Tartalomjegyzék
A szóráskalkulátor használata
A fenti szóráskalkulátor egyszerű módját kínálja egy számhalmaz szórásának kiszámítására és megtanulására egyaránt. Ez a számológép minden szabványos számológépnél jobb, hiszen lépésről lépésre megmutatja, hogyan találhatja meg a választ önállóan. Ez a szóráskalkulátor kiváló tanítási eszköz, amely segít abban, hogy a saját munkája során a helyes válaszokat megkapja. Ha egy adathalmaz tartományát is meg kell találnod, lásd a Változékonysági mértékek kalkulátor oldalát. Ez a kalkulátor mindhárom változékonysági mértéket, a tartományt, a szórást és a szórást meg fogja találni, és lépésről lépésre megmutatja a megoldást.
Mi a szórás?
A szórás definíciója az adatértékek “szórásának” mérőszáma az adathalmazon belül. A “szórás” arra utal, hogy az adatértékek milyen közel vagy távol vannak az adathalmaz átlagához képest. A szórás a szórás négyzete. A szórás és a szórás is a változékonyság mértékegysége.
Ez a szóráskalkulátor nemcsak választ ad a problémára, hanem lépésről lépésre végigvezeti a megoldáson.
Mit jelent a nagy szórás?
A szórás definíciója szerint az adatértékeknek az átlagtól való szórását méri. Ha nagy a szórás, akkor nagy az adatértékek szórása. Ez azt jelenti, hogy az értékek az átlagtól távolabb szóródnak. Ez azt jelenti, hogy az adathalmazban nagy a változékonyság. Ha a szórás kicsi, akkor az adathalmazban az adatértékek kevésbé szóródnak az átlagtól. Ez kisebb változékonyságot és nagyobb konzisztenciát feltételez.
Tegyük fel, hogy vizsgázol, és az osztályzat jegyeinek szórása 5,0. Ekkor nem igazán tudjuk megmondani, hogy az osztályod következetesen teljesített-e vagy sem, mert nincs mihez viszonyítanunk. Most pedig a barátod egy másik osztályban vizsgázik, és az osztály jegyeinek szórása 15,0. Ha összehasonlítjuk a két szórást, akkor a te osztályodban nagyobb az állandóság és kisebb a szórás. A barátod osztályában kisebb az állandóság és nagyobb a változékonyság.
Ha a szóráskalkulátorral két különböző adathalmaz szórását keresed, akkor a kisebb szórás a következetesebb, a nagyobb szórás pedig a változékonyabb adathalmazé.
Jövedelmi példa – két város összehasonlítása
Tegyük fel, hogy két adathalmazod van, amelyek családi jövedelmekből állnak. Az első adathalmaz “A” város családjainak jövedelméből, a második adathalmaz pedig “B” város családjainak jövedelméből áll. “A” város és “B” város átlagos családi jövedelme egyaránt 65 000 dollár. Eddig:
A város átlaga:
µ = 65 000
B város átlaga:
µ = 65 000
Ha az “A” városból származó jövedelmek adathalmazának szórása $ \$ 5 500.00 $, és a B városból származó jövedelmek adathalmazának szórása $ \$ 2.100,00 $, akkor tudjuk, hogy az A város jövedelmei az átlagtól távolabb szóródnak, míg a B város jövedelmei közelebb vannak, vagy szorosabban csoportosulnak az átlag körül. Az A város jövedelmei nagyobb szórással rendelkeznek, mint a B város jövedelmei.
A szórás szimbóluma
A mintát reprezentáló adathalmaz szórásának szimbóluma s. A populációt reprezentáló adathalmaz szórásának szimbóluma σ (kisbetűs görög szigma). Mind az “A”, mind a “B” városra vonatkozó populációs adatokkal rendelkezünk. Ezért a szórás szimbóluma mindkettő esetében a következő:
A város szórása:
σ = $5,500
B város szórása:
σ = $2,100
Szabványeltérés változatlanság esetén
A szórás mindig pozitív szám, esetleg 0. Tegyük fel, hogy “C” városban minden családnak azonos a jövedelme, $ \$ 65,000 $. Bár reálisan ez nem lehetséges, matematikailag ez azt jelentené, hogy “C” városban a jövedelmek átlaga $ \$ 65 000 $, a szórás pedig 0. A 0-s szórás azt jelzi, hogy az adathalmazban egyáltalán nincs variabilitás, és az adathalmazban minden adatérték pontosan ugyanolyan.
Kipróbáld! A szórásszámológép segítségével írja be a következőket:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Meglátja, hogy a szórás 0-ra fog számítani, és a megoldás lépései megmutatják, hogy miért 0.
A szóráshoz használt egységek
A szórás mértékegységei megegyeznek az adathalmazban szereplő adatértékek mértékegységeivel. A fenti példánkban az adatértékek dollárban vannak megadva, ezért a szórás is dollárban van megadva.
Mi a szórás?
Az adathalmaz szórásához kapcsolódik az adathalmaz szórása. Egy adathalmaz varianciája a szórás négyzete, ezért a variancia mértékegységei a szórás mértékegységeinek négyzete. A minta szórásának szimbóluma s2, a populáció szórásának szimbóluma pedig σ2. A fenti példánkban az A és B város varianciái a következők:
A város varianciája:
σ2 = 30,250,000 $2
B város varianciája:
σ2 = 4,410,000 $2
Mint ahogy kézzel is tenné, a szórásszámító először a varianciát találja meg, majd a szórás négyzetgyökét veszi ki a szórás kiszámításához.
