy a fekete lyukaknak, amelyeket a természetben várhatóan megtalálunk, meg kell felelniük ennek a Kerr-geometriának. Ahogy a nagy elméleti asztrofizikus, Subrahmanyan Chandrasekhar később megjegyezte, a fekete lyukak a legtökéletesebb makroszkopikus objektumok a világegyetemben, mivel csak térből és időből épülnek fel; ráadásul a legegyszerűbbek is, mivel pontosan leírhatók egy kifejezetten ismert geometriával (a Kerr-geometriával).

Az e téren végzett munkája nyomán Hawking számos fontos eredményt állapított meg a fekete lyukakkal kapcsolatban, például egy érvet arra vonatkozóan, hogy eseményhorizontjának (határoló felületének) egy gömb topológiájával kell rendelkeznie. Carterrel és James Bardeen-nel együttműködve 1973-ban publikált munkájában figyelemre méltó analógiákat állapított meg a fekete lyukak viselkedése és a termodinamika alaptörvényei között, ahol a horizont felszíne és felületi gravitációja analógnak bizonyult az entrópia és a hőmérséklet termodinamikai mennyiségekkel. Joggal mondhatjuk, hogy az ezt a munkát megelőző, rendkívül aktív időszakában Hawking klasszikus általános relativitáselméleti kutatásai akkoriban a világon bárhol a legjobbak voltak.

Hawking, Bardeen és Carter a fekete lyukak “termodinamikai” viselkedését alig többnek tekintették, mint egyszerű analógiának, szó szerinti fizikai tartalom nélkül. Körülbelül egy évvel korábban Jacob Bekenstein kimutatta, hogy a fizikai konzisztencia követelményeiből következik – a kvantummechanika kontextusában -, hogy egy fekete lyuknak valóban rendelkeznie kell egy tényleges fizikai entrópiával (“entrópia” a “rendezetlenség” fizikusok által használt mértékegysége), amely arányos a horizontja felületével, de az arányossági tényezőt nem tudta pontosan megállapítani. Másfelől viszont úgy tűnt, hogy egy fekete lyuk fizikai hőmérsékletének pontosan nullának kell lennie, ami nem egyeztethető össze ezzel az analógiával, mivel semmilyen energiaforma nem tudna kiszabadulni belőle, ezért Hawking és kollégái nem voltak hajlandók teljesen komolyan venni az analógiájukat.

Hawking ekkor a fekete lyukakkal kapcsolatos kvantumhatások felé fordította figyelmét, és számításba kezdett, hogy meghatározza, vajon az ősrobbanás során esetleg keletkező apró, forgó fekete lyukak kisugározzák-e a forgási energiájukat. Megdöbbenve tapasztalta, hogy bármilyen forgástól függetlenül kisugározzák az energiájukat – ami Einstein E=mc2-je szerint a tömegüket jelenti. Ennek megfelelően minden fekete lyuknak valójában nem nulla a hőmérséklete, ami pontosan megfelel a Bardeen-Carter-Hawking analógiának. Ráadásul Hawking képes volt megadni az entrópia-arányossági állandó pontos “egynegyed” értékét, amelyet Bekenstein nem tudott meghatározni.

Ezt a fekete lyukakból származó sugárzást, amelyet Hawking megjósolt, ma – nagyon találóan – Hawking-sugárzásnak nevezik. Minden olyan fekete lyuk esetében azonban, amely várhatóan normális asztrofizikai folyamatok során keletkezik, a Hawking-sugárzás rendkívül apró lenne, és minden bizonnyal semmilyen ma ismert technikával nem lenne közvetlenül megfigyelhető. Azt állította azonban, hogy nagyon apró fekete lyukak keletkezhettek magának az ősrobbanásnak a során, és az ilyen lyukak Hawking-sugárzása egy végső robbanássá alakulhatott, amely megfigyelhetővé válhatott. Úgy tűnik, nincs bizonyíték ilyen robbanásokra, ami azt mutatja, hogy az ősrobbanás nem volt olyan befogadó, mint Hawking szerette volna, és ez nagy csalódás volt számára.

