Integrazione, in matematica, tecnica di trovare una funzione g(x) la cui derivata, Dg(x), è uguale a una data funzione f(x). Ciò è indicato dal segno integrale “∫”, come in ∫f(x), solitamente chiamato integrale indefinito della funzione. Il simbolo dx rappresenta uno spostamento infinitesimale lungo x; così ∫f(x)dx è la somma del prodotto di f(x) e dx. L’integrale definito, scritto
con a e b chiamati limiti di integrazione, è uguale a g(b) – g(a), dove Dg(x) = f(x).
Alcuni antiderivati possono essere calcolati semplicemente ricordando quale funzione ha una data derivata, ma le tecniche di integrazione comportano per lo più la classificazione delle funzioni in base a quali tipi di manipolazioni cambieranno la funzione in una forma il cui antiderivato può essere più facilmente riconosciuto. Per esempio, se si ha familiarità con le derivate, la funzione 1/(x + 1) può essere facilmente riconosciuta come la derivata del loge(x + 1). L’antiderivata di (x2 + x + 1)/(x + 1) non può essere riconosciuta così facilmente, ma se scritta come x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1), può essere riconosciuta come la derivata di x2/2 + loge(x + 1). Un aiuto utile per l’integrazione è il teorema noto come integrazione per parti. In simboli, la regola è ∫fDg = fg – ∫gDf. Cioè, se una funzione è il prodotto di altre due funzioni, f e una che può essere riconosciuta come la derivata di qualche funzione g, allora il problema originale può essere risolto se si può integrare il prodotto gDf. Per esempio, se f = x, e Dg = cos x, allora ∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x = x-sin x – cos x + C. Gli integrali sono usati per valutare quantità come area, volume, lavoro, e, in generale, qualsiasi quantità che può essere interpretata come l’area sotto una curva.
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