La matematica potrebbe essere più una scienza ambientale di quanto ci rendiamo conto. Anche se è una ricerca di verità eterne, molti concetti matematici rintracciano le loro origini nell’esperienza quotidiana. L’astrologia e l’architettura hanno ispirato gli egiziani e i babilonesi a sviluppare la geometria. Lo studio della meccanica durante la rivoluzione scientifica del 17° secolo ci ha portato il calcolo.
Sorprendentemente, anche le idee della teoria dei quanti risultano avere un enorme potere matematico, anche se abbiamo poca esperienza quotidiana con le particelle elementari. Il bizzarro mondo della teoria quantistica – dove le cose possono sembrare essere in due posti allo stesso tempo e sono soggette alle leggi della probabilità – non solo rappresenta una descrizione della natura più fondamentale di ciò che l’ha preceduta, ma fornisce anche un ricco contesto per la matematica moderna. La struttura logica della teoria quantistica, una volta pienamente compresa e assorbita, potrebbe ispirare un nuovo regno della matematica che potrebbe essere chiamato “matematica quantistica”?
C’è naturalmente una lunga e intima relazione tra matematica e fisica. Galileo scrisse notoriamente di un libro della natura in attesa di essere decifrato: “La filosofia è scritta in questo grande libro, l’universo, che sta continuamente aperto al nostro sguardo. Ma il libro non può essere compreso se prima non si impara a comprendere la lingua e a leggere le lettere in cui è composto. È scritto nel linguaggio della matematica”. Da tempi più moderni possiamo citare Richard Feynman, che non era conosciuto come un conoscitore della matematica astratta: “A coloro che non conoscono la matematica è difficile far passare una sensazione reale della bellezza, la bellezza più profonda, della natura. … Se si vuole conoscere la natura, apprezzare la natura, è necessario capire la lingua in cui essa parla”. (D’altra parte, ha anche dichiarato: “Se tutta la matematica scomparisse oggi, la fisica sarebbe indietro esattamente di una settimana”, al che un matematico ha avuto l’intelligente risposta: “Questa è stata la settimana in cui Dio ha creato il mondo”)
Il fisico matematico e premio Nobel Eugene Wigner ha scritto in modo eloquente sull’incredibile capacità della matematica di descrivere la realtà, definendola “l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”. Gli stessi concetti matematici compaiono in una vasta gamma di contesti. Ma in questi giorni sembra che stiamo assistendo al contrario: l’irragionevole efficacia della teoria dei quanti nella matematica moderna. Le idee che hanno origine nella fisica delle particelle hanno un’inquietante tendenza ad apparire nei campi matematici più diversi. Questo è particolarmente vero per la teoria delle stringhe. La sua stimolante influenza in matematica avrà un impatto duraturo e gratificante, qualunque sia il suo ruolo finale nella fisica fondamentale. Il numero di discipline che tocca è vertiginoso: analisi, geometria, algebra, topologia, teoria della rappresentazione, combinatoria, probabilità – la lista continua. Si comincia a provare pena per i poveri studenti che devono imparare tutto questo!
Quale potrebbe essere la ragione di fondo di questa irragionevole efficacia della teoria quantistica? A mio parere, è strettamente connesso al fatto che nel mondo quantistico tutto ciò che può accadere accade.
In modo molto schematico, la meccanica classica cerca di calcolare come una particella viaggia da A a B. Per esempio, il percorso preferito potrebbe essere lungo una geodetica – un percorso di lunghezza minima in uno spazio curvo. Nella meccanica quantistica si considera invece l’insieme di tutti i possibili percorsi da A a B, per quanto lunghi e contorti. Questa è la famosa interpretazione di Feynman della “somma sulle storie”. Le leggi della fisica assegneranno poi ad ogni percorso un certo peso che determina la probabilità che una particella si muova lungo quella particolare traiettoria. La soluzione classica che obbedisce alle leggi di Newton è semplicemente la più probabile tra le tante. Così, in modo naturale, la fisica quantistica studia l’insieme di tutti i percorsi, come un insieme ponderato, che ci permette di sommare tutte le possibilità.
Questo approccio olistico di considerare tutto in una volta è molto nello spirito della matematica moderna, dove lo studio delle “categorie” di oggetti si concentra molto di più sulle relazioni reciproche che su qualsiasi esempio individuale specifico. È questa visione a volo d’uccello della teoria quantistica che fa emergere nuove sorprendenti connessioni.
Calcolatori quantistici
Un esempio lampante della magia della teoria quantistica è la simmetria speculare – un’equivalenza di spazi davvero sorprendente che ha rivoluzionato la geometria. La storia inizia nella geometria enumerativa, un ramo consolidato, ma non molto eccitante della geometria algebrica che conta gli oggetti. Per esempio, i ricercatori potrebbero voler contare il numero di curve sugli spazi Calabi-Yau – soluzioni a sei dimensioni delle equazioni di gravità di Einstein che sono di particolare interesse nella teoria delle stringhe, dove sono usate per arricciare le dimensioni extra dello spazio.
Proprio come si può avvolgere un elastico intorno a un cilindro più volte, le curve su uno spazio Calabi-Yau sono classificate da un intero, chiamato grado, che misura quanto spesso si avvolgono. Trovare il numero di curve di un dato grado è un problema notoriamente difficile, anche per il più semplice spazio Calabi-Yau, il cosiddetto quintico. Un risultato classico del XIX secolo afferma che il numero di linee – curve di grado uno – è uguale a 2.875. Il numero di curve di grado due è stato calcolato solo intorno al 1980 e risulta essere molto più grande: 609.250. Ma il numero di curve di grado tre ha richiesto l’aiuto dei teorici delle stringhe.
Nel 1990 circa, un gruppo di teorici delle stringhe chiese ai geometri di calcolare questo numero. I geometri hanno ideato un complicato programma per computer e sono tornati con una risposta. Ma i teorici delle stringhe sospettavano che fosse errata, il che suggeriva un errore nel codice. Controllando, i geometri confermarono che c’era, ma come facevano i fisici a saperlo?
I teorici delle stringhe avevano già lavorato per tradurre questo problema geometrico in un problema fisico. Così facendo, avevano sviluppato un modo per calcolare il numero di curve di qualsiasi grado tutte insieme. È difficile sopravvalutare lo shock di questo risultato nei circoli matematici. Era un po’ come escogitare un modo per scalare ogni singola montagna, non importa quanto alta!
Nella teoria quantistica ha perfettamente senso combinare i numeri di curve di tutti i gradi in un’unica elegante funzione. Assemblata in questo modo, ha un’interpretazione fisica diretta. Può essere vista come un’ampiezza di probabilità per una stringa che si propaga nello spazio Calabi-Yau, dove è stato applicato il principio della somma sopra le storie. Si può pensare che una stringa sondi tutte le possibili curve di ogni possibile grado allo stesso tempo ed è quindi una “calcolatrice quantistica” super-efficiente.
Ma un secondo ingrediente era necessario per trovare la soluzione effettiva: una formulazione equivalente della fisica usando un cosiddetto spazio Calabi-Yau “specchio”. Il termine “specchio” è ingannevolmente semplice. In contrasto con il modo in cui uno specchio ordinario riflette un’immagine, qui lo spazio originale e il suo specchio hanno forme molto diverse; non hanno nemmeno la stessa topologia. Ma nel regno della teoria quantistica, condividono molte proprietà. In particolare, la propagazione delle stringhe in entrambi gli spazi risulta essere identica. Il difficile calcolo sul collettore originale si traduce in un’espressione molto più semplice sul collettore speculare, dove può essere calcolato con un solo integrale. Et voilà!
Dualità degli equivalenti
La simmetria dello specchio illustra una potente proprietà della teoria quantistica chiamata dualità: Due modelli classici possono diventare equivalenti se considerati come sistemi quantistici, come se si agitasse una bacchetta magica e tutte le differenze improvvisamente sparissero. Le dualità indicano simmetrie profonde ma spesso misteriose della teoria quantistica sottostante. In generale, sono poco comprese e sono un’indicazione che la nostra comprensione della teoria quantistica è incompleta nel migliore dei casi.
