Pi képletek

A sokféle képlete létezik. Ezek közé tartoznak többek között sorozatok, szorzatok, geometriai konstrukciók, határértékek, speciális értékek és pi iterációk.

szorosan kapcsolódik a körök és gömbök tulajdonságaihoz. Egy sugarú kör esetében, a kerületet és a területet a

			(1)
			(2)

Hasonlóan egy sugarú gömb esetében, a felület és a térfogat

.

			(3)
			(4)

Az pontos képlete az egységtörtek inverz érintőire a Machin-féle formula

Három másik Machin-féle képlet létezik,valamint ezer más hasonló képlet, amelyeknek több feltétele van.

Gregory és Leibniz megtalálta

			(6)
			(7)

(Wells 1986, 50. o.), amelyet Gregory-sorozatként ismerünk, és beillesztésével kaphatjuk a Leibniz-sorozatba. Ennek a Gregory-sorozatnak a -ik tagja utáni hiba nagyobb, mint , így ez az összeg olyan lassan konvergál, hogy 300 tag nem elegendő a két tizedesjegyig pontos kiszámításához! Átalakítható azonban

ahol a Riemann-féle zétafüggvény (Vardi 1991, pp. 157-158; Flajolet és Vardi 1996), így a hiba tagok után .

A végtelen összegű sorozat Abraham Sharpnak (kb. 1717) a

(Smith 1953, 311. o.). További egyszerű sorozatok, amelyekben jelenik meg:

.

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)
			(16)
			(17)

(Wells 1986, 53. o.).

Az 1666, Newton egy geometriai konstrukciót használt, hogy levezesse a képletet

			(18)
			(19)

, amelyből kiszámította (Wells 1986, 50. o.; Borwein et al. 1989; Borwein és Bailey 2003, 105-106. o.). Az együtthatókat az integrálból

			(20)
			(21)

az 0 körüli sorbővítésével, obtaining

(OEIS A054387 és A054388). Az Euler-féle konvergenciajavító transzformáció alkalmazásával

			(23)
			(24)
			(25)

(Beeler et al. 1972, 120. tétel).

Ez megfelel annak, hogy beillesztjük a ,

A konvergenciajavulás ellenére a sorozat (◇) csak egy biten/termen konvergál. Egy négyzetgyök árán Gosper megjegyezte, hogy 2 bit/term ad,

és majdnem 3-at ad.39 bit/term,

ahol az aranymetszés. Gosper is megkapta

A tüskés algoritmust Rabinowitz és Wagon (1995; Borwein és Bailey 2003, 141-142. o.) adja meg.

Még meglepőbb, hogy egy zárt formájú kifejezést, amely egy olyan számjegy-kivonatoló algoritmust ad, amely a 16-os bázison (vagy ) számjegyeket eredményez, Bailey és társai fedeztek fel. (Bailey et al. 1997, Adamchik és Wagon 1997),

Ezt a BBP-formulaként ismert képletet a PSLQ algoritmus segítségével fedezték fel (Ferguson et al. 1999), és egyenértékű

Az -re létezik egy sor BBP típusú képlet hatványaiban, amelyek első néhány független képlete a következő:

			(32)
			(33)
			(34)
			(35)
			(36)
			(37)

Hasonlóképpen létezik egy sor BBP típusú formula a hatványaiban, amelyek közül az első néhány független formula a következő:

.

.

.

			(38)
			(39)
				(40)
			(41)
			(42)
			(43)
			(44)
			(45)
			(46)
			(47)
			(48)

F. Bellard megtalálta a gyorsan konvergáló BBP-típusformulát

A kapcsolódó integrál

(Dalzell 1944, 1971; Le Lionnais 1983, p. 22; Borwein, Bailey és Girgensohn 2004, 3. o.; Boros és Moll 2004, 125. o.; Lucas 2005; Borwein et al. 2007, 14. o.). Ezt az integrált K. Mahler már az 1960-as évek közepén megismerte, és egy 1960 novemberében a Sydney-i Egyetemen tartott vizsgán is szerepel (Borwein, Bailey és Girgensohn, 3. o.). Beukers (2000), valamint Boros és Moll (2004, 126. o.) szerint nem világos, hogy létezik-e olyan természetes választású racionális polinom, amelynek integrálja 0 és 1 között , ahol 333/106 a következő konvergens. Létezik azonban integrál a negyedik konvergensre, nevezetesen

(Lucas 2005; Bailey et al. 2007, 219. o.). Valójában Lucas (2005) ad még néhány ilyen integrált.

