Modellazione di batteri multiflagellati
Iniziamo costruendo un modello computazionale della locomozione di un batterio peritricoso, come descritto nella sezione Metodi con dettagli matematici nelle informazioni supplementari. Consideriamo un batterio spinto da Nf flagelli (Fig. 2A) con un corpo cellulare a forma di ellissoide prolato. Ogni flagello consiste di: (i) un motore rotativo che genera un tasso di rotazione fisso intorno all’asse del filamento flagellare; (ii) un breve gancio flessibile trattato come una molla di torsione intorno all’asse del motore la cui idrodinamica può essere trascurata17; (iii) un filamento flagellare elicoidale della normale forma polimerica a sinistra la cui idrodinamica è catturata con la teoria del corpo snello24. Motore e parametri filamento sono scelti per abbinare quelli di E. coli batteri7 (Tabella S1 nelle informazioni supplementari). Ogni filamento elicoidale ha una fine affusolata tale che il raggio dell’elica è zero nel suo punto di attacco al motore 25. Filamenti flagellari possono ruotare ma non traslare rispetto al loro punto di attacco sul corpo cellulare e mentre la rotazione intorno all’asse elica è imposto dal motore, qualsiasi ulteriore rotazione rispetto al corpo sono risolti per. Trascuriamo le interazioni idrodinamiche tra il corpo cellulare e i filamenti flagellari, ma includiamo le interazioni steriche per evitare che i filamenti entrino nel corpo. Per ogni gancio, usiamo θ per indicare l’angolo di inclinazione tra la normale al corpo cellulare nella posizione del motore e l’asse del filamento flagellare (cioè quando θ = 0 il filamento è normale al corpo cellulare). Il momento elastico restitutivo imposto da ogni motore sul suo filamento flagellare è modellato come una molla di torsione con una costante elastica \(K=EI/{\ell}_{h}\), dove EI e \({\ell}_{h}\) sono rispettivamente la rigidità di flessione e la lunghezza dell’amo16. La grandezza del momento restitutivo è quindi data da K|θ| e l’elasticità del gancio agisce per allineare l’asse dell’elica con la normale al corpo cellulare. Il modello computazionale risolve le posizioni istantanee dei filamenti flagellari e la velocità di nuoto, Ub, e la velocità angolare, Ωb, del corpo cellulare in funzione della rigidità dell’amo.
(A) Modello computazionale di un batterio peritrico che aziona Nf filamenti elicoidali (raggio Rh; angolo di passo β) facendoli ruotare intorno al loro asse \(\hat{\bf{k}}} con velocità angolare prescritta. Il gancio flessibile agisce elasticamente per allineare l’asse dell’elica con la normale (\hat{bf{N}}) al corpo cellulare. (B) Modello semplificato per catturare l’instabilità elastoidrodinamica. Due filamenti attivi rettilinei di lunghezza \(\ell \) attaccati su entrambi i lati di un corpo sferico di raggio \(a) sono inclinati con un angolo di ±θ dalla normale alla superficie del corpo cellulare, \(\hat{\bf{N}}}, e agiscono sulla cellula con una forza tangenziale \(f\ell \hat{\bf{t}}} con conseguente nuoto del batterio modello con velocità \(U\hat{\bf{y}}).
I batteri spingitori con uncini flessibili subiscono un’instabilità di nuoto
Esaminando i risultati del nostro modello computazionale si scopre una notevole instabilità elastoidrodinamica, illustrata in Fig. 3 nel caso di Nf = 4 flagelli, il numero medio di flagelli su una cellula di E. coli6. I motori sono posizionati simmetricamente intorno alla superficie del corpo cellulare. Iniziamo i calcoli con ogni filamento flagellare inclinato a qualche piccolo angolo lontano dalla normale alla superficie e marciare il sistema in avanti nel tempo, mentre il monitoraggio della posizione della cella nel telaio laboratorio e dei filamenti flagellari rispetto al corpo cellulare. I filmati associati sono disponibili online (vedi informazioni supplementari).
Movimento di nuoto per un batterio che nuota con Nf = 4 flagelli con uncino flessibile vs. rigido. (A) Posizione iniziale e conformazione di ogni cellula. (B) Cella spingitrice con gancio flessibile a t = 200 (tempi scalati dalla velocità di rotazione dei flagelli). (C) Cella di spinta con gancio rigido a t = 200. (D) Distanza percorsa da ogni nuotatore (nondimensionalizzata dal passo dei filamenti elicoidali) in funzione del tempo per quattro diversi nuotatori: rigido (diamanti) vs. gancio flessibile (quadrati) e pusher (simboli pieni) vs. puller (vuoto).
