積分

積分とは、数学において、関数g（x）の微分値Dg（x）が与えられた関数f（x）に等しいことを求める技法である。 これは∫f(x)のように積分記号”∫”で示され、通常、関数の不定積分と呼ばれる。 dx は x に沿った無限小の変位を表す記号で、したがって ∫f(x)dx は f(x) と dx の積の和となる。 定積分は、

aとbを積分の限界と呼ぶと、g(b) – g(a)に等しく、ここで Dg(x) = f(x) となる。

ある反すうは、どの関数が与えられた微分を持つかを思い出すだけで計算できますが、積分の技術では、どのような操作をすれば、その反すうをより簡単に認識できる形に関数が変化するかによって、関数を分類することがほとんどです。 例えば、微分を知っていれば、1/(x + 1) という関数は loge(x + 1) の微分であることが容易にわかる。 (x2 + x + 1)/(x + 1)の反微分も簡単にはわからないが、 x(x + 1)/(x + 1) + 1/(x + 1) = x + 1/(x + 1) と書けば、 x2/2 + loge(x + 1) の微分と認識できるだろう。 積分の便利な補助として、部分積分という定理がある。 記号では、∫fDg = fg – ∫gDf となる。 つまり、ある関数がfと、ある関数gの微分として認識できるものとの積である場合、その積gDfを積分すれば、元の問題は解ける。 例えば、f = x、Dg = cos xとすると、∫x-cos x = x-sin x – ∫sin x – cos x + Cです。積分は、面積、体積、仕事など、一般に、曲線下の面積として解釈できるあらゆる量の評価に使用します