Backhouse (1995) a

			(52)
			(53)
			(54)

a pozitív egész számok és esetén és ahol , , és racionális konstansok, hogy a számos képletét előállítsuk. Különösen, ha , akkor (Lucas 2005).

Egy hasonló képletet később Ferguson is felfedezett, ami az ilyen formulák kétdimenziós rácsához vezetett, amely e két képlettel generálható a következő módon:

bármely komplex értékre (Adamchik és Wagon), ami a BBP-képletet a speciális eseteként adja.

Egy még általánosabb, Wagon-nak köszönhető azonosságot a

(Borwein és Bailey 2003, p. 141), amely a komplex síknak a valós tengely körül szimmetrikusan elhelyezett két háromszögletű részt kizáró tartományára érvényes, amint azt a fenti ábra mutatja.

Az azonosságok talán még furcsább általánosabb osztályát a

ami bármely pozitív egész számra érvényes, ahol egy Pochhammer-jel (B. Cloitre, pers. comm.., 2005. január 23.). Még meglepőbb, hogy a 2.

természetes logaritmusára is létezik egy szorosan analóg formula.

A 16-os bázisú számjegyű BBP formula és a kapcsolódó formulák felfedezése után hasonló formulákat más bázisokban is vizsgáltak. Borwein, Bailey és Girgensohn (2004) nemrégiben kimutatták, hogy nem rendelkezik olyan Machin-típusú BBP arctangens-formulával, amely nem bináris, bár ez nem zárja ki, hogy más bázisokban teljesen más séma szerint működnek a számjegy-kivonási algoritmusok.

S. Plouffe kidolgozott egy algoritmust a -edik számjegyének kiszámítására bármely bázisban lépésben.

A Ramanujan, Catalan és Newton által felállított további azonosságokat Castellanos (1988ab, pp. 86-88) adja meg, köztük több Fibonacci-számok összegét. Ramanujan találta

(Hardy 1923, 1924, 1999, p. 7).

Plouffe (2006) találta a szép képletet

Egy érdekes, Eulernek köszönhető végtelen szorzatos képlet, amely a és a egyedik prím között áll kapcsolatban:

.

			(60)
				(61)

(Blatner 1997, p. 119), amelyet a fenti ábrán a szorzatban szereplő tagok számának függvényében ábrázoltunk.

Az Arkhimédészéhez hasonló módszerrel megbecsülhető a úgy, hogy egy -szögből indulunk ki, majd az ezt követő -szögek területét viszonyítjuk egymáshoz. Legyen a sokszög egyik szegmensének középpontjától számított szög,

akkor

(Beckmann 1989, pp. 92-94).

Vieta (1593) volt az első, aki pontos kifejezést adott a -re úgy, hogy a fenti kifejezésben -t vett, így

ami egymásba ágyazott gyökök végtelen szorzatához vezet,

(Wells 1986, 50. o.; Beckmann 1989, 95. o.). Ennek a kifejezésnek a konvergenciáját azonban csak Rudio 1892-ben bizonyította be szigorúan.

Egy kapcsolódó képletet a

mely felírható

ahol az

val (J. Munkhammar, személyes közlés, április 27, 2000). A képlet

is szorosan összefügg.

A szép képlete a következő:

ahol a számláló a Wallis-képlet egy formája , a nevező pedig egy teleszkópos összeg, amelynek összege 1/2, mivel

(Sondow 1997).

A Wallis-képlet egy speciális esete adja

(Wells 1986, 50. o.). Ez a képlet felírható

ahol egy binomiális együtthatót jelöl, és a gammafüggvény (Knopp 1990). Euler megkapta

ami a Riemann-féle zétafüggvény speciális értékéből következik. Hasonló képlet következik minden pozitív egész számra .

