Geometry: 線と角

線と角はほとんどすべての幾何学的図形を構成しています。

さて、いよいよ幾何学の話を始めましょう。 そしてもちろん、幾何学は図形の研究です。 さて、視覚に敏感な人の中には、幾何学がごく自然に身につく人もいます。 また、視覚的スキルが発達していない人は、幾何学は少し難しいかもしれません。

特に幾何学が少し難しい人たちのために、ここで言っておきたいことがあります。

これらのビデオを見るだけでは十分ではありません。 これらを見た後、紙と定規を取り出し、さまざまな形を、実際に紙の上に描いてみてください。 そして、形や物理的なオブジェクトを作るのです。 鉛筆や爪楊枝、ストローなど、何でも構いません。 実際に三角形や長方形を作って、それを見てください。

Use Your Hands！

手を使う、私たちの手は実は知能の一部なんです。 手を使うことで、脳のあらゆる部分に働きかけているのです。 そうすれば、これらすべての関係を理解することが、より容易になるのです。

では、線から始めましょう。 線はまっすぐで、両方向にずっと続いています。 ここに、たくさんの異なる方向の直線があります。 それぞれの直線の先には、矢印のようなものがあることを想像してください。 これは、線が実際に両方向に永遠に続いていることを示しています。

線と角。 すべての線は直線である

直線と水平を混同しないことが非常に重要です。 この二つの言葉は全く違う意味を持っていますが、時々、混同している生徒がいます。 すべての線はまっすぐです。 ですから、前のスライドにあった、さまざまな方向に伸びる線は、すべて直線なのです。

そして、テストでは、線は常にまっすぐだと考えてよいのです。 まっすぐに見えるなら、それはまっすぐです。 それはテスト上では常に正しいのです。 しかし、便宜上、水平に引かれた線もあります。 しかし、見た目がそうだからといって、線が正確に水平または垂直であると仮定することはできません。 この点で、人々は本当に混乱します。 水平と直線が同じ意味だと思っている人は混乱しているのです。

そこで、テストから線がまっすぐであると仮定することができると言っています。 これは線が水平であると仮定できることを意味すると勘違いしている人がいますが、それは正しくありません。 線分は直線の有限な部分です。

例

例えば、ここに線分がありますが、これは2つの端点を持っています。 そして、これらの端点がラベル付けされていると、議論しやすくなります。

これは線分ABです。 そして、このテストの目的では、ABは線分自体の実際の形状を意味することもできます。 あるいは線分の長さ、数値の長さを意味することもあります。 角度は、2つの線分、または、2つの線分の間に発生します。 例えば、ここに角度があります。

線と角。 角度を理解する

これはたまたま1直線と1線分の間にあるのですが、このような角度は、線と線分の間にあるのです。 角度を理解する一番良い方法は、ダイナミックに、回転する行為として考えることです。 つまり、ここからここへと行くということです。 それが角度であり、2本の線の間にあるダイナミックな空間なのです。 点にラベルを付けると、角度について話すことができます。

角度のラベル付け

この角度をCDEまたはEDC、点D、角度の頂点と呼ぶことができます。 ここで、角の頂点は名前の真ん中になければなりません。 それで、頂点が真ん中にある限り、CDEでもEDCでも呼ぶことができます。 このビデオでは、曖昧さがなければ、単一の角度の名前も使うことがあります。 例えば、この図には角が1つしかありません。

ですから、これを角度Dと呼ぶこともできます。理論的には、テストではそのようなことが起こり得ます。 テストでは、角度には常に3文字の名前を使うように配慮されていることが多いのですが。 角の大きさは度数で測ります。 テストではこれを直接述べることができるので、50度。

あるいは、図にラベルをつけ、テキストに角度の大きさを記述することもできます。 つまり、図の点に文字を入れているので、角度GFH＝50度です。 それを使って、テキストにある度数で、その尺度を語ればいいんです。 実は、おそらく一番好きなのは、次のように角度を指定して、度数を可変にすることなんです。

Flexible Format of Testing

この柔軟な形式では、テキストで x = 50 と言って角度を指定するか、それについて質問するか、どちらかを行うことができます。 他の情報を与えて、xを見つけろと言うこともできます。 基本的な角度の概念を簡単に復習します。 直線の角度は180度です。もちろん、直線はどの方向にも進むことができることを忘れないでください。

