数学は、私たちが思っている以上に環境科学なのかもしれません。 永遠の真理を探求するものであるにもかかわらず、多くの数学的概念は、その起源を日常的な経験に求める。 占星術や建築は、エジプト人やバビロニア人に幾何学を発展させるきっかけとなった。 17 世紀の科学革命における力学の研究は、微積分をもたらしました。
驚くべきことに、量子論からのアイデアも、素粒子を扱う日常的な経験がほとんどないにもかかわらず、非常に大きな数学的力を持つことが判明しています。 物事が同時に 2 つの場所にあるように見え、確率の法則に従うという量子論の奇妙な世界は、それ以前のものよりも自然をより根本的に記述しているだけでなく、現代数学に豊かな文脈を提供しているのである。 量子論の論理構造が完全に理解・吸収されれば、「量子数学」と呼ばれるような新しい数学の領域が生まれるかもしれません。
もちろん、数学と物理の間には長年にわたる親密な関係があります。 ガリレオが、解読されるのを待っている自然の本について書いたのは有名な話です。 「哲学は、宇宙という壮大な書物に書かれており、それは我々の視線に対して絶えず開かれている。 しかし、この本は、まず言語を理解し、構成されている文字を読むことを学ばない限り、理解することはできない。 それは数学という言語で書かれているのだ」。 より現代からは、抽象的な数学の愛好家として知られていなかったリチャード・ファインマンの言葉を引用することができる。 「数学を知らない人に、自然の美しさ、最も深い美しさを実感してもらうのは難しい。 …もしあなたが自然について学び、自然を理解したいのなら、自然が話す言語を理解することが必要である。 (一方、彼はこうも言っている。 「もし今日、すべての数学が消滅したら、物理学はちょうど1週間後退することになる」これに対して、ある数学者は「これは神が世界を創造した週だ」と巧妙な反論をしている）
数理物理学者でノーベル賞学者のユージン・ウィグナーは、数学の驚くべき現実記述能力について雄弁に語り、それを「自然科学における数学の理不尽な効果」として特徴付けている。 同じ数学的概念が、さまざまな文脈で登場する。 しかし、最近では逆に、現代数学における量子論の不合理な有効性を目の当たりにしているように思える。 素粒子物理学から生まれたアイデアは、最も多様な数学の分野に現れるという不思議な傾向がある。 特に超ひも理論がそうである。 数学におけるその刺激的な影響は、基礎物理学におけるその最終的な役割が何であろうと、永続的で実りあるものになるだろう。 解析学、幾何学、代数学、位相幾何学、表現論、組合せ論、確率論など、弦理論が関係する分野は枚挙にいとまがないほどである。 これをすべて学ばなければならない学生たちがかわいそうになってきます！
このように量子論が理不尽なほど有効であることの根本的な理由は何でしょうか。 私の考えでは、それは、量子の世界では起こりうることはすべて起こるという事実と密接に関係しています。
非常に概略的な方法で、古典力学は、粒子がAからBに移動する方法を計算しようとします。 量子力学では、AからBに至るすべての可能な経路を、どんなに長く複雑な経路であっても、その集合として考える。 これが、ファインマンの有名な「歴史の総和」解釈である。 物理法則は、各経路にある種の重みを与え、粒子がその特定の軌道を移動する確率を決定する。 ニュートンの法則に従った古典的な解は、単に多くの解の中で最も可能性の高いものである。 このように、量子物理学では、自然な形で、すべての経路の集合を重み付きのアンサンブルとして研究し、すべての可能性について合計することができます。
量子計算機
量子論の魔法の顕著な例は、幾何学に革命をもたらした空間の実に驚くべき等価性である鏡面対称性である。 この物語は、オブジェクトを数える代数幾何学の確立された、しかしあまり刺激的でない一分野である、列挙幾何学から始まります。 たとえば、研究者はカラビ・ヤウ空間（アインシュタインの重力方程式の 6 次元解で、余分な空間次元を巻き上げるために使用される、弦理論で特に注目される）の曲線の数を数えたいと思うかもしれません。 与えられた次数の曲線の数を求めることは、カラビ・ヤウ空間の中で最も単純な5次曲線であっても、有名な難問である。 19世紀の古典的な結果によれば、1次曲線の数は2,875に等しいとされている。 次数2の曲線の数は1980年頃に計算されたばかりで、609,250ともっと多いことが判明している。 しかし、次数3の曲線の数は弦楽器理論家の助けを必要とした。
1990年頃、弦楽器理論家のグループが幾何学者にこの数を計算するように依頼した。 1990年頃、弦理論家のグループが幾何学者にこの数の計算を依頼した。幾何学者が複雑なコンピュータ・プログラムを考案し、答えを出してきたのである。 しかし、文字列理論家はそれが誤りであると疑い、コードの間違いを示唆した。
弦理論家はすでに、この幾何学的問題を物理学的問題に変換する作業を行っていました。 その際、任意の次数の曲線の数を一度に計算する方法を開発したのである。 この結果は、数学界に大きな衝撃を与えた。 2678>
量子論の中では、すべての次数の曲線の数を1つのエレガントな関数にまとめることは完璧に理にかなっているのです。 このように組み立てられると、物理的な解釈は簡単です。 これはカラビ・ヤウ空間を伝播する弦の確率振幅と見ることができ、そこでは歴史の総和の原理が適用されているのである。 弦は、あらゆる次数の可能な曲線を同時に探索すると考えることができ、超効率的な「量子計算機」であると言える。 この「鏡」という言葉は、実に単純である。 普通の鏡が像を映すのとは対照的に、ここでは元の空間とその鏡は全く異なる形をしており、同じトポロジーを持つことすらありません。 しかし、量子論の世界では、両者は多くの性質を共有している。 特に、両空間における弦の伝搬は同じであることがわかります。 元の多様体上の難しい計算が、鏡像多様体上でははるかに簡単な式に変換され、1つの積分で計算できるようになるのです。 ほらね！
Duality of Equals
ミラー対称性は、量子論の強力な特性である二元性を説明します。 2つの古典的なモデルが、量子系として考えると、まるで魔法の杖を振ったかのように、すべての違いが突然消え、等価になることがあるのです。 二重性は、量子論の根底にある、深いけれどもしばしば謎めいた対称性を指し示しています。 2678>
このような等価性の最初の、そして最も有名な例は、電子のようなあらゆる量子粒子は粒子としても波としても考えることができるという、よく知られた粒子と波の二元論です。 どちらの考え方も、同じ物理現象に対して異なる視点を提供するものであり、それぞれに利点がある。 粒子か波動かの「正しい」視点は、電子の性質ではなく、問題の性質によってのみ決定されるのである。 鏡面対称の2つの面は、「量子幾何学」について、2つの同じように有効な視点を提供します。
数学には、異なる世界を結びつける素晴らしい能力があります。 あらゆる方程式の中で最も見落とされている記号は、地味な等号です。 あたかも等号が、私たちの心の中の「アッ！」という電球を照らす電流を流すかのように、アイデアは等号の中を流れていきます。 二重線は、アイデアが両方向に流れることを表しています。 アインシュタインは、このような性質を持つ方程式を見つけるのが得意な人だった。 例えば、「E=mc2」は、間違いなく歴史上最も有名な方程式である。 相対性理論が生まれるまでは、全く別物だと思われていた質量とエネルギーの物理的概念を、控えめなエレガンスで結びつけている。 アインシュタインの方程式によって、質量はエネルギーに変換され、逆にエネルギーは質量に変換されることがわかる。 アインシュタインの一般相対性理論の方程式も、キャッチーで有名ではありませんが、同様に驚きと美しさで幾何学と物質の世界をつなげています。 その理論を簡潔にまとめると、質量は空間に曲がる方法を伝え、空間は質量に動く方法を伝えるということです。
鏡像対称性は、等号の力を示すもう 1 つの完璧な例です。 それは2つの異なる数学の世界をつなぐことができるのです。 1つはシンプレクティック幾何学の領域で、力学の多くの基礎をなす数学の一分野である。 もう一方は代数幾何学の領域で、複素数の世界である。 量子物理学は、アイデアを一方の分野から他方の分野へ自由に流すことを可能にし、これら2つの数学分野の予想外の「大統一」を提供する。
数学が、量子物理学と弦理論の直感的で、しばしば不正確な推論の多くを吸収し、これらのアイデアの多くを厳格な記述と証明に転換できたのを見て、安心した気分になる。 数学者たちは、この厳密さを、弦理論が元々持っていたミラー対称性という考え方を大幅に拡張したプログラムであるホモロジー・ミラー対称性に適用しようとしているのだ。 いわば、2つの別々の数学の世界に現れるオブジェクトの完全な辞書を、それらが満たすすべての関係も含めて書いているのです。 驚くべきことに、これらの証明は、物理的な議論が示唆していたような道筋をたどらないことが多いのです。 どうやら、物理学者の後始末をするのは数学者の役割ではないらしい。 それどころか、多くの場合、証明を見つけるために、まったく新しい思考回路を開発しなければならなかった。 これは、量子論、ひいては現実の根底にある、深い、まだ発見されていない論理のさらなる証拠である
ニールス・ボーアは相補性の概念が非常に好きだった。 この概念は、ヴェルナー・ハイゼンベルクが不確定性原理で証明したように、量子力学では粒子の運動量pか位置qのどちらかを測定することはできるが、両方を同時に測定することはできないという事実から生まれました。 ヴォルフガング・パウリは、発見からわずか数週間後の1926年10月19日、ハイゼンベルクに宛てた手紙の中で、この二面性を洒落た表現でまとめている。 「しかし、もし両目を開いてしまったら、人は狂ってしまう」
晩年、ボーアはこの考えをもっと広い哲学に押し込もうとしました。 彼の好きな補語の1つは、真理と明瞭さであった。 数学的厳密さと物理的直観のペアも、互いに排他的な2つの資質の例として加えるべきかもしれません。 数学的な目で世界を見ることも、補完的な物理的な目で世界を見ることもできますが、あえて両方を開く必要はありません。
この記事は Investigacionyciencia.es.
にスペイン語で転載されたものです。