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Uso della calcolatrice della deviazione standard
La calcolatrice della deviazione standard qui sopra offre un modo semplice per calcolare e imparare a trovare la deviazione standard di una serie di numeri. Meglio di qualsiasi calcolatrice standard, questa calcolatrice fornisce una soluzione passo dopo passo per trovare la risposta da soli. Questa calcolatrice di deviazione standard è un eccellente strumento di insegnamento per aiutarti a ottenere le risposte corrette nel tuo lavoro. Se hai anche bisogno di trovare l’intervallo di una serie di dati, vedi la pagina Measures of Variability Calculator. Quel calcolatore troverà tutte e tre le misure di variabilità, l’intervallo, la varianza e la deviazione standard, e ti mostrerà una soluzione passo dopo passo.
Cos’è la deviazione standard?
La definizione di deviazione standard è una misura della “diffusione” dei valori dei dati all’interno della serie di dati. La “diffusione” si riferisce a quanto vicini o lontani sono i valori dei dati rispetto alla media del set di dati. La varianza è il quadrato della deviazione standard. Sia la varianza che la deviazione standard sono misure di variabilità.
Questa calcolatrice della deviazione standard non solo ti dà una risposta al tuo problema, ma ti guida anche attraverso una soluzione passo dopo passo.
Cosa implica una grande deviazione standard?
Con la definizione di deviazione standard, essa misura la diffusione dei valori dei dati dalla media. Se c’è una grande deviazione standard, allora c’è una grande diffusione dei valori dei dati. Questo significa che i valori sono più distanti dalla media. Questo implica una grande variabilità nella serie di dati. Se la deviazione standard è piccola, allora i valori dei dati in una serie di dati sono meno distanti dalla media. Questo implica meno variabilità e più coerenza.
Supponiamo che tu faccia un esame e che la deviazione standard dei voti della classe sia 5,0. A questo punto, non possiamo davvero dire se la tua classe si è comportata in modo coerente o meno, perché non abbiamo nulla con cui confrontarla. Ora, il tuo amico in un’altra classe fa un esame e la deviazione standard per quei voti di classe è 15,0. Quando confrontiamo le due deviazioni standard, c’è più coerenza e meno variabilità nella tua classe. C’è meno consistenza e più variabilità nella classe del tuo amico.
Se usi la calcolatrice della deviazione standard per trovare le deviazioni standard di due diverse serie di dati, la deviazione standard che è più piccola è per la serie di dati che è più consistente, e la deviazione standard che è più grande è per la serie di dati che è più variabile.
Esempio di reddito – confronto di due città
Supponiamo di avere due serie di dati che consistono nel reddito familiare. La prima serie di dati consiste nella popolazione dei redditi delle famiglie della città ‘A’, e la seconda serie di dati consiste nella popolazione dei redditi delle famiglie della città ‘B’. La città ‘A’ e la città ‘B’ hanno entrambe un reddito familiare medio di 65.000 dollari. Finora, abbiamo:
Media della città A:
µ = 65.000
Media della città B:
µ = 65.000
Se la deviazione standard per l’insieme di dati dei redditi della città A è $ \$ 5.500.00 $, e la deviazione standard per la serie di dati dei redditi della città B è di 2.100,00 $, allora sappiamo che i redditi della città A sono più distanti dalla media, mentre i redditi della città B sono più vicini, o più strettamente raggruppati, intorno alla media. I redditi della città A hanno una maggiore variabilità rispetto ai redditi della città B.
Simbolo della deviazione standard
Il simbolo della deviazione standard di una serie di dati che rappresenta un campione è s. Il simbolo della deviazione standard di una serie di dati che rappresenta la popolazione è σ (sigma greco minuscolo). Abbiamo le informazioni sulla popolazione sia per la città ‘A’ che per la città ‘B’. Quindi, il simbolo per la deviazione standard per entrambe sono:
Deviazione standard della città A:
σ = $5.500
Deviazione standard della città B:
σ = $2.100
Deviazione standard per nessuna variabilità
La deviazione standard è sempre un numero positivo, o forse 0. Supponiamo che nella città ‘C’, ogni famiglia abbia lo stesso reddito, $ 65.000 $. Mentre realisticamente questo non è possibile, matematicamente questo significherebbe che la media dei redditi nella città ‘C’ è $ \$ 65.000 $, e la deviazione standard è 0. Una deviazione standard di 0 indica che una serie di dati non ha alcuna variabilità, e ogni valore di dati nella serie di dati è esattamente lo stesso.
Prova! Usando la calcolatrice della deviazione standard, inserisci quanto segue:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Vedrai che la deviazione standard sarà calcolata a 0, e i passi per la soluzione ti mostreranno perché è 0.
Unità usate per la deviazione standard
Le unità per la deviazione standard sono le stesse unità dei valori dei dati nel set di dati. Nel nostro esempio sopra, i valori dei dati sono in dollari, quindi la deviazione standard è in dollari.
Cos’è la varianza?
Relativamente alla deviazione standard di una serie di dati è la varianza di una serie di dati. La varianza di una serie di dati è il quadrato della deviazione standard, e quindi le unità per la varianza sono al quadrato di quelle della deviazione standard. Il simbolo per la varianza del campione è s2, e il simbolo per la varianza della popolazione è σ2. Nel nostro esempio sopra, le varianze per la città A e la città B sono:
Varianza della città A:
σ2 = 30.250.000 $2
Varianza della città B:
σ2 = 4.410.000 $2
Proprio come si farebbe manualmente, la calcolatrice della deviazione standard trova prima la varianza, e poi prende la radice quadrata per trovare la deviazione standard.