In Fig. 3A-C illustriamo la traiettoria di un batterio pusher (cioè una cella con filamenti flagellari in fase di normale rotazione CCW) con due diverse rigidità uncino su una scala temporale t = 200 (tempo nondimensionalizzato dal tasso di rotazione del flagello). Mentre entrambi iniziano nella stessa posizione (A), la cella con il gancio flessibile (K = 0,1) finisce con i loro filamenti flagellari tutti avvolti nella parte posteriore ed è in grado di nuotare cinque volte più veloce (B) come la cella con gancio rigido (K = 100) i cui filamenti flagellari sono rimasti nella stessa configurazione strombata (C). Questo è quantificato in Fig. 3D dove tracciamo la distanza netta percorsa in funzione del tempo (in scala per il passo dell’elica). La cellula con un gancio flessibile (quadrato pieno) nuota sempre più velocemente di quella rigida (diamante pieno). Se alternativamente invertiamo il senso di rotazione del flagello per ruotare in senso orario (CW), la cellula diventa un tiratore e non passa al nuoto veloce né per un uncino flessibile (quadrati vuoti) né per uno rigido (diamanti vuoti). Si noti che i due casi rigidi (spingitori e tiratori; diamanti) hanno identica grandezza di nuoto, una conseguenza della reversibilità cinematica dei flussi di Stokes5. È importante notare che la transizione verso il nuoto veloce per i batteri pusher flessibili non avviene in modo uniforme con i cambiamenti nella rigidità del gancio, ma invece avviene ad un valore critico adimensionale di Kc ≈ 1 (nondimensionalizzato utilizzando la viscosità del fluido, il passo del filamento elicoidale e la frequenza di rotazione). Al di sopra di Kc, tutti i flagelli rimangono normali alla cellula (θ ≈ 0) portando ad un nuoto trascurabile mentre al di sotto di Kc, tutti i flagelli si avvolgono dietro la cellula (|θ| ≈ π/2) portando ad una locomozione netta.
Questa brusca transizione non ha origine da un’instabilità di buckling dell’uncino che è qui modellato solo a livello di una molla torsionale16. Invece, l’instabilità deriva dall’accoppiamento bidirezionale tra la conformazione del flagello e la locomozione cellulare. Per svelare la fisica di questa instabilità, consideriamo in modo più dettagliato il caso di un corpo cellulare sferico e due flagelli, che è la configurazione minima in grado di mostrare l’instabilità pur catturando la stessa fisica di casi geometricamente complessi (vedi filmati associati nelle informazioni supplementari). I risultati computazionali allo stato stazionario in questo caso sono mostrati nella parte principale della Fig. 4 (simboli e linee sottili) per l’angolo θ tra l’asse dei filamenti flagellari e il corpo cellulare (A) e per la velocità netta di nuoto U della cella (B). Mentre la conformazione del flagello dei batteri puller è indipendente dalla rigidità del gancio e porta a zero nuoto (cerchi rossi chiari), le cellule pusher mostrano chiaramente un salto improvviso a una conformazione avvolta e una locomozione netta per una rigidità del gancio inferiore a Kc ≈ 0.79 (cerchi blu scuro).
Angoli di inclinazione dei flagelli allo stato stazionario (|θ|, A) e velocità di nuoto in laboratorio (U, B) per il modello computazionale completo di Fig. 2A con due flagelli (simboli e linee sottili) e per il semplice modello di filamento attivo di Fig. 2B (linee spesse) in funzione della costante di molla ad uncino adimensionale, K. Linea verde e simboli rosso chiaro: batterio puller per il quale lo stato di non nuoto è sempre stabile; Linea rosso scuro e simboli blu scuro: batterio pusher che subisce una transizione al nuoto per K < Kc. La linea tratteggiata mostra la costante critica della molla prevista teoricamente, Kc ≈ 0.53.
