このスライドでは、移動する流体の速度、圧力、密度がどのように関連しているかを記述したオイラー方程式の二つのバージョンを紹介します。この方程式は連立微分方程式であり、微積分の方法を用いて与えられた流れの問題を解くことができる。この方程式は非常に複雑に見えるが、実際には流体力学のより一般的なナヴィエ・ストーク方程式の簡略化である。 オイラー方程式は、ナビエ・ストークス方程式に含まれる流体の粘性の影響を無視します。したがって、オイラー方程式の解は、実際の流体問題の近似にすぎません。いくつかの問題、例えば低い迎え角での薄い翼の寿命のように、オイラー方程式providesの解は、現実の良いモデルです。
私たちの世界は3つの空間次元（上下、左右、前後）と1つの時間次元を持っている。 一般にオイラー方程式は質量保存の時間依存連続式と運動量保存の時間依存3式を持つ。図の上部にオイラー方程式の簡略化した2次元の定常形を示す。 依存変数としては圧力 p, 密度 r, 速度ベクトルの2成分(u成分はx方向, v成分はy方向)の4つがある.依存変数はすべてxとyの両方の関数である.また,依存変数がx方向とy方向の間にある場合は,x方向とy方向の間の距離の関数も考慮する必要がある.
この微分方程式は偏微分方程式であり、微積分の初歩で学ぶ常微分方程式ではありません。常微分方程式で見られる「d /dt」や「d /dx」とは異なる記号であることに気がつくと思います。 この記号は，微分の計算をするときに，隣の変数以外の独立変数をすべて固定することを意味します。 式の集合は次の通り：
連続性: 
(r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – 運動量.連続: (r * v)/X = 0
X – 運動量: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – モーメント(Momentum): (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
一見非常に複雑な式ですが、この式は、「運動量」を表すものです。 工学部の学部生は、運動量の保存のページで紹介した導出方法と非常によく似たプロセスで導出方法を学びます。 2つの運動量方程式は、運動量保存式を2次元に一般化したものである。 これらの方程式の一般化された解を得ることは困難である。すべての従属変数が各式に現れることに注意してほしい。 4つの未知数に対して3つの方程式を示しただけなので、この系を解くのに必要な方程式は実はもう一つある。 最近では、高速コンピュータを使用して、有限差分法、有限体積法、有限要素法、スペクトル法などのさまざまな手法により、方程式の近似解を求めることができるようになりました。この研究分野は、計算流体力学またはCFDと呼ばれています。
過去に使用された単純化手法の1つは、ガスが非常に低速であると仮定し、圧縮性の影響を無視することでした。非圧縮性の流れでは、密度は一定であり、我々は連続性式からそれを取り除くことができます。 u/x + v/y = 0
次に運動方程式を因子とし連続性方程式を用いて簡略化できる：
X – 運動量: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum.方程式。 u * v/x + v * v/y = – / r
この方程式セットはFoilSimcomputerプログラムで使用するアルゴリズムの開発に使われたものです。
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