Modelación de bacterias multiflageladas
Comenzamos construyendo un modelo computacional de la locomoción de una bacteria peritricosa, como se indica en la sección de Métodos con detalles matemáticos en la información suplementaria. Consideramos una bacteria propulsada por Nf flagelos (Fig. 2A) con un cuerpo celular en forma de elipsoide prolado. Cada flagelo consta de: (i) un motor rotativo que genera una velocidad de rotación fija en torno al eje del filamento flagelar; (ii) un gancho corto y flexible tratado como un muelle de torsión en torno al eje del motor cuya hidrodinámica puede despreciarse17; (iii) un filamento flagelar helicoidal de la forma polimérica normal zurda cuya hidrodinámica se capta con la teoría del cuerpo delgado24. Los parámetros del motor y del filamento se han elegido para que coincidan con los de la bacteria E. coli7 (Tabla S1 en la información suplementaria). Cada filamento helicoidal tiene un extremo cónico tal que el radio de la hélice es cero en su punto de unión al motor25. Los filamentos flagelares pueden rotar pero no trasladarse con respecto a su punto de unión en el cuerpo de la célula y, mientras que la rotación sobre el eje de la hélice es impuesta por el motor, cualquier otra rotación con respecto al cuerpo se resuelve. Despreciamos las interacciones hidrodinámicas entre el cuerpo celular y los filamentos flagelares, pero incluimos las interacciones estéricas para evitar que los filamentos entren en el cuerpo. Para cada gancho, utilizamos θ para denotar el ángulo de inclinación entre la normal al cuerpo celular en la ubicación del motor y el eje del filamento flagelar (es decir, cuando θ = 0 el filamento es normal al cuerpo celular). El momento elástico restaurador impuesto por cada motor en su filamento flagelar se modela como un muelle de torsión de constante de muelle \(K=EI/{\ell }_{h}\), donde EI y \({\ell }_{h}\) son la rigidez de flexión y la longitud del gancho respectivamente16. La magnitud del momento restaurador viene dada por K|θ| y la elasticidad del gancho actúa para alinear el eje de la hélice con la normal al cuerpo de la célula. El modelo computacional resuelve las posiciones instantáneas de los filamentos flagelares y la velocidad de natación, Ub, y la velocidad angular, Ωb, del cuerpo celular en función de la rigidez del gancho.
(A) Modelo computacional de una bacteria peritricosa que acciona Nf filamentos helicoidales (radio Rh; ángulo de inclinación β) girándolos alrededor de su eje \(\hat{{bf{k}}) con una velocidad angular prescrita. El gancho flexible actúa elásticamente para alinear el eje de la hélice con la normal \(\hat{{bf{N}}) al cuerpo de la célula. (B) Modelo simplificado para capturar la inestabilidad elastohidrodinámica. Dos filamentos activos rectos de longitud \(\ell \) unidos a cada lado de un cuerpo esférico de radio \(a\) se inclinan con un ángulo ±θ respecto a la normal de la superficie del cuerpo celular, \(\hat{{bf{N}}), y actúan sobre la célula con una fuerza tangencial \(f\ell \hat{{bf{t}}) que da lugar a la natación de la bacteria modelo con una velocidad \(Uhat{{bf{y}}).
Las bacterias empujadoras con ganchos flexibles sufren una inestabilidad de natación
El examen de los resultados de nuestro modelo computacional descubre una notable inestabilidad elastohidrodinámica, ilustrada en la Fig. 3 en el caso de Nf = 4 flagelos, el número medio de flagelos en una célula de E. coli6. Los motores están colocados simétricamente alrededor de la superficie del cuerpo celular. Comenzamos los cálculos con cada filamento flagelar inclinado con un pequeño ángulo respecto a la normal de la superficie y hacemos avanzar el sistema en el tiempo mientras seguimos la posición de la célula en el marco del laboratorio y de los filamentos flagelares respecto al cuerpo celular. Las películas asociadas están disponibles en línea (ver información suplementaria).
Movimiento de natación para una bacteria que nada con Nf = 4 flagelos con un gancho flexible frente a uno rígido. (A) Posición inicial y conformación de cada célula. (B) Célula de empuje con gancho flexible a t = 200 (tiempos escalados por la velocidad de rotación de los flagelos). (C) Célula empujadora con gancho rígido a t = 200. (D) Distancia recorrida por cada nadador (no dimensionada por el paso de los filamentos helicoidales) en función del tiempo para cuatro nadadores diferentes: gancho rígido (rombos) frente a flexible (cuadrados) y empujador (símbolos rellenos) frente a tirador (vacíos).
En la Fig. 3A-C ilustramos la trayectoria de una bacteria empujadora (es decir, una célula con filamentos flagelares en rotación normal CCW) con dos rigideces de gancho diferentes a lo largo de una escala de tiempo t = 200 (tiempo no dimensionado por la tasa de rotación de los flagelos). Aunque ambas comienzan en el mismo lugar (A), la célula con el gancho flexible (K = 0,1) termina con sus filamentos flagelares todos envueltos en la parte posterior y es capaz de nadar cinco veces más rápido (B) que la célula con el gancho rígido (K = 100) cuyos filamentos flagelares han permanecido en la misma configuración desplegada (C). Esto se cuantifica en la Fig. 3D, donde se representa la distancia neta recorrida en función del tiempo (a escala del paso de la hélice). La célula con un gancho flexible (cuadrado relleno) nada sistemáticamente más rápido que la rígida (diamante relleno). Si, por el contrario, invertimos el sentido de rotación de los flagelos para que giren en el sentido de las agujas del reloj (CW), la célula se convierte en tiradora y no pasa a la natación rápida ni para un gancho flexible (cuadrados vacíos) ni para uno rígido (diamantes vacíos). Obsérvese que los dos casos rígidos (empujadores y tiradores; diamantes) tienen una magnitud de natación idéntica, consecuencia de la reversibilidad cinemática de los flujos de Stokes5. Es importante destacar que la transición a la natación rápida para las bacterias empujadoras flexibles no se produce suavemente con los cambios en la rigidez del gancho, sino que tiene lugar en un valor adimensional crítico de Kc ≈ 1 (adimensionalizado utilizando la viscosidad del fluido, el paso del filamento helicoidal y la frecuencia de rotación). Por encima de Kc, todos los flagelos permanecen normales a la célula (θ ≈ 0) dando lugar a una natación insignificante, mientras que por debajo de Kc, todos los flagelos se envuelven detrás de la célula (|θ| ≈ π/2) dando lugar a una locomoción neta.
Esta brusca transición no se origina en una inestabilidad de pandeo del gancho que aquí sólo se modela a nivel de un muelle de torsión16. En cambio, la inestabilidad surge del acoplamiento bidireccional entre la conformación de los flagelos y la locomoción celular. Para desentrañar la física de esta inestabilidad, consideramos con más detalle el caso de un cuerpo celular esférico y dos flagelos, que es la configuración mínima capaz de mostrar la inestabilidad a la vez que captura la misma física que los casos geométricamente complejos (véanse las películas asociadas en la información suplementaria). Los resultados computacionales en estado estacionario en este caso se muestran en la parte principal de la Fig. 4 (símbolos y líneas finas) para el ángulo θ entre el eje de los filamentos flagelares y el cuerpo de la célula (A) y para la velocidad neta de natación U de la célula (B). Mientras que la conformación de los flagelos de las bacterias tiradoras es independiente de la rigidez del gancho y conduce a una natación nula (círculos rojos claros), las células empujadoras muestran claramente un salto repentino a una conformación envuelta y una locomoción neta para una rigidez del gancho inferior a Kc ≈ 0.79 (círculos azul oscuro).
Ángulos de inclinación de los flagelos en estado estacionario (|θ|, A) y velocidades de natación en el marco del laboratorio (U, B) para el modelo computacional completo de la Fig. 2A con dos flagelos (símbolos y líneas finas) y para el modelo de filamento activo simple de la Fig. 2B (líneas gruesas) en función de la constante adimensional del resorte del gancho, K. Línea verde y símbolos rojo claro: bacteria tiradora para la que el estado de no natación es siempre estable; Línea rojo oscuro y símbolos azul oscuro: bacteria empujadora que experimenta una transición a la natación para K < Kc. La línea discontinua muestra la constante de resorte crítica predicha teóricamente, Kc ≈ 0,53.
