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Questo post presenta una serie di formule brevi e pratiche per il calcolo diretto delle densità e delle entalpie del vapore saturo (contenuto di calore) e dei fattori di compressibilità con come input la pressione e la temperatura di esercizio. Questa serie di tre formule copre un’ampia gamma di condizioni di vapore saturo e fornisce risultati accurati. I calcoli possono essere eseguiti rapidamente con una calcolatrice portatile o inseriti comodamente in un foglio di calcolo Excel. Questo breve post è diviso in tre parti.
Parte I tre formule pratiche per la densità, l’entalpia e il fattore di compressibilità del vapore saturo. Vengono date rappresentazioni grafiche per dimostrare i loro risultati di calcolo. Parte II un esempio numerico di utilizzo di queste equazioni. Parte III la base di queste tre brevi equazioni. Una versione pdf di questo post è data alla fine di questo post.
Parte I Tre formule pratiche per il vapore saturo. Si prega di notare che queste formule sono mostrate in notazione stile ‘excel’: usando per la moltiplicazione il simbolo ‘ * ‘ e per l’elevazione alla potenza ‘ ^ ‘.
La formula della densità del vapore saturo.
Dst = 216.49 * P / ( Zst * ( t + 273) )
In cui ‘Dst’ = densità del vapore saturo in kg/m3 ; e ‘P’ = la pressione assoluta del vapore in Bar ; e ‘t’ = la temperatura in gradi Celsius ; e ‘Zst’ = fattore di compressibilità del vapore saturo a ‘P’ Bar abs e ‘t’ gradi Celsius. L’errore percentuale medio complessivo è 0,10 %.
La formula dell’entalpia del vapore saturo.
Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273)
In questa equazione il simbolo ‘Hst’ sta per l’entalpia del vapore saturo in kJ/kg; il simbolo ‘t’ per la temperatura in gradi Celsius; e ‘Zst’ per il fattore di compressibilità a pressione ‘P’ e temperatura ‘t’. Questa equazione pratica è valida per temperature che vanno da 10 a 350 gradi Celsius e avendo risultati con un errore percentuale medio complessivo di 0,10 %.
Il fattore di compressibilità ‘Zst’ di vapore saturo formula.
Zst = 1- 0,024 * P^0,654 / ( 220-P )^0,08
In questa equazione il simbolo ‘Zst’ sta per il fattore di compressibilità del vapore saturo a ‘P’ Bar assoluto. Questa comoda equazione è valida per una gamma di pressione del vapore da 0,012 a 165 Bar assoluti, con una gamma di temperatura di saturazione corrispondente da 10 a 360 gradi Celsius. Le sue previsioni hanno un errore percentuale medio complessivo dello 0,10%.
Risultati del calcolo mostrati in forma grafica.
I risultati del calcolo della formula breve pratica per la densità del vapore saturo sono mostrati nel seguente grafico (rombi blu) e confrontati con i dati delle tabelle del vapore (quadrati viola). Clicca sul grafico per ingrandire:
Nel grafico successivo i risultati del calcolo della formula breve per l’entalpia del vapore saturo sono mostrati come diamanti blu e confrontati con i dati delle tabelle del vapore (quadrati viola). Clicca sul grafico per ingrandire:
Nei grafici seguenti il fattore di compressibilità ‘Zst’ per il vapore saturo è graficato (diamanti blu) come calcolato con la formula breve maneggevole e confrontato con i fattori Z ottenuti dal calcolo a ritroso dai dati delle Tavole del vapore (quadrati viola). Clicca sul grafico per ingrandire:
Il prossimo grafico mostra gli stessi dati del fattore ‘Zst’ e ora tracciati contro una scala logaritmica con la pressione come variabile:
Interessante è l’ultimo grafico di ‘Zst’ dove ancora una volta i risultati del fattore di compressibilità calcolato sono graficizzati e ora tracciati contro la temperatura di saturazione corrispondente (clicca per ingrandire):
Parte II Un esempio numerico.
Un collettore di vapore trasporta vapore a Media Pressione ad un livello di pressione di 33,5 Bar assoluti (!) Una tubazione collegata porta il vapore attraverso una stazione di desurriscaldamento con iniezione controllata di condensato per arrivare ad una temperatura di saturazione di 240 gradi Celsius. Quali sono la densità e il contenuto di calore (entalpia) di questo vapore?
Calcoliamo prima il fattore di compressibilità del vapore in queste condizioni:
Zst = 1- 0.024 * (33.5)^0.654 / ( 220-33.5 )^0.08
questo produce Zst = 0.843 Successivamente, con questo valore per Zst possiamo calcolare la densità del vapore come:
Dst = 216.49 * 33.5 / ( 0.843 * ( 240 + 273) )
rendendo Dst = 16.77 kg/m3 ; Il valore tabulato è 16.74 kg/m3 ( Grigull et al)
E poi la prossima Enthalpy è calcolata come:
Hst = 1975 +1.914 * 0.843 * (240 + 273)
rendendo Hst =2801.7 kJ/kg ; Il valore delle tavole del vapore è 2803 kJ/kg.
Parte III Base per queste tre formule brevi.
a) Densità. L’origine della formula della densità nella Parte I è derivata direttamente dalla legge universale dei gas. Per una quantità di ‘n’ kilomol di un gas reale in un volume di ‘V’ m3 ad una pressione di ‘P’ kN/m2 e ad una temperatura assoluta di ‘T’ gradi Kelvin ‘La legge universale dei gas’ recita:
P * V = n * Z * R * T
in cui ‘Z’ è il fattore di compressibilità e ‘R’ è la costante universale dei gas pari a 8,3145 con unità di kJoule /kmol /oK. A questo punto facciamo un rapido controllo della coerenza delle unità usate qui.
kN/m2 * m3 = kmol * kJoule /kmol/oK * oK Si noti che 1 kN/m2 = 1 kPascal e 100 kPa = 1 Bar assoluto e si noti anche che 1 Joule = 1 Nm.
La densità molare ‘D’ può essere espressa (in unità di kmol/m3 ) come:
n/V = Dmol = P / (Z * R *T)
La densità di (qualsiasi) gas con peso molecolare ‘MW’ si legge quindi:
D = P * 100 * MW / ( Z * R * T) kg/m3 se ‘P’ espresso in unità di ‘Bar’ assoluto
Applicando al vapore si ottiene : Dst = P * 100 * 18 / ( Z * 8,3145 * T)
o Dst = 216,49 * P / (Z * T) se ‘P’ in Bar e ‘T’ in gradi Kelvin.
b) Entalpia. Menzionato in un post precedente ho trovato che l’entalpia del vapore saturo può essere calcolato da una formula molto semplice (vedi discussione il post precedente del 1 luglio 2013). Questa semplice equazione recita: H = Uo + 4*Z*R*T in cui il simbolo “H” sta per l’entalpia molare e “Uo” è una costante in kJ/kmol. Se si sostituisce ZRT con P*V tranne il fattore 4, si riconosce la definizione di entalpia. Il fattore ‘4’ può essere interpretato come un tipo di media, capacità termica specifica costante del vapore acqueo ecc (vedi post precedente). Ora è un fatto che il vapore acqueo su tutto l’intervallo da 273 a 647 oK la capacità termica specifica del vapore cambia solo circa il 6%, cioè da 1,85 a 2.05 kJ/kg/oK
Quando espressa su una base di massa invece che molare l’equazione si legge:
Hst= Uo +4 * R / MW * Z * R * T kJ/kg
Hst = 1975 + 1,914 * Zst * (t + 273) kJ/kg
c) Fattore di compressibilità. Ho trovato che in condizioni di saturazione il fattore di compressibilità di un vapore può essere rappresentato dalla seguente forma generale:
(1-Z ) / (1-Zc) = A * Pr^n / (1-Pr)^m
In cui ‘Zc’ è il fattore di compressibilità critico, ‘Pr’ la pressione ridotta di saturazione e ‘A’ è una costante e ‘n’ e ‘m’ sono esponenti per una data sostanza.
Per esempio nel post del 30 ottobre 2014 per il Metano puro (‘C1’) ho dimostrato che questa equazione assume la seguente forma particolare :
Zsat,C1 = 1 – (1-0.2856) * 0.666 * Pr^0.666 / (1-Pr)^0.088
Questa correlazione riproduce accuratamente il fattore di compressibilità del vapore saturo misurato del Metano con un errore percentuale relativo medio complessivo di: 0,1% nell’intervallo di pressione da 0,22 a 42,4 Bar assoluti, e il suo corrispondente intervallo di temperatura di saturazione da -177 gradi a -85,2 gradi Celsius, che copre l’intero intervallo di saturazione tra il punto triplo e il punto critico del metano puro!
Per il vapore saturo si ottiene:
Zst = 1 – (1-0,229) * 0,687 * Pr^0,654 / (1-Pr)^0,08
che con Pc = 220 Bar assoluti si semplifica a: