Geometria: Linee e angoli

Le linee e gli angoli costituiscono quasi tutte le forme geometriche. Immergiamoci quindi nella geometria discutendo questi elementi fondamentali delle forme.

Ora possiamo iniziare a parlare di Geometria. E la geometria, naturalmente, è lo studio delle forme. Ora, per alcune persone che sono visivamente orientate, la geometria viene molto naturale. E per altre persone che non hanno sviluppato le loro capacità visive, la geometria può essere un po’ più difficile.

Soprattutto per le persone per le quali la geometria è un po’ più difficile, ecco cosa dirò.

Non basta semplicemente guardare questi video. Dopo averli guardati, tirate fuori carta e righello e disegnate queste diverse forme, disegnandole fisicamente sulla carta. E costruite forme e oggetti fisici. Puoi usare matite, stuzzicadenti, cannucce, qualsiasi cosa. Costruite davvero triangoli, costruite rettangoli, guardateli davvero.

Usa le tue mani!

Usa le tue mani, le nostre mani fanno parte della nostra intelligenza. Se usi le mani, stai coinvolgendo ogni parte del cervello. Questo renderà molto più facile, capire tutte queste relazioni.

Cominciamo con le linee. Le linee sono dritte e vanno avanti all’infinito in entrambe le direzioni. Qui abbiamo un mucchio di linee rette diverse, in un mucchio di direzioni diverse. Dovete immaginare che alla fine di ogni linea ci siano delle frecce o qualcosa del genere. Questo indica che le linee vanno effettivamente avanti all’infinito in entrambe le direzioni.

Linee e angoli: Tutte le linee sono diritte

È molto importante non confondere la retta con l’orizzontale. Queste due parole hanno significati molto diversi, ma a volte ci sono alcuni studenti che le confondono. Tutte le linee sono diritte. Quindi tutte le linee che avevamo nella diapositiva precedente, linee che vanno in direzioni diverse, sono tutte linee rette.

E si può sempre presumere che una linea sia dritta nel test. Se sembra dritta, è dritta. Questo è sempre vero nel test. Ma alcune linee sono disegnate orizzontalmente per comodità. Tuttavia, non si può mai presumere che le linee siano esattamente orizzontali o verticali semplicemente perché appaiono così. Ora la gente si confonde molto su questo. Siete confusi se pensate che orizzontale e dritto significhino la stessa cosa.

Quindi diciamo che si può presumere dal test che le linee siano diritte. La gente erroneamente assume che questo significa anche che si può assumere che le linee siano orizzontali, e questo non è corretto. Un segmento di linea è un pezzo finito di una linea.

Esempio

Quindi, per esempio, qui abbiamo un segmento di linea che ha due punti finali. E quando questi punti finali sono etichettati, questo lo rende facile da discutere.

Questo è il segmento di linea AB. E per lo scopo del test, AB può significare la forma effettiva del segmento di linea stesso. Oppure può significare la lunghezza del segmento di linea, la lunghezza numerica. Un angolo si verifica tra due linee, o due segmenti. Per esempio, qui abbiamo un angolo.

Linee e angoli: Capire gli angoli

Succede tra una linea e un segmento. Il modo migliore per capire un angolo è di pensarlo dinamicamente, come l’atto di girare o ruotare. Quindi, in altre parole, andare da qui a qui. Ecco cos’è un angolo, è quello spazio dinamico tra le due linee. Se etichettiamo dei punti, possiamo parlare di un angolo.

Etichettare gli angoli

Potremmo chiamare questo angolo o CDE o EDC, Punto D, il vertice dell’angolo. Proprio qui, il punto dell’angolo deve essere al centro del nome. E così, possiamo chiamare o CDE o EDC, purché il vertice sia nel mezzo. A volte in questi video userò anche il nome dell’angolo singolo, se non c’è ambiguità. Per esempio, c’è solo un angolo in questo diagramma.

Quindi potrei chiamarlo angolo D. Teoricamente, questo potrebbe verificarsi nel test. Anche se il test è spesso abbastanza attento da usare sempre un nome di tre lettere per un angolo. Noi misuriamo la grandezza di un angolo in gradi. Il test può dichiararli direttamente, quindi 50 gradi.

Alternativamente, il test può etichettare il diagramma e dichiarare la misura dell’angolo nel testo. Quindi angolo GFH = 50 gradi perché hanno messo delle lettere sui punti del diagramma. Possiamo semplicemente usarlo per parlare di quella misura, nel numero di gradi nel testo. In realtà, la cosa probabilmente preferita da fare è la seguente solo specificare l’angolo, con un numero variabile di gradi.

Formato flessibile di test

Questo formato flessibile permette loro sia di specificare l’angolo, per nel testo, potrebbero dire x = 50, o potrebbero fare una domanda su questo. Potrebbero darci altre informazioni e dire trova x. Quindi a loro piacerebbe fare questo. Faremo un rapido ripasso dei fatti di base dei gradi. In un angolo retto, ci sono 180 gradi e naturalmente ricordate che una linea retta può andare in qualsiasi direzione.

