A spirál jellemzői
A spirálok típusai
Források
A spirál olyan görbe, amelyet egy fix tengely körül egyre növekvő távolságban forgó pont alkot. Egy olyan matematikai függvénnyel határozható meg, amely a pontnak az origótól való távolságát az elforgatás szögével hozza összefüggésbe. Néhány gyakori spirál közé tartozik az archimédeszi spirál és a hiperbolikus spirál. A spirál egy másik típusa, az úgynevezett logaritmikus spirál, a természetben számos esetben megtalálható.
A spirál jellemzői
A spirál olyan függvény, amely egy pontnak az origótól való távolságát a pozitív
KULCSTERMEK
Logaritmikus spirál -A görbe típusa, amelyet az r = ea q összefüggés határoz meg. A természetben gyakran előforduló alakzat.
Origin -A spirál kezdőpontja. Más néven a mag.
Arkhimédész-spirál -A görbe típusa, amelyet az r = aq. összefüggés határoz meg. Ez volt az első felfedezett spirál.
Farok -A spirálnak az origótól távolodó része.
x tengely. A spirál egyenletét általában a polárkoordináták alapján adják meg. A polárkoordináta-rendszer egy másik módja annak, hogy a grafikonon lévő pontok elhelyezkedjenek. A derékszögű koordinátarendszerben minden egyes pontot az origótól mért x és y távolsága határoz meg. Például a (4,3) pont az x tengelyen 4 egységgel feljebb, az y tengelyen pedig 3 egységgel feljebb helyezkedik el. A derékszögű koordináta-rendszerrel ellentétben a polárkoordináta-rendszer a pont helyének meghatározásához az origótól mért távolságot és szöget használja. Ennek a rendszernek az általános jelölése (r,θ)ahol r az origótól a pontig húzott sugár hosszát, θ pedig azt a szöget jelöli, amelyet ez a sugár az x tengellyel bezár. Ezt a sugarat gyakran vektornak nevezik.
Mint minden más geometriai alakzatnak, a spirálnak is vannak bizonyos jellemzői, amelyek segítenek meghatározni azt. A spirál középpontját vagy kezdőpontját nevezzük origónak vagy magnak. A spirál magjától távolodó vonalat nevezzük farkának. A legtöbb spirál végtelen is, azaz nincs véges végpontja.
A spirálok típusai
A spirálokat a sugárvektor r hossza és a pozitív x tengellyel bezárt q vektorszög közötti matematikai kapcsolat alapján osztályozzák. A leggyakoribbak közé tartozik az arkhimédeszi spirál, a logaritmikus spirál, a parabolikus spirál és a hiperbolikus spirál.
A legegyszerűbb spirált az ókori görög matematikus, a szirakúzai Arkhimédész (Kr. e. 287-212) fedezte fel. Arkhimédész spirálja megfelel az r = aθ egyenletnek, ahol r és θ az a sugár hosszának egyenletes változásával ábrázolt pont poláris koordinátáit jelenti. Ebben az esetben r arányos θ-vel.
A logaritmikus vagy egyenlő szögű spirált először Rene Descartes (1596-1650) javasolta 1638-ban. Egy másik matematikusnak, Jakob Bernoullinak (1654-1705), aki jelentősen hozzájárult a valószínűségszámításhoz, szintén tulajdonítják e spirál jelentős aspektusainak leírását. A logaritmikus spirált az r = eaθ egyenlet határozza meg, ahol e a természetes logaritmikus állandó, r és θ a poláris koordinátákat, a pedig a változó sugár hosszát jelenti. Ezek a spirálok hasonlítanak a körhöz, mert állandó szögben keresztezik a sugarukat. A körrel ellentétben azonban az a szög, amelyben pontjai keresztezik sugarait, nem derékszög. Ezek a spirálok abban is különböznek a körtől, hogy a sugarak hossza nő, míg a kör esetében a sugár hossza állandó. A logaritmikus spirálra az egész természetben találunk példákat. A Nautilus héja és a napraforgómagok magmintái is logaritmikus spirál alakúak.
A parabolikus spirál az r2 = a2θ matematikai egyenlettel ábrázolható. Ez a Bonaventura Cavalieri (1598-1647) által felfedezett spirál egy olyan görbét hoz létre, amelyet általában parabolának neveznek. Egy másik spirál, a hiperbolikus spirál az r = a/θ egyenletnek felel meg.
A spirálhoz hasonló görbék másik típusa a spirál. A spirál annyiban hasonlít a spirálhoz, hogy egy pont körül egyre növekvő távolságban történő forgással létrehozott görbe. A spirál kétdimenziós síkbeli görbéitől eltérően azonban a spirál háromdimenziós térgörbe, amely egy henger felületén fekszik. Pontjai olyanok, hogy állandó szöget zár be a henger keresztmetszeteivel. Erre a görbére példa egy csavar menete.
Lásd még: Logaritmusok.