Applicazione delle formule di deviazione standard e varianza
Ora che conosci la definizione di deviazione standard, vuoi imparare come calcolare la deviazione standard e la varianza? Puoi applicare le formule di deviazione standard e varianza, oppure puoi scorrere e usare la calcolatrice di deviazione standard online. Nel tutorial qui sotto ti mostrerò come trovare la deviazione standard e la varianza a mano usando le formule.
Vuoi sapere come trovare la deviazione standard o la varianza di una serie di dati manualmente? Allora, avrete bisogno di usare le formule di varianza e/o deviazione standard. Queste formule possono sembrare complesse, ma se prese in piccoli passi, il processo per calcolarle è molto gestibile. Le formule usano simboli diversi, a seconda che il set di dati rappresenti una popolazione o un campione.
Ci sono due versioni delle formule di varianza e deviazione standard, la formula standard e quella computazionale. In questo articolo userò la formula computazionale. È più semplice da calcolare a mano e ha meno errori di arrotondamento. Se vuoi vedere la soluzione della formula standard, il calcolatore della deviazione standard qui sopra può mostrarti le soluzioni usando entrambe le formule.
Formula della varianza della popolazione e formula della varianza del campione
| Formula della varianza della popolazione | Formula della varianza del campione |
|---|---|
$$ {sigma^2}= \frac{{somma}{x^2} – \frac{({somma}{x})^2}{N}{N}$$dove $sigma^2$ è il simbolo della varianza della popolazione, |
$$ {s^2}= \frac{{somma}{x^2} – \frac{({somma}{x})^2}{n}{n-1}$$dove $s^2$ è il simbolo della varianza del campione, |
C’è un passo molto semplice tra ottenere la varianza e poi ottenere la deviazione standard. Una volta che avete la varianza, basta prendere la radice quadrata per ottenere la deviazione standard.
Formula della deviazione standard della popolazione e formula della deviazione standard del campione
| Deviazione standard della popolazione Formula | Formula della deviazione standard del campione |
|---|---|
$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{\sum}{x^2} – \frac({\sum}{x})^2}{N}}{N} $$dove $sigma$ è il simbolo della deviazione standard della popolazione, |
$$ {s}= \sqrt{\frac{\sum}{x^2} – \frac{({sum}{x})^2}{n}}{n – 1}} $$dove $s$ è il simbolo della deviazione standard del campione, |
Esempio su come trovare la deviazione standard e la varianza
Seguiamo come trovare la deviazione standard e la varianza per un piccolo insieme di dati, dato che l’insieme di dati rappresenta un campione delle altezze dei bambini. Dopo aver ottenuto la varianza, faremo un piccolo passo per ottenere la deviazione standard. Calcoleremo le nostre risposte completando una serie di 8 passi.
Il problema: Trova la varianza e la deviazione standard per quanto segue. Supponiamo di avere un campione di 5 bambini e che le loro altezze siano:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Passo 1 – Scrivere le formule di varianza del campione e deviazione standard del campione
Perché questo problema afferma che i 5 valori rappresentano un campione, useremo le formule di varianza del campione e deviazione standard del campione. Per prima cosa, iniziamo a scrivere le formule di calcolo per la varianza e la deviazione standard del campione:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$
$ {s}= \sqrt{\frac{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n – 1}} $$
Passo 2 – Creare una tabella per tutti i valori di $ x $ e $x^2$
Poi, disegnate una tabella di 2 colonne e 5 righe per ogni valore di dati, e una riga di intestazione. Etichetta la riga di intestazione con $ x $ e $ x^2 $. Ora, metti ogni valore di dati nella colonna $ x $. Ogni valore di dati ha la propria riga. Riquadrate ogni valore di x nella prima colonna e mettete questi valori nella seconda colonna.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Step 3 – Sommare tutti i valori della prima colonna
Dopo aver creato la tabella e le colonne, prendi la somma di tutti i valori nella prima colonna. Questo è simbolizzato come $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$$ \sum{x} = 289 $$
Passo 4 – Elevare al quadrato e dividere
Ora, prendi la risposta del Passo 3, 289, e elevala al quadrato. Poi, dividere per la dimensione del campione.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Passo 5 – Sommare tutti i valori nella seconda colonna
Poi, prendere la somma di tutti i valori nella seconda colonna. Questo è simbolizzato come $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Passo 6 – Sottrarre $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
In questo passo, prenderai la risposta del passo 5 e sottrarrai la risposta del passo 4.
$$$sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$
$$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$
Passo 7 – Dividere e ottenere la varianza
Qui, prendi la risposta del passo 6 e dividila per $n – 1$, uno in meno della dimensione del campione. Questa è la varianza!
$$ {s^2}= \frac{{{somma}{x^2} – \frac{({somma}{x})^2}{n}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Passo 8 – Come trovare la deviazione standard dalla varianza
Infine, per trovare la deviazione standard, prendi la radice quadrata della risposta per la varianza dal passo 7. Qui, arrotonderò la risposta a 4 cifre decimali.
$$ s = \sqrt{30.7} = 5.5408 $$
Siccome i nostri dati sono inizialmente in unità di pollici, la deviazione standard è 5.5408 pollici.
Ecco! Non male, eh? È una grande idea usare la calcolatrice della deviazione standard qui sopra per guidarti nella risoluzione di altri problemi. Prova ad elaborare manualmente le soluzioni da solo e controlla il tuo lavoro con la soluzione elaborata dalla calcolatrice. Hai ottenuto questo!