Ma se c’è un punto qualsiasi sulla linea retta, tutto il percorso da un lato della linea all’altro. Sono 180 gradi, ci sono 90 gradi in un angolo retto. Quindi qui abbiamo due linee che si intersecano ad angolo retto. In realtà ci sono quattro angoli retti in quell’intersezione. Se le due linee o segmenti si incontrano ad angolo retto, si chiamano perpendicolari, è un termine che dovreste conoscere.

Linee perpendicolari e angoli retti

Il test può disegnare quel quadratino, il segno di perpendicolare, che è quel quadratino, oppure può indicare che l’angolo è di 90 gradi. Può etichettare 90 gradi nel diagramma o X gradi e dirci nel testo che X è uguale a 90. Ci sono vari modi in cui possono dirci che è un angolo di 90 gradi. Non dare per scontato che due linee siano perpendicolari se non ti viene detto esplicitamente così, questa è spesso una trappola.

Supponiamo che questi punti appaiano come parte di un diagramma più grande, e non vengano date ulteriori informazioni. Certamente sembra che quelli potrebbero essere ad angolo retto, e questa è una cosa molto allettante da supporre. Il test vorrebbe che faceste l’errore di assumere che le linee siano perpendicolari, e che l’angolo sia esattamente di 90 gradi.

In realtà non è così, ho disegnato questo in modo che, quell’angolo lì è un angolo di 89,6 gradi. Quindi, è vicino ad essere un angolo retto, e può sembrare un angolo retto ad occhio nudo. Ma nessuna delle proprietà speciali dell’angolo retto è vera.

E nei prossimi video, parleremo ancora delle proprietà speciali dell’angolo retto. Nessuna delle proprietà speciali dell’angolo retto è vera, se l’angolo è vicino a 90 ma non esattamente 90.

Molto importante, quindi non puoi assumere che due linee siano perpendicolari, a meno che tu non abbia una sorta di giustificazione per farlo.

Linee e angoli: Forme congruenti

Un termine che introdurrò, che probabilmente non apparirà nel test, è congruente. Congruente è come uguale, per le forme. Usiamo il concetto di uguale per un numero, e il concetto molto simile di “congruente” per le forme.

Due forme sono congruenti se hanno la stessa forma e la stessa dimensione.

Non devono avere lo stesso orientamento. Così, per esempio, le forme viola e verde qui sono congruenti, una è capovolta rispetto all’altra. Si potrebbe dire che una è una versione destra e l’altra è una versione sinistra, ma fondamentalmente è la stessa forma.

Questi due sono congruenti, anche se hanno orientamenti diversi.

Bisettrici

Una bisettrice taglia qualcosa in due pezzi congruenti. Una bisettrice taglia un angolo in due angoli più piccoli e congruenti. Così, per esempio, qui abbiamo una bisettrice. Se ci viene detto, per esempio, che il grande angolo, PNM è di 40 gradi, e che NQ biseca l’angolo, allora possiamo dedurre che i due angoli più piccoli devono essere ciascuno di 20 gradi.

Ognuno di essi deve essere esattamente uguale alla metà, perché l’angolo è stato bisecato. Allo stesso modo, la bisettrice di un segmento può essere un punto, un altro segmento o una linea. La bisettrice divide il segmento in due metà uguali. Notate qui che il segmento ST biseca PQ. Notate anche che è sicuramente vero che PQ non biseca ST, perché SR è chiaramente più grande di RT.

Quindi il fatto che ST biseca PQ significa che R è il punto medio di PQ, e che PR = RQ. L’abbiamo diviso in due metà uguali, e di nuovo, questo è sempre ciò che significa bisecare. A volte, una linea bisecherà un segmento e sarà anche perpendicolare ad esso. La linea si chiama bisettrice perpendicolare al segmento.

La linea VW è perpendicolare, è la bisettrice di TU. Ogni punto sulla bisettrice perpendicolare di un segmento è equidistante dai due punti finali del segmento. E questo è un fatto molto utile da sapere, che si manifesta in vari modi. La bisettrice perpendicolare infatti è l’insieme di tutti i punti possibili, che sono equidistanti dai due punti finali del segmento.

Linee e angoli: Guardiamo gli angoli

Ora alcuni fatti fondamentali sugli angoli. Abbiamo già detto che una linea retta contiene 180 gradi. Questo significa che se due o più angoli giacciono in una linea retta, la somma dei loro angoli è 180 gradi. Quindi, per esempio, possiamo supporre che quella linea lunga sia diritta. Non ha una specie di leggera curva in quel punto.

Il test non ci farà questo, se sembra dritta, è dritta. E quindi, sappiamo che quei due angoli insieme fanno 180. Quindi, x + y = 180. Se i due angoli fanno 180, allora si chiamano supplementari. Due angoli su una linea retta sono sempre supplementari. Quindi p + q = 180.