Az elméleti oldalról ezek az eredmények mindenképpen fontosak voltak. Megalapozták a fekete lyukak termodinamikájának elméletét: Hawking a kvantum(mező)elmélet és az általános relativitáselmélet eljárásainak összekapcsolásával megállapította, hogy szükség van egy harmadik tárgy, a termodinamika bevonására is. Ezeket általában Hawking legnagyobb hozzájárulásainak tekintik. Hogy mélyreható következményeik vannak az alapfizika jövőbeli elméleteire, az tagadhatatlan, de e következmények részletes természete még mindig heves viták tárgya.

Hawking maga is képes volt mindebből arra a következtetésre jutni (bár nem a részecskefizikusok általános elfogadásával), hogy a közönséges anyag azon alapvető alkotóelemeinek – a protonoknak – végső soron szét kell bomlaniuk, bár olyan bomlási sebességgel, amely meghaladja a mai megfigyelési technikákat. Azt is megalapozottan gyanította, hogy a kvantummechanika szabályai módosításra szorulhatnak, és úgy tűnt, hogy ezt az álláspontot eredetileg ő is támogatta. Később azonban (saját véleményem szerint sajnos) más nézetre jutott, és 2004 júliusában a gravitációval foglalkozó dublini nemzetközi konferencián nyilvánosan bejelentette, hogy meggondolta magát (és ezzel beismerte a Caltech fizikusával, John Preskillel kötött fogadását) az eredetileg a fekete lyukak belsejében megjósolt “információvesztést” illetően.

A fekete lyukakkal kapcsolatos munkája után Hawking a kvantumgravitáció problémája felé fordította figyelmét, és zseniális ötleteket dolgozott ki néhány alapvető kérdés megoldására. A kvantumgravitációt, amely a részecskefizika kvantumeljárásainak magára a téridő szerkezetére való helyes ráhordását jelenti, általában a fizika legalapvetőbb megoldatlan alapkérdésének tartják. Egyik kimondott célja, hogy olyan fizikai elméletet találjon, amely elég erős ahhoz, hogy kezelni tudja a klasszikus általános relativitáselmélet téridő-szingularitásait a fekete lyukakban és az ősrobbanásban.

Hawking eddigi munkája, bár a kvantummechanika eljárásait Einstein általános relativitáselméletének görbült téridő-beállításában alkalmazta, nem adott kvantumgravitációs elméletet. Ehhez magára Einstein görbült téridejére is alkalmazni kellett volna a “kvantálási” eljárásokat, nem csak a görbült téridőn belüli fizikai mezőkre.

James Hartle-lal együtt Hawking kifejlesztett egy kvantumeljárást az ősrobbanás szingularitásának kezelésére. Ezt a “határok nélküli” ötletnek nevezik, amelynek során a szingularitás helyébe egy sima “sapka” lép, ezt ahhoz hasonlítják, ami a Föld északi pólusánál történik, ahol a földrajzi hosszúság fogalma értelmét veszti (szingulárissá válik), miközben maga az északi pólus tökéletesen jó geometriával rendelkezik.

Ahhoz, hogy ennek az elképzelésnek értelme legyen, Hawkingnak a “képzeletbeli idő” (vagy “euklidétizálás”) fogalmára kellett hivatkoznia, amelynek hatására Einstein téridejének “ál-Riemann-féle” geometriája egy standardabb Riemann-féle geometriává alakul át. Számos ilyen ötlet zsenialitása ellenére komoly nehézségek maradnak (az egyik ilyen nehézség az, hogy hogyan lehetne hasonló eljárásokat alkalmazni a fekete lyukak belsejében lévő szingularitásokra, ami alapvetően problematikus).

A kvantumgravitációval kapcsolatban számos más megközelítést is folytatnak világszerte, és Hawking eljárásait, bár nagyra becsülik és még mindig kutatják, nem a legnépszerűbbek követik, bár az összes többinek is megvannak a maga alapvető nehézségei.

Élete végéig Hawking folytatta a kvantumgravitációs problémával és a kozmológia kapcsolódó kérdéseivel kapcsolatos kutatásait. Szigorúan kutatási érdeklődésével párhuzamosan azonban egyre többet foglalkozott a tudomány, és különösen saját elképzeléseinek népszerűsítésével. Ez A rövid idő története (1988) című, elképesztően sikeres könyvének megírásával kezdődött, amelyet mintegy 40 nyelvre fordítottak le, és világszerte több mint 25 millió példányban adtak el belőle.

Kétségtelen, hogy a könyv fenomenális sikeréhez a zseniális cím is hozzájárult. A téma is olyasvalami, ami megragadja a közvélemény fantáziáját. A stílus közvetlensége és tisztasága pedig olyan, mintha Hawking kényszerűségből alakult volna ki, amikor megpróbált megbirkózni a testi fogyatékosságai által megszabott korlátokkal. Mielőtt számítógépes beszédére kellett támaszkodnia, csak nagy nehézségek árán és nagy erőfeszítések árán tudott beszélni, ezért amit tudott, rövid, közvetlenül a lényegre törő mondatokkal kellett tennie. Ráadásul nehéz tagadni, hogy fizikai állapota önmagában is megragadhatta a közönség fantáziáját.”

Noha a tudomány szélesebb körben való megismertetése minden bizonnyal Hawking egyik célja volt könyvének megírásával, komoly célja volt a pénzkeresés is. Anyagi igényei jelentősek voltak, hiszen a családból, ápolókból, egészségügyi segítőkből és egyre drágább felszerelésekből álló kísérete megkívánta. Ennek egy részét, de nem mindenét támogatásokból fedezte.

Hawking meghívása egy konferenciára mindig komoly számításokat igényelt a szervezőktől. Az utazási és szállásköltségek óriásiak lettek volna, nem utolsósorban azért, mert rengeteg embernek kellett volna elkísérnie őt. De egy népszerű előadása mindig teltházas lenne, és különleges előkészületekre lenne szükség ahhoz, hogy elég nagy előadótermet találjanak. További tényező lenne annak biztosítása, hogy minden bejárat, lépcső, lift stb. megfelelő legyen a mozgássérültek számára általában, és különösen a kerekesszéke számára.

Láthatóan élvezte hírnevét, számos lehetőséget megragadva utazásra és szokatlan élményekre (például lement egy aknába, meglátogatta a Déli-sarkot és átélte a szabadesés gravitációs nullpontját), és találkozott más kiválóságokkal.

Nyilvános előadásainak előadói színvonala az évek múlásával nőtt. Eredetileg a vizuális anyagot egy diák által bemutatott, fólián lévő vonalrajzok jelentették. A későbbi években azonban már lenyűgöző, számítógéppel generált vizuális anyagokat használtak. A szóbeli anyagot mondatról mondatra ellenőrizte, ahogyan azt a számítógéppel generált amerikai akcentusú hangja előadta. Kiváló minőségű képek és számítógéppel generált grafikák szerepeltek későbbi népszerű könyveiben, Az idő rövid illusztrált történetében (1996) és A világegyetem dióhéjban (2001) is. Lányával, Lucyval közösen írta a George titkos kulcsa az univerzumhoz (2007) című ismeretterjesztő tudományos gyermekkönyvet, és számos más népszerű tudományos mű szerkesztője, társszerzője és kommentátora volt.

Számos magas elismerést és kitüntetést kapott. Különösen figyelemre méltóan fiatalon, 32 évesen választották a Királyi Társaság tagjává, és 2006-ban megkapta annak legmagasabb kitüntetését, a Copley-érmet. 1979-ben ő lett a cambridge-i természetfilozófiai Lucasian tanszék 17. birtokosa, mintegy 310 évvel azután, hogy Sir Isaac Newton lett a tanszék második birtokosa. 1989-ben Companion of Honour címet kapott. Vendégszerepelt a Star Trek: A következő generáció című televíziós műsorban, rajzfilm formájában feltűnt a Simpson családban, és szerepelt A mindenség elmélete (2014) című filmben.

Megállapítható, hogy sokat köszönhetett első feleségének, Jane Wilde-nak, akit 1965-ben vett feleségül, és akivel három gyermeke született, Robert, Lucy és Timothy. Jane sok tekintetben kivételesen támogatta őt. Ezek közül az egyik legfontosabb talán az volt, hogy szokatlan mértékben megengedte neki, hogy saját magáért tegyen dolgokat.

Rendkívül határozott ember volt. Ragaszkodott ahhoz, hogy ő maga tegyen meg dolgokat. Ez viszont talán oly módon tartotta aktívan az izmait, hogy késleltette azok sorvadását, és ezáltal lassította a betegség előrehaladását. Ennek ellenére állapota egyre romlott, mígnem már szinte alig maradt mozgása, és beszédét alig lehetett kivenni, csak nagyon keveseknek, akik jól ismerték.

