Integración, en matemáticas, técnica de encontrar una función g(x) cuya derivada, Dg(x), es igual a una función dada f(x). Esto se indica con el signo integral «∫», como en ∫f(x), que suele llamarse integral indefinida de la función. El símbolo dx representa un desplazamiento infinitesimal a lo largo de x; así ∫f(x)dx es la suma del producto de f(x) y dx. La integral definida, escrita
Con a y b llamados límites de integración, es igual a g(b) – g(a), donde Dg(x) = f(x).
Algunas antiderivadas pueden calcularse simplemente recordando qué función tiene una derivada determinada, pero las técnicas de integración implican sobre todo la clasificación de las funciones según qué tipos de manipulaciones cambiarán la función a una forma cuya antiderivada pueda reconocerse más fácilmente. Por ejemplo, si uno está familiarizado con las derivadas, la función 1/(x + 1) puede reconocerse fácilmente como la derivada de loge(x + 1). La antiderivada de (x2 + x + 1)/(x + 1) no puede reconocerse tan fácilmente, pero si se escribe como x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1), puede reconocerse como la derivada de x2/2 + loge(x + 1). Una ayuda útil para la integración es el teorema conocido como integración por partes. En símbolos, la regla es ∫fDg = fg – ∫gDf. Es decir, si una función es el producto de otras dos funciones, f y una que se puede reconocer como la derivada de alguna función g, entonces el problema original se puede resolver si se puede integrar el producto gDf. Por ejemplo, si f = x, y Dg = cos x, entonces ∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x = x-sin x – cos x + C. Las integrales se utilizan para evaluar cantidades como el área, el volumen, el trabajo y, en general, cualquier cantidad que pueda interpretarse como el área bajo una curva.