Las matemáticas podrían ser una ciencia más ambiental de lo que creemos. Aunque sea una búsqueda de verdades eternas, muchos conceptos matemáticos tienen su origen en la experiencia cotidiana. La astrología y la arquitectura inspiraron a egipcios y babilonios a desarrollar la geometría. El estudio de la mecánica durante la revolución científica del siglo XVII nos trajo el cálculo.
Notablemente, las ideas de la teoría cuántica resultan ser también portadoras de un tremendo poder matemático, aunque tengamos poca experiencia diaria tratando con partículas elementales. El extraño mundo de la teoría cuántica -donde las cosas pueden parecer estar en dos lugares al mismo tiempo y están sujetas a las leyes de la probabilidad- no sólo representa una descripción más fundamental de la naturaleza que lo que la precedió, sino que también proporciona un rico contexto para las matemáticas modernas. ¿Podría la estructura lógica de la teoría cuántica, una vez comprendida y asimilada por completo, inspirar un nuevo reino de las matemáticas que podría llamarse «matemáticas cuánticas»?
Por supuesto, existe una relación íntima y de larga data entre las matemáticas y la física. Galileo escribió famosamente sobre un libro de la naturaleza que espera ser descifrado: «La filosofía está escrita en este gran libro, el universo, que está continuamente abierto a nuestra mirada. Pero el libro no puede entenderse si no se aprende primero a comprender el lenguaje y a leer las letras que lo componen. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas». De tiempos más modernos podemos citar a Richard Feynman, que no era conocido como conocedor de las matemáticas abstractas: «A los que no saben de matemáticas les resulta difícil transmitir un sentimiento real en cuanto a la belleza, la belleza más profunda, de la naturaleza. … Si se quiere conocer la naturaleza, apreciar la naturaleza, es necesario entender el lenguaje en el que ella habla». (Por otra parte, también afirmó: «Si todas las matemáticas desaparecieran hoy, la física retrocedería exactamente una semana», a lo que un matemático tuvo la inteligente réplica: «Esta fue la semana en que Dios creó el mundo»)
El físico matemático y premio Nobel Eugene Wigner ha escrito con elocuencia sobre la asombrosa capacidad de las matemáticas para describir la realidad, caracterizándola como «la irracional eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales.» Los mismos conceptos matemáticos aparecen en una amplia gama de contextos. Pero estos días parece que asistimos a lo contrario: la irracional eficacia de la teoría cuántica en las matemáticas modernas. Las ideas que se originan en la física de partículas tienen una extraña tendencia a aparecer en los campos matemáticos más diversos. Esto es especialmente cierto para la teoría de cuerdas. Su estimulante influencia en las matemáticas tendrá un impacto duradero y gratificante, sea cual sea su papel final en la física fundamental. El número de disciplinas que toca es vertiginoso: análisis, geometría, álgebra, topología, teoría de la representación, combinatoria, probabilidad… la lista es interminable. Uno empieza a sentir lástima por los pobres estudiantes que tienen que aprender todo esto.
¿Cuál podría ser la razón subyacente de esta irracional eficacia de la teoría cuántica? En mi opinión, está estrechamente relacionada con el hecho de que en el mundo cuántico todo lo que puede suceder, sucede.
De forma muy esquemática, la mecánica clásica trata de calcular cómo viaja una partícula de A a B. Por ejemplo, la trayectoria preferida podría ser a lo largo de una geodésica -una trayectoria de longitud mínima en un espacio curvo-. En cambio, en la mecánica cuántica se considera el conjunto de todos los caminos posibles de A a B, por muy largos y enrevesados que sean. Esta es la famosa interpretación de Feynman de la «suma sobre historias». Las leyes de la física asignarán entonces a cada camino un cierto peso que determina la probabilidad de que una partícula se desplace por esa trayectoria concreta. La solución clásica que obedece a las leyes de Newton es simplemente la más probable entre muchas otras. Así que, de forma natural, la física cuántica estudia el conjunto de todas las trayectorias, como un conjunto ponderado, lo que nos permite sumar sobre todas las posibilidades.
Este enfoque holístico de considerar todo a la vez está muy en el espíritu de las matemáticas modernas, donde el estudio de las «categorías» de objetos se centra mucho más en las relaciones mutuas que en cualquier ejemplo individual específico. Es esta visión de pájaro de la teoría cuántica la que saca a la luz nuevas y sorprendentes conexiones.
Calculadoras cuánticas
Un ejemplo sorprendente de la magia de la teoría cuántica es la simetría especular, una equivalencia de espacios realmente asombrosa que ha revolucionado la geometría. La historia comienza en la geometría enumerativa, una rama de la geometría algebraica bien establecida, pero no muy emocionante, que cuenta objetos. Por ejemplo, los investigadores podrían querer contar el número de curvas en los espacios de Calabi-Yau -soluciones de seis dimensiones de las ecuaciones de la gravedad de Einstein que son de especial interés en la teoría de cuerdas, donde se utilizan para enroscar dimensiones espaciales adicionales.
Al igual que se puede envolver una banda elástica alrededor de un cilindro varias veces, las curvas en un espacio de Calabi-Yau se clasifican por un número entero, llamado el grado, que mide la frecuencia con la que se envuelven. Encontrar el número de curvas de un grado determinado es un problema famoso y difícil, incluso para el espacio de Calabi-Yau más sencillo, el llamado quíntico. Un resultado clásico del siglo XIX afirma que el número de líneas -curvas de grado uno- es igual a 2.875. El número de curvas de grado dos no se calculó hasta 1980 y resulta ser mucho mayor: 609.250. Pero el número de curvas de grado tres requirió la ayuda de los teóricos de las cuerdas.
Alrededor de 1990, un grupo de teóricos de las cuerdas pidió a los geómetras que calcularan este número. Los geómetras idearon un complicado programa informático y volvieron con una respuesta. Pero los teóricos de las cuerdas sospecharon que era errónea, lo que sugería un error en el código. Al comprobarlo, los geómetras confirmaron que lo había, pero ¿cómo lo sabían los físicos?
Los teóricos de las cuerdas ya habían estado trabajando para traducir este problema geométrico en uno físico. Al hacerlo, habían desarrollado una forma de calcular el número de curvas de cualquier grado a la vez. Es difícil sobrestimar la conmoción que causó este resultado en los círculos matemáticos. Era un poco como idear una manera de escalar todas y cada una de las montañas, sin importar lo altas que fueran!
Dentro de la teoría cuántica tiene mucho sentido combinar los números de las curvas de todos los grados en una única y elegante función. Ensamblada de esta manera, tiene una interpretación física directa. Puede verse como una amplitud de probabilidad para una cuerda que se propaga en el espacio de Calabi-Yau, donde se ha aplicado el principio de suma de historias. Se puede pensar que una cuerda sondea todas las curvas posibles de todos los grados posibles al mismo tiempo y, por lo tanto, es una «calculadora cuántica» súper eficiente».
Pero fue necesario un segundo ingrediente para encontrar la solución real: una formulación equivalente de la física utilizando un espacio de Calabi-Yau llamado «espejo». El término «espejo» es engañosamente sencillo. A diferencia del modo en que un espejo ordinario refleja una imagen, aquí el espacio original y su espejo tienen formas muy diferentes; ni siquiera tienen la misma topología. Pero en el ámbito de la teoría cuántica, comparten muchas propiedades. En particular, la propagación de la cuerda en ambos espacios resulta ser idéntica. El difícil cálculo en la variedad original se traduce en una expresión mucho más sencilla en la variedad espejo, donde puede calcularse mediante una única integral. Et voilà!
Dualidad de los iguales
La simetría espejo ilustra una poderosa propiedad de la teoría cuántica llamada dualidad: Dos modelos clásicos pueden convertirse en equivalentes cuando se consideran como sistemas cuánticos, como si se agitara una varita mágica y todas las diferencias desaparecieran de repente. Las dualidades apuntan a simetrías profundas pero a menudo misteriosas de la teoría cuántica subyacente. En general, no se comprenden bien y son un indicio de que nuestra comprensión de la teoría cuántica es, en el mejor de los casos, incompleta.
El primer y más famoso ejemplo de este tipo de equivalencia es la conocida dualidad partícula-onda, que afirma que toda partícula cuántica, como un electrón, puede considerarse tanto una partícula como una onda. Ambos puntos de vista tienen sus ventajas, ya que ofrecen perspectivas diferentes sobre el mismo fenómeno físico. El punto de vista «correcto» -partícula u onda- viene determinado únicamente por la naturaleza de la pregunta, no por la naturaleza del electrón. Las dos caras de la simetría especular ofrecen perspectivas duales e igualmente válidas sobre la «geometría cuántica»
Las matemáticas tienen la maravillosa capacidad de conectar mundos diferentes. El símbolo más olvidado de cualquier ecuación es el humilde signo de igualdad. