Modelling of multi-flagellated bacteria
Egy peritrichous baktérium mozgásának számítási modelljének felépítésével kezdjük, ahogyan azt a Módszerek fejezetben ismertetjük, a matematikai részletek a kiegészítő információkban találhatók. Egy Nf flagellák által hajtott baktériumot tekintünk (2A ábra), amelynek sejtteste egy prolate ellipszoid alakú. Minden egyes flagellum a következőkből áll: (i) egy forgómotorból, amely a flagellafilamentum tengelye körüli rögzített forgási sebességet generál; (ii) egy rövid, rugalmas kampóból, amelyet a motor tengelye körüli torziós rugóként kezelnek, és amelynek hidrodinamikája elhanyagolható17; (iii) egy spirális flagellafilamentumból, amely normál balkezes polimer alakú, és amelynek hidrodinamikáját a karcsútest-elmélettel24 ragadjuk meg. A motor és a filamentum paramétereit úgy választottuk meg, hogy megfeleljenek az E. coli baktériumok7 paramétereinek (S1. táblázat a kiegészítő információkban). Minden spirális filamentumnak van egy kúpos vége, úgy, hogy a spirál sugara nulla a motorhoz való kapcsolódási pontjánál25. A flagelláris filamentumok foroghatnak, de nem transzlálódhatnak a sejttestre való rögzítési pontjukhoz képest, és míg a spirál tengelye körüli forgást a motor kényszeríti ki, a testhez viszonyított további forgásokat a motor oldja meg. A sejttest és a flagelláris filamentumok közötti hidrodinamikai kölcsönhatásokat elhanyagoljuk, de a filamentumok testbe jutásának megakadályozására sterikus kölcsönhatásokat veszünk figyelembe. Minden horog esetében θ-vel jelöljük a motor helyén a sejttestre merőleges és a flagelláris filamentum tengelye közötti dőlésszöget (azaz amikor θ = 0, a filamentum merőleges a sejttestre). Az egyes motorok által a flagelláris filamentumra gyakorolt visszaállító rugalmas nyomatékot \(K=EI/{\ell }_{h}\) rugóállandójú torziós rugóként modellezzük, ahol EI és \({\ell }_{h}\) a horog hajlítómerevsége, illetve hossza16. A visszaállító nyomaték nagyságát tehát K|θ| adja meg, és a horog rugalmassága úgy hat, hogy a spirál tengelyét a sejttestre eső merőlegeshez igazítja. A számítási modell megoldja a flagelláris szálak pillanatnyi helyzetét, valamint a sejttest úszási sebességét (Ub) és szögsebességét (Ωb) a horog merevségének függvényében.
(A) Egy peritrich baktérium számítási modellje, amely Nf spirális filamentumot (Rh sugár; β állásszög) úgy mozgat, hogy azokat \(\hat{\bf{k}}}\) tengelyük körül előírt szögsebességgel forgatja. A rugalmas horog rugalmasan hat, hogy a spirál tengelyét a sejttestre eső \(\hat{\bf{N}}}\) merőlegeshez igazítsa. (B) Egyszerűsített modell az elasztohidrodinamikai instabilitás megragadására. Két \(\ell \) hosszúságú egyenes aktív fonal, amelyek egy \(a\) sugarú gömb alakú test két oldalán vannak rögzítve, ±θ szögben dőlnek el a sejttest felszíni normálisától, \(\hat{\bf{N}}}\), és a sejtre \(f\ell \hat{\bf{t}}}}\) érintőleges erővel hatnak, ami a modellbaktérium \(U\hat{\bf{y}}}\) sebességű úszását eredményezi.
A rugalmas kampókkal rendelkező tolóbaktériumok úszási instabilitáson mennek keresztül
Számítási modellünk eredményeinek vizsgálata figyelemre méltó elasztohidrodinamikai instabilitást tár fel, amelyet a 3. ábra szemléltet Nf = 4 flagella esetén, ami egy E. coli sejt átlagos flagellaszáma6. A motorok szimmetrikusan helyezkednek el a sejttest felszíne körül. A számításokat úgy kezdjük, hogy minden egyes flagellafilamentumot a felszínre eső normálistól egy kis szögben elfordítunk, és a rendszert időben előre haladva követjük a sejt helyzetét a laboratóriumi keretben és a flagellafilamentumok helyzetét a sejttesthez képest. A kapcsolódó filmek online elérhetők (lásd a kiegészítő információkat).
Egy Nf = 4 flagellával úszó baktérium úszómozgása rugalmas vs. merev horoggal. (A) Az egyes sejtek kezdeti helyzete és konformációja. (B) Rugalmas horoggal rendelkező tolósejt t = 200-nál (a flagellák forgási sebességével skálázott idők). (C) Tolósejt merev horoggal t = 200-nál. (D) Az egyes úszók által megtett távolság (a helikális filamentumok dőlésszögével dimenziótlanítva) az idő függvényében négy különböző úszónál: merev (rombuszok) vs. rugalmas horog (négyzetek) és toló (kitöltött szimbólumok) vs. húzó (üres).
Az Ábra. 3A-C ábrázoljuk egy toló baktérium (azaz egy normál CCW forgást végző flagellafilamentumokkal rendelkező sejt) pályáját két különböző kampómerevséggel t = 200 időskálán (a flagellák forgási sebességével nemdimenzionált idő). Míg mindkettő ugyanarról a helyről indul (A), a rugalmas kampóval rendelkező sejt (K = 0,1) a végén a flagelláris filamentumai mind hátrafelé tekerednek, és ötször olyan gyorsan tud úszni (B), mint a merev kampóval rendelkező sejt (K = 100), amelynek flagelláris filamentumai ugyanolyan szétterülő konfigurációban maradtak (C). Ezt számszerűsíti a 3D ábra, ahol a megtett nettó távolságot ábrázoljuk az idő függvényében (a spirál állásával skálázva). A rugalmas kampóval rendelkező sejt (kitöltött négyzet) következetesen gyorsabban úszik, mint a merev (kitöltött rombusz). Ha alternatívaként megfordítjuk a flagellák forgásirányát, hogy az óramutató járásával megegyező (CW) irányban forogjanak, a sejt húzóvá válik, és nem megy át gyors úszásra sem a rugalmas horog (üres négyzetek), sem a merev (üres rombusz) esetében. Megjegyezzük, hogy a két merev esetben (toló és húzó; rombuszok) az úszás nagysága azonos, ami a Stokes-áramlások kinematikai reverzibilitásának következménye5. Fontos, hogy a rugalmas tolóbaktériumok esetében a gyors úszásra való átmenet nem egyenletesen következik be a horog merevségének változásával, hanem egy kritikus dimenziótlan Kc ≈ 1 értéknél következik be (a folyadék viszkozitása, a spirálszál állásszöge és a forgási frekvencia segítségével nem dimenzionálva). Kc felett minden flagella a sejtre merőlegesen marad (θ ≈ 0), ami elhanyagolható úszáshoz vezet, míg Kc alatt minden flagella a sejt mögé tekeredik (|θ| ≈ π/2), ami nettó lokomócióhoz vezet.
Ez az éles átmenet nem a horog csavarodási instabilitásából ered, amelyet itt csak egy torziós rugó szintjén modellezünk16. Ehelyett az instabilitás a flagella konformációja és a sejtek lokomóciója közötti kétirányú csatolásból ered. Az instabilitás fizikájának feltárása érdekében részletesebben megvizsgáljuk a gömb alakú sejttest és a két zászlórúd esetét, amely a minimális konfiguráció, amely képes az instabilitás megjelenítésére, miközben ugyanazt a fizikát mutatja, mint a geometrikusan összetett esetek (lásd a kapcsolódó filmeket a kiegészítő információkban). Az állandósult állapotú számítási eredmények ebben az esetben a 4. ábra fő részében láthatóak (szimbólumok és vékony vonalak) a zászlósfonalak tengelye és a sejttest közötti θ szögre (A) és a sejt U nettó laboratóriumi úszási sebességére (B). Míg a húzó baktériumok flagellakonformációja független a kampó merevségétől és nulla úszáshoz vezet (világospiros körök), addig a toló sejtek egyértelműen hirtelen ugrást mutatnak egy becsomagolt konformációra és nettó lokomócióra Kc ≈ 0 alatti kampómerevség esetén.79 (sötétkék körök).
Steady-state flagella dőlésszögek (|θ|, A) és laboratóriumi úszási sebességek (U, B) az ábra teljes számítási modelljére. 2A ábra két flagellával (szimbólumok és vékony vonalak) és a 2B. ábra egyszerű aktív fonalmodellje (vastag vonalak) a dimenziótlan horog rugóállandó, K függvényében. Zöld vonal és világospiros szimbólumok: húzó baktérium, amelynél a nem úszó állapot mindig stabil; sötétpiros vonal és sötétkék szimbólumok: toló baktérium, amely K < Kc esetén átmegy úszásra. A szaggatott vonal az elméletileg megjósolt kritikus rugóállandó, Kc ≈ 0,53.