A Ramanujan nevéhez fűződő végtelen összeg

(Borwein et al. 1989; Borwein és Bailey 2003, 109. o.; Bailey et al.2007, 44. o.). További összegeket ad Ramanujan (1913-14),

és

			(77)
			(78)

(Beeler et al. 1972, 139. tétel; Borwein et al. 1989; Borwein és Bailey 2003, 108. o.; Bailey et al. 2007, 44. o.). A (78) egyenlet egy 58-as rendű moduláris azonosságból származik, bár az első levezetést Borwein és Borwein (1987) előtt nem mutatták be. A fenti sorozatok egyaránt adják

(Wells 1986, 54. o.) első közelítésként, és termenként kb. 6, illetve 8 tizedesjegyet ad. Ilyen sorozatok léteznek a különböző moduláris invariánsok racionalitása miatt.

A sorozat általános formája

ahol egy bináris kvadratikus forma diszkriminánsa, a j-függvény,

.

			(81)
			(82)

és a Eisenstein-sorozatok. Egy osztályszámú mezőben töbszörös algebrai egészek állandói , és szerepelnek. A csak egész számokból álló sorozatok közül az a sorozat, amelyik a legrövidebb idő alatt a legtöbb számjegyet adja, megfelel a legnagyobb 1-es osztályszámú diszkriminánsnak, amelyet a Chudnovsky testvérek (1987) fogalmaztak meg. Az itt megjelenő 163 ugyanaz a 163, amely abban is megjelenik, hogy (a Ramanujan-állandó) nagyon közel egész szám. Hasonlóképpen, a tényező a j-függvény azonosságából származik. A sorozatot a

			(83)
			(84)

(Borwein és Borwein 1993; Beck és Trott; Bailey et al. 2007, 44. o.). Ez a sorozat kifejezésenként pontosan 14 számjegyet ad. Ugyanezt az egyenletet más formában a Chudnovsky testvérek (1987) adták meg, és a Wolfram Language a kiszámításához használja (Vardi 1991; Wolfram Research),

hol

.

			(86)
			(87)
			(88)

A 2. osztályszám (legnagyobb diszkriminancia ) legjobb képlete

hol

				(90)
			(91)
			(92)

(Borwein és Borwein 1993). Ez a sorozat minden további kifejezéssel körülbelül 25 számjegyet ad hozzá. A leggyorsabban konvergáló sorozat a 3. osztályszámhoz felel meg, és 37-38 számjegyet ad termenként. A leggyorsabban konvergáló 4. osztályú sorozat megfelel és

hol

.

			(94)
			(95)
			(96)

Ez termenként 50 számjegyet ad. Borwein és Borwein (1993) kidolgozott egy általános algoritmust ilyen sorozatok generálására tetszőleges osztályszámra.

Ramanujan második és harmadik jegyzetfüzetében talált sorozatok teljes felsorolását Berndt (1994, pp. 352-354),

			(97)
			(98)
			(99)
			(100)
			(101)
			(102)
			(103)
			(104)
			(105)
			(106)
			(107)
			(108)
			(109)
			(110)
			(111)
			(112)
			(113)

Ezeket az egyenleteket először Borwein és Borwein (1987a, pp. 177-187) bizonyította. Borwein és Borwein (1987b, 1988, 1993) más ilyen típusú egyenleteket is bizonyított, Chudnovsky és Chudnovsky (1987) pedig más transzcendens állandókra is talált hasonló egyenleteket (Bailey et al. 2007, pp. 44-45).

Az ilyen típusú független ismert egyenletek teljes listáját a

			(114)
			(115)
			(116)
			(117)
			(118)

for nem alternatív előjelekkel,

			(119)
			(120)
			(121)
			(122)

for váltakozó előjelekkel,

			(123)
			(124)

for (Guillera 2002, 2003, 2006),

ra (Guillera 2002, 2003, 2006), -re pedig nem ismert más (Bailey et al. 2007, 45-48. o.).

Bellard az egzotikus képletet

where

Gasper idézi az eredményt

ahol egy általánosított hipergeometriai függvény, és átalakítja

Egy lenyűgöző, Gospernek köszönhető eredményt ad

kielégíti az egyenlőtlenséget

D. Terr (személyes közlés) megjegyezte a különös azonosságot

a pi első 9 számjegyének bevonásával.

.