A szórás és a szórás képleteinek alkalmazása
Most, hogy ismered a szórás definícióját, szeretnéd megtanulni, hogyan kell kiszámítani a szórást és a szórást? Alkalmazhatja a szórás- és szórásképleteket, vagy görgessen felfelé, és használja az online szóráskalkulátort. Az alábbi bemutatóban megmutatom, hogyan találja meg a szórást és a szórást kézzel, képletek segítségével.
Meg szeretné tudni, hogyan találja meg egy adathalmaz szórását vagy szórását kézzel? Akkor a szórás és/vagy szórás képleteket kell használnod. Ezek a képletek bonyolultnak tűnhetnek, de ha kis lépésekben vesszük, a számítási folyamat nagyon jól kezelhető. A képletek különböző szimbólumokat használnak attól függően, hogy az adathalmaz populációt vagy mintát képvisel-e.
A szórás- és szórásképleteknek két változata létezik, a standard és a számítási képlet. Ebben a cikkben a számítási formulát fogom használni. Ezt egyszerűbb kézzel kiszámítani, és kevesebb a kerekítési hiba. Ha a standard formula megoldását szeretné látni, a fenti Standard Deviation Calculator mindkét képletet használó megoldásokat megmutatja.
Népesség szórásképlet és minta szórásképlet
| Népesség szórásképlet | Minta szórásképlet |
|---|---|
$$$ {\sigma^2}= \frac{{\summa}{x^2} – \frac{({\summa}{x})^2}{N}}{N}}$$Ahol $\sigma^2$ a populációs szórás szimbóluma, |
$$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}}$$Hol $s^2$ a minta szórásának szimbóluma, |
Egy nagyon egyszerű lépés van a szórás, majd a szórás kiszámítása között. Ha megvan a variancia, csak vegyük ki a négyzetgyökét, hogy megkapjuk a szórást.
A népesség szórásképlete és a minta szórásképlete
| A népesség szórásképlete. Képlet | Minta szórás képlet |
|---|---|
$$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}}{N}} $$amelyben $\sigma$ a populáció szórásszimbóluma, |
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}} $$Ahol $s$ a minta szórásszimbóluma, |
Példa a szórás és a szórás megkeresésére
Menjünk végig, hogyan találjuk meg a szórást és a szórást egy kis adathalmazra, feltéve, hogy az adathalmaz a gyermekek magasságának mintáját képviseli. Miután megkaptuk a szórást, egy kis lépést teszünk, hogy megkapjuk a szórást. A válaszainkat egy 8 lépésből álló sorozat elvégzésével fogjuk kiszámítani.
A feladat: Keressük meg a következők szórását és szórását. Tegyük fel, hogy van egy 5 gyermekből álló mintánk, és a magasságuk:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
1. lépés – A minta szórásának és a minta szórásának képleteinek felírása
Mivel a feladat szerint az 5 érték egy mintát képvisel, a minta szórásának és a minta szórásának képleteit fogjuk használni. Először is kezdjük a minta szórás és a minta szórás számítási képleteinek megírásával:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}}$$
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}} $$
2. lépés – Táblázat készítése $ x $ és $x^2$ összes értékére
Ezután rajzoljunk egy táblázatot, amely minden adatértékhez 2 oszlopból és 5 sorból, valamint egy fejléc sorból áll. Címkézzük fel a fejléc sorát $ x $ és $ x^2 $ értékekkel. Most tegyük az egyes adatértékeket az $ x $ oszlopba. Minden adatértéknek saját sora van. Az első oszlopban minden egyes x értéket négyzetre állítsunk, és ezeket az értékeket tegyük a második oszlopba.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
3. lépés – Az első oszlop összes értékének összeadása
A táblázat és az oszlopok létrehozása után, vegye ki az első oszlopban lévő összes érték összegét. Ezt jelképezi a $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$$ \sum{x} = 289 $$
4. lépés – Négyzet és osztás
Vegyük most a 3. lépés válaszát, 289-et, és négyzeteljük ki. Ezután osszuk el a minta méretével.
$$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
5. lépés – A második oszlop összes értékének összeadása
Ezután vegyük a második oszlop összes értékének összegét. Ezt úgy szimbolizáljuk, hogy $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$$ \sum{x^2} = 16827 $$
6. lépés – Kivonjuk $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
Ebben a lépésben, fogod az 5. lépés válaszát, és kivonod belőle a 4. lépés válaszát.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$$
$$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$$
7. lépés – Oszd el és megkapod a szórást
Itt fogd a 6. lépés válaszát és oszd el $n – 1$-vel, eggyel kevesebbel, mint a minta mérete. Ez a szórás!
$$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
8. lépés – Hogyan találjuk meg a szórásból a szórás szórását
Végül, hogy megtaláljuk a szórás szórását, vegyük ki a 7. lépésből a szórásra adott válasz négyzetgyökét. Itt a választ 4 tizedesjegyre kerekítem.
$$ s = \sqrt{30,7} = 5,5408 $$
Mivel az adataink eredetileg hüvelyk egységben vannak, a szórás 5,5408 hüvelyk.
Ez az! Nem is olyan rossz, mi? Remek ötlet, hogy a fenti szóráskalkulátor segítségével további feladatok megoldásában is eligazodhatsz. Próbáld ki a megoldások kézzel történő önálló kidolgozását, és ellenőrizd a munkádat a számológép által kidolgozott megoldással. Megkaptad!