Az elasztohidrodinamikai instabilitás analitikus modellje
A megfigyelt dinamika megragadható egy analitikus modellel, amely azt mutatja, hogy az úszás egy lineáris elasztohidrodinamikai instabilitás eredményeként következik be. Tekintsük a 2. ábrán bemutatott egyszerű geometriai modellt. Két \(\ell \) hosszúságú egyenes aktív filamentum szimmetrikusan kapcsolódik egy a sugarú gömb alakú sejttest két oldalára, és ±θ szimmetrikus szöggel dől el a testfelület normálisától, \(\hat{\bf{N}}}\) (megjegyzendő, hogy az itt nem vizsgált aszimmetrikus dőlésmód a transzláció helyett rotációba való átmenethez vezetne). A sejttesthez rugalmasan, egy K merevségű torziós rugóként modellezett kampó segítségével rögzített egyes szálak \(f\hat{{\bf{t}}}\) tolóerő-sűrűséggel nyomják a sejtet érintőleges irányuk mentén, ami a baktérium \(U\hat{{\bf{y}}}}\) sebességű úszását eredményezi (az összes jelölést lásd a 2. ábrán). CCW mozgás esetén a hajtóerők a sejttest felé mutatnak (f < 0), és a sejt tolóerő. Ezzel szemben CW mozgás esetén a hajtóerők a sejttől elfelé mutatnak (f > 0), és az úszó húzóerő.
Az úszási sebesség (U) és a filamentumok konformációjának változásának sebessége (\(\(\dot{\theta }\))) az erő- és nyomatékegyensúly érvényesítésével kapható. Ha c||| és c⊥ jelöli az érintőjével párhuzamosan, illetve arra merőlegesen mozgó karcsú filamentum ellenállási együtthatóját (lásd kiegészítő anyag), akkor az úszás irányában az egész sejtre ható erők egyensúlya, \(\hat{\bf{y}}}}\), a következőképpen írható fel:
ahol az első két tag a sejttestre és az aktív fonalakra az úszás miatt ható ellenállás, a harmadik tag a fonalakra a forgás miatt ható ellenállás, az utolsó tag pedig a sejtre ható teljes hajtóerő.
A második egyenlet az egyes aktív filamentumokra ható nyomatékok egyensúlyából származik, a \(\hat{\bf{z}}}=\hat{\bf{x}}}\szer \hat{\bf{y}}}\) irányban a sejtfelszínen lévő rögzítési ponton a következőképpen íródik
ahol az első tag a fonál forgása miatti hidrodinamikai nyomaték, a második az úszási ellenállás miatti hidrodinamikai nyomaték, az utolsó tag pedig a horogtól származó rugalmas visszaállító nyomaték, amely a fonál egyenes helyzetbe való visszaállítására hat. Az (1) és (2) egyenletek kombinálásával a θ
Ha a rugalmas nyomaték dominál, a θ = 0 egyenes konfiguráció az egyetlen állandósult állapot, amelyhez nem társul úszás. Ha ehelyett a rugalmas nyomaték elhanyagolható, akkor a θ = ±π/2 úszási állapotok lehetséges egyensúlyi állapotokká válnak.
Hogy megvizsgáljuk, hogy a horog merevségének változtatása hogyan teszi lehetővé az egyik állapotból a másikba való átmenetet, megoldjuk az egyenletet. (3) egyenletet numerikusan a megfelelő flagelláris filamentum értékekkel egy vad típusú úszó E. coli sejtre, és az f nagyságát használjuk, ami nulla horogmerevségnél a teljes számításokkal való egyezést eredményezi (lásd kiegészítő anyag). A θ = 0 körüli kis perturbációkkal kezdünk, és kiszámítjuk a (3) egyenlet hosszú távú állandósult állapotát, amelynek eredményeit a 4. ábra szemlélteti mind a toló (sötétpiros vonal), mind a húzó (zöld vonal) esetében. A húzócellák soha nem úsznak a horog merevségének semmilyen értéke esetén, és a θ = 0 egyenes konfiguráció mindig stabil. Ezzel szemben a tolósejtek nem tudnak úszni egy kritikus értéknél merevebb horgok esetén, de lágyabb horgok esetén hirtelen átmenetet képeznek az egyenes úszásra, ami kiváló összhangban van a teljes kétflagellás eset számításaival (szimbólumok a 4. ábrán).
A kritikus horogmerevség esetén az úszásra való hirtelen átmenet analitikusan megjósolható az egyenlet linearizálásával. (3) linearitását a θ = 0-nál lévő egyensúlyi állapot közelében, ami
Ha f pozitív (húzó), akkor az U = 0 úszással nem járó θ = 0 konfiguráció mindig lineárisan stabil kis perturbációkra K bármely értéke esetén. Ezzel szemben az f < 0-val rendelkező tolók lineárisan instabilak K < Kc esetén úgy, hogy a (4) egyenlet jobb oldala pozitív lesz, azaz \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). A lineáris elasztohidrodinamikai instabilitás tehát lehetővé teszi, hogy a kellően rugalmas kampókkal rendelkező tolóbaktériumok dinamikusan átmenjenek aszimmetrikus konformációba (θ ≠ 0) nettó úszással (U ≠ 0). Megjegyzendő, hogy az egyszerű elméleti modell (lineáris stabilitás és a 3. egyenlet numerikus megoldása) a kritikus dimenziótlan merevséget Kc ≈ 0,53-nak jósolja, ami összhangban van a teljes baktériummodellre vonatkozó számításokkal, Kc ≈ 0,79.
.