Quando due linee si incrociano

Quando due linee si incrociano, si formano quattro angoli. Quindi qui abbiamo due linee che vanno avanti all’infinito in entrambe le direzioni, devono incrociarsi, e si formano questi quattro angoli. Le coppie di angoli opposti tra loro, che hanno in comune solo il vertice, si chiamano angoli verticali, e gli angoli verticali sono sempre congruenti. Quindi, per esempio, A e C, non condividono nessun lato.

Tutto ciò che a e c hanno in comune è che si toccano in un solo vertice. Si toccano al vertice, anche b e d si toccano al vertice. Ed è per questo che si chiamano angoli verticali, perché si incontrano in un vertice. Quindi sappiamo che gli angoli verticali sono congruenti, sappiamo che a = c, e b = d. Naturalmente, le coppie di angoli uno accanto all’altro, a + b, b + c, sono tutti supplementari.

Si sommano tutti a 180 gradi, perché abbiamo coppie di angoli su una linea. Pertanto, se ci è stato dato un angolo in questo diagramma, possiamo trovare gli altri tre. Per esempio, se a = 35, sappiamo che c deve essere uguale. Anche questo deve essere di 35 gradi. E b e d devono essere l’angolo supplementare di 145 gradi. Così che qualsiasi due coppie insieme, qualsiasi due angoli insieme in una coppia, sommano a 180 gradi.

Linee e angoli: Practice Problem One

Ecco un problema pratico, metti in pausa il video e poi parleremo di questo.

Okay Nel diagramma x = 40 gradi e RT biseca il grande angolo SRU, che è un angolo molto grande. Bene SRU è l’angolo supplementare a quell’angolo di 40 gradi, quindi SRU deve essere 180 meno 40 che sarebbe 140. Quindi SRU è 140.

E questo angolo è bisecato, perché bisecato è tagliato in due metà uguali. Quindi ci sono due metà, ognuna deve essere di 70 gradi. SRT =70 gradi, TRU = 70 gradi. Queste sono le due metà uguali dell’angolo che è stato bisecato. Bene, ora notate che l’angolo TRV, quell’angolo è fatto di TRU e dell’angolo x, che conosciamo.

Sappiamo che TRU è di 70 gradi sappiamo che l’angolo X è di 40 gradi, quindi li aggiungiamo insieme. TRV deve essere un angolo di 110 gradi. Ora notate che TRV è l’angolo verticale di SRW, quindi questi due devono essere uguali. Questo significa che anche SRW deve essere un angolo di 110 gradi, quindi Y è uguale a 110. Infine esamineremo le linee parallele.

Linee e angoli: Linee parallele

Se due linee sono parallele, non si intersecano mai, e sono sempre esattamente alla stessa distanza. E di nuovo, questa è un’altra di queste proprietà, come la perpendicolare, vicina alla parallela, non conta fagioli. Bisogna sapere che le due linee sono esattamente parallele. Ovviamente, poiché le linee parallele non si intersecano mai, non formano mai angoli tra loro.

Le linee trasversali

Abbiamo però molti angoli, se una terza linea non parallela taglia le due linee parallele. Questa terza linea è chiamata trasversale. Una trasversale è una linea che taglia due linee parallele. Così qui abbiamo una trasversale che taglia le linee parallele WX e YZ. E qui abbiamo otto angeli.

Ora i quattro angeli grandi sono tutti uguali. E i quattro angeli piccoli sono tutti uguali. Quindi in altre parole a = d = e = h e b = c = f = g, questa è la grande idea. Ora tra questi, naturalmente vi ricorderete dalla geometria, ci sono tutti i tipi di nomi speciali.

Interno alternato e esterno stesso lato e angoli corrispondenti. Se volete ricordare tutti questi nomi speciali, va benissimo, non ne avete bisogno. Tutto quello che dovete ricordare è che tutti gli angoli grandi sono uguali, tutti gli angoli piccoli sono uguali. Quindi ecco di nuovo il diagramma, e ora l’ho etichettato in modo che sia chiaro che tutto è uguale.

Linee e angoli: Angoli supplementari

Si noti anche che p e q sono supplementari. Quindi qualsiasi angolo grande più qualsiasi angolo piccolo è uguale a 180 gradi, questa è davvero una grande idea. Così, se ci viene dato il grado di uno qualsiasi degli angoli qui, potremmo trovare gli altri sette. In sintesi, abbiamo parlato di linee e segmenti di linea, abbiamo parlato di angoli e gradi.

Abbiamo sottolineato che ci sono 180 gradi in un angolo retto e 90 gradi in un angolo retto. Abbiamo parlato delle bisettrici d’angolo e delle bisettrici perpendicolari. Una bisettrice divide un angolo in due angoli uguali più piccoli. Una bisettrice perpendicolare è perpendicolare ad un segmento e lo divide in due metà uguali.

Abbiamo parlato di come due angoli su una linea siano congruenti. Gli angoli verticali sono congruenti. E abbiamo parlato degli angoli formati da una trasversale che interseca una coppia di linee parallele. E parleremo di molte applicazioni di queste idee fondamentali, nei prossimi video.