Il primo e più famoso esempio di tale equivalenza è la ben nota dualità particella-onda che afferma che ogni particella quantistica, come un elettrone, può essere considerata sia come una particella che come un’onda. Entrambi i punti di vista hanno i loro vantaggi, offrendo prospettive diverse sullo stesso fenomeno fisico. Il punto di vista “corretto” – particella o onda – è determinato unicamente dalla natura della domanda, non dalla natura dell’elettrone. I due lati della simmetria speculare offrono prospettive doppie e ugualmente valide sulla “geometria quantistica”.
La matematica ha la meravigliosa capacità di collegare mondi diversi. Il simbolo più trascurato in qualsiasi equazione è l’umile segno di uguale. Le idee scorrono attraverso di esso, come se il segno uguale conducesse la corrente elettrica che illumina la lampadina “Aha!” nella nostra mente. E le doppie linee indicano che le idee possono fluire in entrambe le direzioni. Albert Einstein era un maestro assoluto nel trovare equazioni che esemplificano questa proprietà. Prendete E = mc2, senza dubbio l’equazione più famosa della storia. In tutta la sua sobria eleganza, collega i concetti fisici di massa ed energia che erano visti come totalmente distinti prima dell’avvento della relatività. Attraverso l’equazione di Einstein impariamo che la massa può essere trasformata in energia e viceversa. L’equazione della teoria generale della relatività di Einstein, anche se meno accattivante e conosciuta, collega i mondi della geometria e della materia in un modo altrettanto sorprendente e bello. Un modo succinto per riassumere questa teoria è che la massa dice allo spazio come curvare, e lo spazio dice alla massa come muoversi.
La simmetria dello specchio è un altro perfetto esempio del potere del segno di uguale. È capace di collegare due mondi matematici diversi. Uno è il regno della geometria simplettica, il ramo della matematica che è alla base di gran parte della meccanica. Dall’altra parte c’è il regno della geometria algebrica, il mondo dei numeri complessi. La fisica quantistica permette alle idee di fluire liberamente da un campo all’altro e fornisce un’inaspettata “grande unificazione” di queste due discipline matematiche.
È confortante vedere come la matematica sia stata capace di assorbire così tanto del ragionamento intuitivo e spesso impreciso della fisica quantistica e della teoria delle stringhe, e di trasformare molte di queste idee in affermazioni e prove rigorose. I matematici sono vicini ad applicare questa esattezza alla simmetria speculare omologica, un programma che estende enormemente l’idea originale di simmetria speculare della teoria delle stringhe. In un certo senso, stanno scrivendo un dizionario completo degli oggetti che appaiono nei due mondi matematici separati, comprese tutte le relazioni che soddisfano. È interessante notare che queste prove spesso non seguono il percorso che gli argomenti fisici avevano suggerito. Apparentemente non è il ruolo dei matematici quello di fare pulizia dopo i fisici! Al contrario, in molti casi è stato necessario sviluppare linee di pensiero completamente nuove per trovare le prove. Questa è un’ulteriore prova della logica profonda e non ancora scoperta che sta alla base della teoria quantistica e, in definitiva, della realtà.
Niels Bohr era molto affezionato alla nozione di complementarità. Il concetto è emerso dal fatto che, come Werner Heisenberg ha dimostrato con il suo principio di indeterminazione, nella meccanica quantistica si può misurare o la quantità di moto p di una particella o la sua posizione q, ma non entrambe allo stesso tempo. Wolfgang Pauli riassunse argutamente questa dualità in una lettera a Heisenberg del 19 ottobre 1926, poche settimane dopo la scoperta: “Si può vedere il mondo con l’occhio p e si può vederlo con l’occhio q, ma se si aprono entrambi gli occhi, allora si diventa pazzi”
Negli ultimi anni, Bohr ha cercato di spingere questa idea in una filosofia molto più ampia. Una delle sue coppie complementari preferite era verità e chiarezza. Forse la coppia di rigore matematico e intuizione fisica dovrebbe essere aggiunta come un altro esempio di due qualità che si escludono a vicenda. Si può guardare il mondo con un occhio matematico o con un occhio fisico complementare, ma non osare aprire entrambi.
Questo articolo è stato ristampato in spagnolo su Investigacionyciencia.es.