In questa diapositiva abbiamo due versioni delle equazioni di Eulero che descrivono come la velocità, la pressione e la densità di un fluido in movimento sono correlate.Le equazioni prendono il nome da Leonard Euler, che era uno studente di Daniel Bernoulli e studiò vari problemi di fluidodinamica a metà del 1700. Le equazioni sono un insieme di equazioni differenziali accoppiate e possono essere risolte per un dato problema di flusso usando i metodi del calcolo. Anche se le equazioni sembrano essere molto complesse, sono in realtà semplificazioni delle più generali equazioni di Navier-Stok della fluidodinamica. Le equazioni di Eulero trascurano gli effetti della viscosità del fluido che sono inclusi nelle equazioni di Navier-Stokes. Una soluzione delle equazioni di Eulero è quindi solo un’approssimazione a un problema reale di fluidi. Per alcuni problemi, come la vita di un profilo sottile a basso angolo di attacco, una soluzione delle equazioni di Eulero fornisce un buon modello della realtà. Per altri problemi, come la crescita dello strato limite su una piastra piatta, le equazioni di Eulero non modellano correttamente il problema.
Il nostro mondo ha tre dimensioni spaziali (su-giù, sinistra-destra, avanti-indietro) e una dimensione temporale. In generale, le equazioni di Eulero hanno un’equazione di continuità dipendente dal tempo per la conservazione della massa e tre equazioni di conservazione della quantità di moto dipendenti dal tempo.Nella parte superiore della figura, mostriamo una forma semplificata, bidimensionale e costante delle equazioni di Eulero.Ci sono due variabili indipendenti nel problema, le coordinate x e y di qualche dominio. Ci sono quattro variabili dipendenti, la pressione p, la densità r, e due componenti del vettore velocità; la componente u è nella direzione x, e la componente v è nella direzione y. Tutte le variabili dipendenti sono funzioni di x e y.Le equazioni differenziali sono quindi equazioni differenziali parziali e non equazioni differenziali ordinarie che si studiano in una classe di calcolo iniziale.
Si noterà che il simbolo differenziale è diverso dal solito “d /dt” o “d /dx” che si vede per le equazioni differenziali ordinarie. Il simbolo “
” è usato per indicare la differenziazione parziale; il simbolo indica che dobbiamo tenere fisse tutte le variabili indipendenti, tranne la variabile accanto al simbolo, quando calcoliamo una derivata. L’insieme delle equazioni sono:
Continuità: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momento: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momento: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Anche se queste equazioni sembrano molto complesse, agli studenti universitari di ingegneria viene insegnato come ricavarle in un processo molto simile alla derivazione che presentiamo nella pagina web sulla conservazione della quantità di moto. Le due equazioni della quantità di moto sono generalizzazioni bidimensionali dell’equazione di conservazione della quantità di moto. L’equazione della velocità di flusso sviluppata nella pagina web della conservazione della massa è una soluzione unidimensionale dell’equazione di continuità mostrata qui.
Le soluzioni generalizzate di queste equazioni sono difficili da ottenere.Si noti che tutte le variabili dipendenti appaiono in ogni equazione.Per risolvere un problema di flusso, è necessario risolvere tutte e tre le equazioni simultaneamente; ecco perché chiamiamo questo un sistema di equazioni accoppiate. C’è in realtà un’altra equazione che è necessaria per risolvere questo sistema, poiché mostriamo solo tre equazioni per quattro incognite. In passato, gli ingegneri facevano ulteriori approssimazioni e semplificazioni all’insieme di equazioni finché non avevano un gruppo di equazioni che potevano risolvere. Recentemente, i computer ad alta velocità sono stati usati per risolvere approssimazioni alle equazioni usando una varietà di tecniche come differenza finita, volume finito, elementi finiti e metodi spettrali.Questa area di studio è chiamata Fluidodinamica Computazionale o CFD.
Uno dei metodi di semplificazione usati in passato era quello di assumere che il gas fosse a velocità molto bassa e di trascurare gli effetti della comprimibilità.In un flusso incomprimibile, la densità è costante e possiamo rimuoverla dall’equazione di continuità:
Continuità: u/x + v/y = 0
Possiamo quindi fattorizzare le equazioni di quantità di moto e usare l’equazione di continuità per semplificarle:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momento: u * v/x + v * v/y = – / r
Questa serie di equazioni è stata usata per sviluppare l’algoritmo usato nel programmaFoilSimcomputer.
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