Modelling of multiple-flagellated bacteria
Methods sectionに概要を、補足情報において数学的詳細を示したように、まずバクテリアの運動について計算モデルを構築することから始めます。 我々は、Nf本の鞭毛で推進する細菌（図2A）を考え、細胞体は長楕円体形状であるとする。 それぞれの鞭毛は、以下のような構成になっています。 (i) べん毛の軸を中心に一定の回転数を発生させる回転モーター、(ii) 流体力学を無視できるモーター軸のねじりばねとして扱われる短い柔軟なフック17、 (iii) 通常の左巻きポリマー型のらせん状のべん毛フィラメント、その流体力学は細物理論24で捉えられる。 モーターとフィラメントのパラメータは、大腸菌のものと一致するように選んだ7（補足情報の表S1）。 各らせん状フィラメントは、モーターへの取り付け位置でらせんの半径がゼロになるように、端が先細りになっている25。 べん毛状フィラメントは回転することができるが、細胞体上の付着点に対して平行移動することはできない。らせん軸の回転はモーターによって与えられるが、細胞体に対してさらに回転する場合は、その回転を解決する。 細胞体とべん毛の間の流体力学的な相互作用は無視するが、フィラメントが細胞体に入り込むのを防ぐための立体的な相互作用は含める。 各フックについて、モーターの位置における細胞体の法線とべん毛の軸との間の傾斜角度をθで表す（すなわち、θ=0のとき、フィラメントは細胞体に対して法線である）。 各モータがべん毛繊維に与える復元弾性モーメントは、ばね定数(K=EI/{he}) のねじりばねとしてモデル化されている。 従って、復元モーメントの大きさはK|θ|で与えられ、フックの弾性は螺旋軸を細胞体の法線に一致させるように作用する。 計算モデルは、鞭毛フィラメントの瞬間的な位置と、細胞体の遊泳速度Ubと角速度Ωbをフックの硬さの関数として解くものである。
(A)peritrichous bacteriumがNf本のらせんフィラメント（半径Rh、ピッチ角β）を所定の角速度で軸周りに回転させて作動する計算モデルを示す。 このとき、可撓性フックは弾性的に作用して、らせん軸を細胞本体の法線である \hat{{ ⊖bf{N}}} と一致させる。 (B) 弾性流体力学的不安定性を捕らえるための簡略化されたモデル。 半径(a)の球状体の両側に長さ(nm)が異なる2本の直線状のフィラメントがあり、細胞表面法線から±θの傾きを持ち、接線力(f)が細胞に作用し、モデル細菌が速度(U)で泳ぐ(Uhat{{That, N}}}Σ)．
Pusher bacteria with flexible hooks undergo a swimming instability
我々の計算モデルの結果を検証すると、大腸菌の平均鞭毛数Nf=4の場合、図3のような著しい弾性流体力学的不安定性を発見することができた6。 モーターは細胞体の表面に対して対称に配置されている。 各べん毛を表面の法線から少し傾けた状態で計算を開始し、実験室のフレームにおける細胞の位置と、細胞体に対するべん毛の位置を追跡しながら、システムを時間的に前進させる。
Nf=4の鞭毛で泳ぐ細菌の柔軟対剛性フックの水泳動作。 (A)各細胞の初期位置とコンフォメーション。 (B) t=200における柔軟なフックを持つプッシャー細胞（鞭毛の回転速度でスケーリングされた時間）。 (C)硬いフックを持つプッシャーセル、t = 200。 (D)各泳者の移動距離（らせんフィラメントのピッチで無次元化）、時間の関数として、4種類の泳者：硬い（菱形）対柔らかいフック（四角）、プッシャー（充填記号）対プーラー（空）。 3A-Cは、2つの異なるフック剛性を持つプッシャー細菌（すなわち、鞭毛フィラメントが通常のCCW回転をしている細胞）の時間スケールt＝200（鞭毛の回転速度で無次元化した時間）の軌跡を示したものである。 両者は同じ場所からスタートしましたが（A）、柔軟なフックを持つ細胞（K = 0.1）は、べん毛のフィラメントがすべて背中に巻きついた状態で終わり、べん毛のフィラメントが同じ広がった形状のままである硬いフックの細胞（K = 100）に比べて5倍速く泳げるようになりました（B）。 これは図3Dで定量化されており、時間の関数として移動距離をプロットしています（らせんのピッチでスケーリング）。 柔軟なフックを持つ細胞（塗りつぶされた四角）は、硬いフックを持つ細胞（塗りつぶされた菱形）よりも一貫して速く泳いでいることがわかる。 代わりに鞭毛の回転方向を逆にして時計回り（CW）に回転させると、細胞はプラーになり、柔軟なフック（空の四角）でも硬いもの（空の菱形）でも高速遊泳に移行しない。 2つの硬い場合（プッシャーとプラー；菱形）は泳ぎの大きさが同じであることに注意。これは、ストークス流の運動学的可逆性の結果である5。 重要なことは、柔軟なプッシャー型細菌の高速遊泳への移行は、フックの剛性が変化してもスムーズに起こるのではなく、Kc≈1（流体の粘度、らせんフィラメントのピッチ、回転数を用いて無次元化）という臨界値で起こるということである。 Kc以上では、すべての鞭毛は細胞に対して垂直のまま(θ≒0)であり、無視できる遊泳となり、Kc以下では、すべての鞭毛は細胞の後ろに巻き付き(|θ|≈π/2)、純運動となった。 その代わりに、この不安定性は鞭毛のコンフォメーションと細胞の運動との間の双方向の結合から生じている。 この不安定性の物理を解明するために、球状の細胞体と2本の鞭毛の場合をより詳細に検討しました。これは、幾何学的に複雑な場合と同じ物理を捉えながら不安定性を示すことができる最小の構成です（補足情報の関連動画参照）。 この場合の定常状態の計算結果を、鞭毛の軸と細胞体の間の角度θ（A）と細胞の正味の遊泳速度U（B）について、図4の主要部分（記号と細線）に示しました。 プッシャー細胞では、鞭毛の形態がフックの硬さに依存せず、遊泳がゼロになる（薄赤丸）のに対し、フックの硬さがKc≈0.以下では、明らかに巻き付き形態に突然ジャンプし、純運動をすることが示された。79（紺丸）。
図1の完全計算モデルにおける定常状態の鞭毛傾斜角（ |θ|, A）とラボフレームの泳動速度（ U, B）。 緑線と薄い赤の記号：非遊泳状態が常に安定しているプッシャー細菌、濃い赤線と濃い青の記号：K < Kcで遊泳に移行するプッシャー細菌。 破線は理論的に予測された臨界バネ定数Kc≒0.53。
弾性流体力学的不安定性の解析モデル
観測したダイナミクスは、線形弾性流体力学的不安定性の結果として泳ぐことを示す解析モデルによって捉えることができる。 図2に示すような単純な幾何学的モデルを考えてみる。 半径aの球状の細胞体の両側に、長さ(sec)が2本の直線状のフィラメントが対称的に付着し、体表面法線(sec)から対称角度±θで傾いている（ここでは考えない非対称な傾斜モードは、並進ではなく回転に移行することに注意されたい）。 各フィラメントは、剛性Kのねじりバネとしてモデル化されたフックを介して細胞体に弾性的に取り付けられており、その接線方向に沿って推進力密度 \(fhat{{Cbf{t}}}) で細胞を押すことにより、細菌は速度 \(Uhat{Cbf{y}}) で泳ぐ（すべての表記は図2参照）。 CCW運動の場合、推進力は細胞体の方を向いており（f < 0）、細胞はプッシャーである。 一方、CW運動の場合、推進力は細胞から離れる方向を向き(f > 0)、遊泳者はpullerとなる。
遊泳速度(U)とフィラメントの構造変化率（ \(dot{tatta})）は、力とモーメントのバランスを取ることにより得ることができる。 細長いフィラメントがその接線に平行、垂直に動くときの抗力係数をそれぞれc||とc⊥とすると（補足資料参照）、細胞全体にかかる泳ぐ方向の力の釣り合い。 \hat{{bf{y}}}, is written as
ここで最初の2項は細胞本体と遊泳による活動フィラメントの抵抗、第3項は回転によるフィラメントの抵抗、最後の項は細胞に働く全推進力である。
第2式は各活性フィラメントにかかるモーメントの釣り合いからきている。 は細胞表面上の付着点における୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛方向で、
ここで、第1項はフィラメントの回転による流体力学的モーメント、第2項は泳力による流体力学的モーメント、最後の項はフィラメントを直線状に戻そうと作用するフックの弾性復元モーメントである。 式（1）と式（2）を組み合わせると、θ
弾性モーメントが支配的な場合、直線配置θ=0が唯一の定常状態であり、泳がないことに関連します。
フック剛性の変化により、どのように次の状態へ移行できるかを調べるために、式(3)を解き、フック剛性を変化させる。 (3)を野生型遊泳大腸菌の適切な鞭毛フィラメントの値で数値的に解き、フック剛性ゼロでの完全計算と一致するfの大きさを使用した（補足資料参照）。 まず、θ=0付近の小さな摂動から始めて、式(3)の長時間定常状態を計算したところ、プッシャー（濃い赤線）とプラー（緑線）の両方で図4に示すような結果が得られました。 プラーセルはフックの剛性がどのような値であっても泳ぐことはなく、直線配置θ = 0が常に安定であることがわかる。 一方、プッシャーは臨界値より硬いフックでは泳げず、より柔らかいフックで直接泳ぐように突然遷移し、完全な2鞭毛の場合の計算とよく一致する（図4の記号）
臨界フック剛性で突然泳ぐようになることは、方程式を線形化して解析的に予測することができる。 (3)をθ=0での平衡付近で線形化することにより解析的に予測できる。 leading to
fが正（プラー）の場合、泳がないU=0と関連するθ=0の配置は、どんなKの値でも小さな摂動に対して常に線形安定である。 一方、f＜8097＞ 0のプッシャーは、式（4）の右辺が正になるようなK＜8097＞ Kcでは線形的に不安定、すなわち \({K}_{c}=-͈, f{c}_{Па }{ell }^{3}/(2{c}_{Па } {ell +6π ³mu a)\) が成立する。 線形弾性流体力学的不安定性により、十分に柔軟なフックを持つプッシャー細菌は、純水泳（U≠0）を伴う非対称構造（θ≠0）へ動的に遷移することが可能となる。 なお、単純な理論モデル（線形安定性と式3の数値解法）では、臨界無次元剛性はKc≒0.53となり、完全細菌モデルでの計算値Kc≒0.79と一致する。