Modello analitico dell’instabilità elastoidrodinamica
La dinamica osservata può essere catturata da un modello analitico che dimostra che il nuoto avviene come risultato di una instabilità elastoidrodinamica lineare. Consideriamo il semplice modello geometrico illustrato in Fig. 2. Due filamenti attivi rettilinei di lunghezza \(\ell \) sono attaccati simmetricamente su entrambi i lati di un corpo cellulare sferico di raggio a e sono inclinati di angoli simmetrici ±θ dalla normale alla superficie del corpo, \(\hat{\bf{N}}} (nota che il modo di inclinazione asimmetrico, non considerato qui, porterebbe ad una transizione in rotazione invece che in traslazione). Ogni filamento, elasticamente attaccato al corpo della cellula tramite un gancio modellato come una molla di torsione di rigidità K, spinge sulla cellula lungo la loro direzione tangenziale con una densità di forza propulsiva \(f\hat{\bf{t}}}) che risulta nel nuoto del batterio con velocità \(U\hat{\bf{y}}) (vedi Fig. 2 per tutta la notazione). Per il movimento CCW, le forze di propulsione puntano verso il corpo della cellula (f < 0) e la cellula è uno spingitore. Al contrario, per il movimento in senso orario, le forze propulsive puntano lontano dalla cellula (f > 0) e il nuotatore è un tiratore.
La velocità di nuoto (U) e il tasso di cambiamento della conformazione dei filamenti (\(\dot{theta })) possono essere ottenuti imponendo l’equilibrio di forze e momenti. Usando c||| e c⊥ per indicare i coefficienti di resistenza per un filamento sottile che si muove rispettivamente parallelo e perpendicolare alla sua tangente (vedi materiale supplementare), il bilancio delle forze sull’intera cellula nella direzione del nuoto, \si scrive come
dove i primi due termini sono dovuti alla resistenza sul corpo cellulare e sui filamenti attivi dovuti al nuoto, il terzo termine è la resistenza sui filamenti dovuta alla rotazione e l’ultimo termine è la forza propulsiva totale che agisce sulla cellula.
La seconda equazione deriva dal bilancio del momento su ogni filamento attivo, scritta nella direzione \(\hat{{bf{z}}== \hat{bf{x}}times \hat{bf{y}}) nel punto di attacco sulla superficie cellulare come
dove il primo termine è il momento idrodinamico dovuto alla rotazione del filamento, il secondo è il momento idrodinamico dovuto alla resistenza al nuoto e l’ultimo termine è il momento elastico di ripristino dall’amo che agisce per riportare il filamento alla sua configurazione diritta. Combinando le Eqs (1) e (2) si ottiene un’equazione di evoluzione per θ
Quando il momento elastico domina, la configurazione rettilinea θ = 0 è l’unico stato stazionario, associato a nessun nuoto. Se invece il momento elastico è trascurabile, gli stati di nuoto con θ = ±π/2 diventano possibili equilibri.
Per esaminare come una variazione della rigidità del gancio permette la transizione da uno stato al successivo, risolviamo l’Eq. (3) numericamente con i valori appropriati dei filamenti flagellari per una cellula di E. coli che nuota di tipo selvaggio e utilizzando la grandezza di f che porta all’accordo con i calcoli completi a rigidità zero del gancio (vedi materiale supplementare). Iniziamo con piccole perturbazioni intorno a θ = 0 e calcoliamo lo stato stazionario a lungo termine dell’Eq. (3), con i risultati illustrati in Fig. 4 sia per il pusher (linea rosso scuro) che per il puller (linea verde). Le celle puller non nuotano mai per qualsiasi valore della rigidità del gancio, e la configurazione diritta θ = 0 è sempre stabile. Al contrario, gli spingitori non possono nuotare per ganci più rigidi di un valore critico, ma subiscono una transizione improvvisa al nuoto diretto per ganci più morbidi, in eccellente accordo con i calcoli del caso completo a due flagelli (simboli in Fig. 4).
La transizione improvvisa al nuoto per una rigidità critica del gancio può essere prevista analiticamente linearizzando l’Eq. (3) vicino all’equilibrio a θ = 0, portando a
Se f è positiva (puller) allora la configurazione con θ = 0, che è associata a nessun nuoto U = 0, è sempre linearmente stabile a piccole perturbazioni per qualsiasi valore di K. Al contrario, gli spingitori con f < 0 sono linearmente instabili per K < Kc tale che il lato destro dell’Eq. (4) diventa positivo, cioè \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Un’instabilità elastoidrodinamica lineare permette quindi ai batteri pusher con uncini sufficientemente flessibili di passare dinamicamente a una conformazione asimmetrica (θ ≠ 0) con nuoto netto (U ≠ 0). Si noti che il semplice modello teorico (stabilità lineare e soluzione numerica di Eq. 3) predice una rigidità critica adimensionale di Kc ≈ 0.53, in accordo con i calcoli per il modello completo del batterio, Kc ≈ 0.79.
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