1985-ben Svájcban tartózkodva tüdőgyulladást kapott, és életének megmentéséhez légcsőmetszésre volt szükség. Furcsa módon a halállal való szembesülése után degeneratív betegsége előrehaladása gyakorlatilag megállni látszott. A légcsőmetszés azonban megakadályozta a beszéd minden formáját, így ekkor vált szükségessé egy számítógépes beszédszintetizátor beszerzése.

A tüdőgyulladással való találkozását követően Hawkingék otthonát szinte átvették az ápolók és az egészségügyi személyzet, ő és Jane pedig eltávolodtak egymástól. 1995-ben elváltak. Ugyanebben az évben Hawking feleségül vette Elaine Masont, aki az egyik ápolónője volt. Az ő támogatása más formát öltött, mint Jane-é. Sokkal gyengébb fizikai állapotában a szeretet, a gondoskodás és a figyelem, amelyet a nő nyújtott, minden tevékenységében fenntartotta őt. Ám ez a kapcsolat is véget ért, és Elaine-nel 2007-ben elváltak.

Szörnyű fizikai körülményei ellenére szinte mindig pozitívan állt az élethez. Élvezte a munkáját, más tudósok társaságát, a művészeteket, hírnevének gyümölcseit, utazásait. Nagy örömét lelte a gyerekekben, néha motoros kerekesszékében forogva szórakoztatta őket. A társadalmi kérdések foglalkoztatták. Támogatta a tudományos megértést. Nagylelkű tudott lenni, és nagyon gyakran volt szellemes. Alkalmanként mutatott valamit abból az arroganciából, amely nem ritka az élvonalbeli fizikusok között, és volt egy autokratikus vonása. Ugyanakkor valódi alázatot is tudott mutatni, ami a nagyság jele.

Hawkingnak sok tanítványa volt, akik közül néhányan később jelentős nevet szereztek maguknak. Mégsem volt könnyű a tanítványának lenni. Előfordult, hogy átgázolt a kerekesszékével egy olyan tanítvány lábán, aki bosszúságot okozott neki. Kijelentései nagy tekintélyt hordoztak, de fizikai nehézségei miatt rövidségükben gyakran rejtélyesek voltak. Egy hozzáértő kolléga talán képes lenne kibogozni a mögöttük rejlő szándékot, de egy tapasztalatlan diák számára ez más kérdés.

Egy ilyen diák számára a Hawkinggal való találkozás ijesztő élmény lehetett. Hawking megkérheti a diákot, hogy kövessen valami homályos utat, aminek az oka mélyen rejtélyesnek tűnhet. Tisztázás nem állt rendelkezésre, és a tanuló olyasmit kaphatott, ami valóban olyan volt, mint egy orákulum kinyilatkoztatása – valamit, aminek az igazságát nem lehetett megkérdőjelezni, de ami, ha helyesen értelmezik és fejlesztik, biztosan tovább vezet egy mély igazsághoz. Talán most mindannyiunknak ez a benyomás maradt.

Hawkingot gyermekei hagyták hátra.

– Stephen William Hawking fizikus, született 1942. január 8-án; meghalt 2018. március 14-én

{{#ticker}}

{{topLeft}}

{{bottomLeft}}

{{topRight}}

{{bottomRight}}

{{#goalExceededMarkerPercentage}}

{{/goalExceededMarkerPercentage}}

{{/ticker}}

{{heading}}

{{#paragraphs}}

{{.}}}

{{{/paragraphs}}}{{highlightedText}}

{{#cta}}{{{text}}{{/cta}}
Májusban emlékezz rám

Az elfogadott fizetési módok: Visa, Mastercard, American Express és PayPal

Majd jelentkezünk, hogy emlékeztessünk a hozzájárulásodra. Várj egy üzenetet a postaládádban 2021 májusában. Ha bármilyen kérdése van a hozzájárulással kapcsolatban, kérjük, vegye fel velünk a kapcsolatot.

  • Megosztás a Facebookon
  • Megosztás a Twitteren
  • Megosztás e-mailben
  • Megosztás a LinkedInen
  • Megosztás a Pinteresten
  • Megosztás a WhatsAppon
  • Megosztás a Messengeren

Vélemény, hozzászólás?

Az e-mail-címet nem tesszük közzé.