Modelo analítico de la inestabilidad elastohidrodinámica
La dinámica observada puede ser capturada por un modelo analítico que demuestra que la natación se produce como resultado de una inestabilidad elastohidrodinámica lineal. Consideremos el modelo geométrico simple ilustrado en la Fig. 2. Dos filamentos activos rectos de longitud \(\ell \) están unidos simétricamente a cada lado de un cuerpo celular esférico de radio a y están inclinados por ángulos simétricos ±θ con respecto a la normal de la superficie del cuerpo, \(\hat{{bf{N}}) (nótese que el modo de inclinación asimétrica, no considerado aquí, llevaría a una transición en rotación en lugar de traslación). Cada filamento, unido elásticamente al cuerpo de la célula a través de un gancho modelado como un muelle de torsión de rigidez K, empuja a la célula a lo largo de su dirección tangencial con una densidad de fuerza de propulsión \(f\hat{{bf{t}}) que da lugar a la natación de la bacteria con una velocidad \(U\hat{{bf{y}}) (véase la Fig. 2 para toda la notación). Para el movimiento CCW, las fuerzas de propulsión apuntan hacia el cuerpo de la célula (f < 0) y la célula es un empujador. Por el contrario, para el movimiento CW, las fuerzas de propulsión apuntan en dirección contraria a la célula (f > 0) y el nadador es un tirador.
La velocidad de natación (U) y la tasa de cambio de la conformación de los filamentos (\(\dot{\theta }\)) pueden obtenerse aplicando el equilibrio de fuerzas y momentos. Utilizando c|| y c⊥ para denotar los coeficientes de arrastre para un filamento delgado que se mueve paralelamente y perpendicularmente a su tangente, respectivamente (ver material suplementario), el balance de fuerzas en toda la célula en la dirección de la natación, \(\hat{{bf{y}}), se escribe como
donde los dos primeros términos son debidos al arrastre sobre el cuerpo de la célula y sobre los filamentos activos debido a la natación, el tercer término es el arrastre sobre los filamentos debido a la rotación y el último término es la fuerza propulsora total que actúa sobre la célula.
La segunda ecuación proviene del balance del momento sobre cada filamento activo, escrito en la dirección \hat(\hat{{bf{z}}=\hat{{bf{x}}times \hat{{bf{y}}) en el punto de unión en la superficie de la célula como
donde el primer término es el momento hidrodinámico debido a la rotación del filamento, el segundo es el momento hidrodinámico debido al arrastre de natación y el último término es el momento elástico de restauración del gancho que actúa para devolver el filamento a su configuración recta. Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene una ecuación de evolución para θ
Cuando el momento elástico domina, la configuración recta θ = 0 es el único estado estacionario, asociado a la no natación. Si en cambio el momento elástico es despreciable, los estados de natación con θ = ±π/2 se convierten en posibles equilibrios.
Para examinar cómo una variación de la rigidez del gancho permite la transición de un estado a otro, resolvemos la Ec. (3) numéricamente con los valores apropiados del filamento flagelar para una célula de E. coli nadadora de tipo salvaje y utilizando la magnitud de f que conduce a la concordancia con los cálculos completos a una rigidez de gancho nula (véase el material suplementario). Comenzamos con pequeñas perturbaciones alrededor de θ = 0 y calculamos el estado estacionario a largo plazo de la Ec. (3), con resultados ilustrados en la Fig. 4 tanto para el empujador (línea roja oscura) como para el tirador (línea verde). Las células del tirador nunca nadan para cualquier valor de la rigidez del gancho, y la configuración recta θ = 0 es siempre estable. Por el contrario, los empujadores no pueden nadar para ganchos más rígidos que un valor crítico, pero experimentan una transición repentina a la natación directa para ganchos más blandos, en excelente acuerdo con los cálculos del caso completo de dos flagelas (símbolos en la Fig. 4).
La transición repentina a la natación para una rigidez crítica del gancho puede predecirse analíticamente linealizando la Ec. (3) cerca del equilibrio en θ = 0, lo que lleva a
Si f es positiva (empujador) entonces la configuración con θ = 0, que está asociada a no nadar U = 0, es siempre linealmente estable a pequeñas perturbaciones para cualquier valor de K. Por el contrario, los empujadores con f < 0 son linealmente inestables para K < Kc de forma que el lado derecho de la Ec. (4) se hace positivo, es decir, \({K}_{c}=-\,f{c}_{perp }{ell }^{3}/(2{c_{perp }\ell +6\pi \mu a)\}. Una inestabilidad elastohidrodinámica lineal permite, por tanto, que las bacterias empujadoras con ganchos suficientemente flexibles realicen una transición dinámica a una conformación asimétrica (θ ≠ 0) con natación neta (U ≠ 0). Obsérvese que el modelo teórico simple (estabilidad lineal y solución numérica de la Ec. 3) predice una rigidez adimensional crítica de Kc ≈ 0,53, de acuerdo con los cálculos para el modelo de bacteria completa, Kc ≈ 0,79.