しかし、直線上に任意の点がある場合、線の片側から反対側にずっと回っています。 それは180度だ、直角には90度ある。 つまり、ここでは2本の直線が直角に交差しているのです。 実はこの交差点には4つの直角があるのです。 2つの線分またはセグメントが直角に交わる場合、それらは垂直と呼ばれます、これは知っておくべき用語です。

垂直線と直角

テストはその小さな四角、つまり垂直記号を描くか、角度が90度であることを示すかのどちらかです。 図に90度と書いてもいいし、X度と書いて、Xは90に等しいとテキストに書いてもいいのです。 角度が90度であることを示す方法はいろいろあります。 明示的に言われない限り、2つの線が垂直であると仮定してはいけません。これはしばしば罠にはまります。

これらの点が大きな図の一部として現れ、さらなる情報が与えられていないものとします。 確かにこれらは直角になりそうで、そう仮定したくなるようなものです。 このテストでは、線が垂直で、角度がちょうど90度に等しいと仮定するという間違いを犯してほしいのです。

実際にはそうではなく、この角度は89.6度になるように描きました。 ですから、これは直角に近く、肉眼では直角に見えるかもしれません。 しかし、特別な直角の性質はどれも当てはまりません。

そして、今後のビデオでは、特殊な直角の性質について詳しく説明します。 角度が90に近いが正確に90でない場合、特殊な直角の特性はどれも真になりません。

非常に重要なことなので、何らかの正当な理由がない限り、2つの直線が垂直であると仮定してはいけないのです。

線と角。

これから紹介する用語で、おそらくテストには出てこないのですが、congruent（合同）というものがあります。 Congruentは、図形ではequalのようなものです。 数に対して「等しい」という概念を使いますが、図形に対して「合同」という非常によく似た概念を使います。

2つの図形は、同じ形と同じ大きさであれば合同です。

同じ向きである必要はありません。 たとえば、ここにある紫と緑の図形は合同ですが、一方が他方から裏返されています。 一方は右利き用、もう一方は左利き用と言えますが、根本的には同じ形です。

この2つは、向きは違いますが、合同です。

二等分線

二等分線は何かを2つの合同な部分に切り分けます。 角の二等分線は角度を2つの小さな合同な角度に切り分けます。 たとえば、ここに角の二等分線があります。 例えば、大きな角PNMが40度で、NQがその角を2等分すると言われたら、2つの小さな角はそれぞれ20度でなければならないと推論できる。

角が二等分されたのですから、それぞれはちょうど半分に等しくなければならないのです。 同様に、セグメントの二等分線は、点、別のセグメント、または線である場合がある。 二等分線は、セグメントを2つの等しい半分に分割する。 ここでは、セグメント ST が PQ を二等分していることに注目しよう。 また、SRはRTより明らかに大きいので、PQがSTを二等分していないことは間違いないことに注意してください。

つまり、STがPQを2等分するということは、RがPQの中点であり、PR=RQであることを意味します。 二等分したわけですが、やはり二等分するということは常にそういうことなのです。 線分は、線分を二等分すると同時に、線分に垂直になることもあります。 その線は線分の垂直二等分線と呼ばれます。

線分VWは垂直で、それはTUの垂直二等分線です。 線分の垂直二等分線上のすべての点は、線分上の2つの端点から等距離にあります。 これは知っておくと便利な事実で、いろいろな形で現れます。 垂直二等分線は、実際には、セグメントの2つの端点から等距離にある、すべての可能な点の集合である。

線と角。

さて、角度について基本的なことをいくつか。 直線は180度を含むということはすでに述べました。 これは、2つ以上の角が直線上にある場合、それらの角の和は180度であることを意味します。 ですから、例えば、あの長い直線は直線だと仮定できます。 その地点で何か少し曲がっているわけでもない。

テストではそんなことはない、まっすぐに見えればまっすぐなのです。 したがって、その2つの角度を合わせると180になることがわかります。 つまり、x＋y＝180です。 2つの角度を足すと180になる場合は、補角といいます。 直線上の2つの角は常に補角である。 だから、p＋q＝180である。

