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Risolvere le frazioni
Secondo livello
Per risolvere un’equazione con frazioni, la trasformiamo in un’equazione senza frazioni – che sappiamo come risolvere. La tecnica si chiama compensazione delle frazioni.
Esempio 1. Risolvere per x:
| x 3 |
+ | x – 2 5 |
= 6. |
Soluzione. Cancella le frazioni come segue:
Moltiplica entrambi i lati dell’equazione — ogni termine — per la LCM dei denominatori. Ogni denominatore si dividerà poi nel suo multiplo. Avremo quindi un’equazione senza frazioni.
La LCM di 3 e 5 è 15. Pertanto, moltiplica entrambi i lati dell’equazione per 15.
| 15- | x 3 |
+ | 15- | x – 2 5 |
= 15- 6 |
A sinistra, distribuite 15 ad ogni termine. Ogni denominatore si dividerà ora in 15 — questo è il punto
— e abbiamo la seguente semplice equazione che è stata “ripulita” dalle frazioni:
| 5x + 3(x – 2) | = | |
| Si risolve facilmente come segue: | ||
| 5x + 3x – 6 | = | 90 |
| 8x | = | 90 + 6 |
| x | = | 96 8 |
| = | ||
Noi diciamo “moltiplicare” entrambi i lati dell’equazione, ma approfittiamo del fatto che l’ordine in cui moltiplichiamo o dividiamo non ha importanza. (Lezione 1.) Quindi dividiamo prima la LCM per ogni denominatore, e in questo modo ci liberiamo delle frazioni.
Scegliamo un multiplo di ogni denominatore, perché ogni denominatore sarà poi un divisore di esso.
Esempio 2. Cancellare le frazioni e risolvere per x:
| x 2 |
– | 5x 6 |
= | 1 9 |
Soluzione. La LCM di 2, 6 e 9 è 18. (Lezione 23 di Aritmetica.) Moltiplicare entrambi i lati per 18 — e annullare.
9x – 15x = 2.
Non dovrebbe essere necessario scrivere 18. Lo studente dovrebbe semplicemente guardare 
e vedere che 2 andrà in 18 nove (9) volte. Quel termine diventa quindi 9x.
Poi, guarda 
, e vedi che 6 andrà in 18 tre (3) volte. Questo termine diventa quindi 3- -5x = -15x.
Infine, guardate 
, e vedete che 9 sarà in 18 due (2) volte. Questo termine diventa quindi 2 – 1 = 2.
Ecco l’equazione liquidata, seguita dalla sua soluzione:
| 9x – 15x | = | 2 | |
| -6x | = | 2 | |
| x | = | 2 -6 |
|
| x | = | – | 1 3 |
Esempio 3. Risolvere per x:
½(5x – 2) = 2x + 4.
Soluzione. Questa è un’equazione con una frazione. Cancella le frazioni mutiplicando entrambi i lati per 2:
| 5x – 2 | = | 4x + 8 |
| 5x – 4x | = | 8 + 2 |
| x | = | |
Nei seguenti problemi, eliminare le frazioni e risolvere per x:
Per vedere ogni risposta, passa il mouse sopra l’area colorata.
Per coprire di nuovo la risposta, clicca su “Refresh” (“Ricarica”).
Fai prima tu il problema!
| Problema 1. | x 2 |
– | x 5 |
= | 3 |
| La LCM è 10. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| 5x | – | 2x | = | 30 | |
| 3x | = | 30 | |||
| x | = | ||||
Per risolvere qualsiasi equazione con frazioni, la riga successiva che scrivi —
5x – 2x = 30
— non dovrebbe avere frazioni.
| Problema 2. | x 6 |
= | 1 12 |
+ | x 8 |
| La LCM è 24. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| 4x | = | 2 + 3x | |||
| 4x – 3x | = | 2 | |||
| x | = | 2 | |||
| Problema 3. | x – 2 5 |
+ | x 3 |
= | x 2 |
| La LCM è 30. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| 6(x – 2) + 10x | = | 15x | |||
| 6x – 12 + 10x | = | 15x | |||
| 16x – 15x | = | 12 | |||
| x | = | ||||
Problema 4. Una frazione uguale a una frazione.
| x – 1 4 |
= | x 7 |
|
| La LCM è 28. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||
| 7(x – 1) | = | 4x | |
| 7x – 7 | = | 4x | |
| 7x – 4x | = | 7 | |
| 3x | = | 7 | |
| x | = | 7 3 |
|
Vediamo che quando una singola frazione è uguale a una singola frazione, allora l’equazione può essere risolta con una “moltiplicazione incrociata”.”
| Se | ||||
| a b |
= | c d |
, | |
| allora | ||||
| ad | = | bc. | ||
| Problema 5. | x – 3 3 |
= | x – 5 2 |
| Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||
| 2(x – 3) | = | 3(x – 5) | |
| 2x – 6 | = | 3x – 15 | |
| 2x – 3x | = | – 15 + 6 | |
| -x | = | -9 | |
| x | = | 9 | |
| Problema 6. | x – 3 x – 1 |
= | x + 1 x + 2 |
||
| Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| (x – 3)(x + 2) | = | (x – 1)(x + 1) | |||
| x² -x – 6 | = | x² – 1 | |||
| -x | = | -1 + 6 | |||
| -x | = | 5 | |||
| x | = | -5. | |||
| Problema 7. | 2x – 3 9 |
+ | x + 1 2 |
= | x – 4 |
| La LCM è 18. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| 4x – 6 + 9x + 9 | = | 18x – 72 | |||
| 13x + 3 | = | 18x – 72 | |||
| 13x – 18x | = | – 72 – 3 | |||
| -5x | = | -75 | |||
| x | = | ||||
| Problema 8. | 2 x |
– | 3 8x |
= | 1 4 |
| La LCM è 8x. Ecco l’equazione liquidata e la sua soluzione: | |||||
| 16 – 3 | = | 2x | |||
| 2x | = | 13 | |||
| x | = | 13 2 |
|||
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