When two lines cross

2 つの直線が交差すると、4 角形ができます。 つまり、ここでは、両方向に永遠に続いている2本の線が、交差する必要があり、これらの4つの角が形成されるのです。 互いに向かい合い、頂点だけを共通にする角の組を垂直角と呼びますが、垂直角は常に合同になります。 例えばAとCは、どの辺も共有していないわけです。

AとCに共通しているのは、一つの頂点で接していることです。 bとdも頂点で接しています。 それで、頂点で接するので、垂直角と呼ばれるのです。 もちろん、隣り合う角のペア、a + b、b + cは、すべて補角です。

線分上に角のペアがあるので、すべて足すと180度になります。 したがって、この図で1つの角度が与えられたとすると、他の3つの角度を求めることができます。 例えば、a＝35とすると、cは等しくなければならないことがわかります。 それも35度でなければならない。 そして、bとdは145度という補角でなければならない。 だから、どんな2つのペアを合わせても、ペアの中のどんな2つの角度を合わせても、180度になるのです。

線と角。 練習問題1

練習問題です、ビデオを一時停止して、それからこのことについて話しましょう。

Okay この図で x = 40 度で RT は大きな角 SRU を二等分していますね。 SRUは40度の角の補角ですから、SRUは180から40を引いた140になります。 つまり、SRUは140である。

そしてこの角は二等分されます。二等分されるので、2等分になります。 つまり、2つの半分があり、それぞれは70度でなければなりません。 SRT=70度、TRU=70度です。 これが、二等分された角の2つの等しい半分である。 さて、ここで角度TRVは、TRUと角度xでできていることに気づく。

我々はTRUが70度であることを知っており、角度Xが40度であることを知っているので、それらを足すのです。 TRVは110度の角度でなければならない。 ここで、TRVはSRWの垂直角なので、この2つは等しくなければならないことに気づきます。 つまり、SRWも110度の角度でなければならないので、Yは110になります。 最後に、平行線について復習します。

直線と角度。 平行線

2つの線が平行であれば、決して交わることはなく、常に全く同じ距離だけ離れていることになります。 そして、これもまた、垂直、平行に近いというような性質は、豆にカウントされません。 2つの線が正確に平行であることを知らなければなりません。 もちろん、平行線は決して交差しないので、互いに角ができることはありません。

Transversal Lines

しかし、平行でない第3の線が2本の平行線を横切ると、多くの角度が得られます。 この第3の線は横線と呼ばれる。 横線とは、2本の平行線を横切る線である。 ここで、平行線WXとYZを横切る横線がありますね。 そして、そこに8人の天使がいることになります。

ここで、4人の大きな天使はすべて等しくなります。 そして4つの小さな天使はすべて等しい。 つまり、a＝d＝e＝hとb＝c＝f＝g、これが大きな考え方です。 さて、これらの中には、もちろん幾何学で習ったいろいろな特別な名前があるのを覚えているでしょう。

内側の交点と同じ側の外側の交点、それに対応する角度です。 これらの特別な名前を全部覚えたいなら、それは素晴らしいことです、覚える必要はありません。 覚えておく必要があるのは、大きな角はすべて等しく、小さな角もすべて等しいということだけです。 ここでもう一度、図を見てみましょう。今度は、すべてが等しいことが明確になるように、ラベルを付けてみました。

線と角。 補角

また、pとqは補角であることに注意してください。 つまり、どんな大きな角とどんな小さな角でも180度に等しい、これは本当に大きな考えです。 したがって、ここにある角のうちどれか1つの次数が与えられれば、残りの7つを求めることができる。 まとめると、線分と線分について話し、角度と度数について話しました。

直線角には180度、直角には90度があることを指摘しました。 角の二等分線と垂直の二等分線について話をしました。 角の二等分線は、ある角をより小さい2つの等しい角に分割する。 垂直二等分線は、線分に垂直で、線分を2等分する。

直線上の2つの角は補角であることをお話しました。 垂直の角は合同である。 そして、一対の平行線と交差する横線の成す角についてお話しました。 そして、これらの基本的な考え方の多くの応用について、これからのビデオでお話しします。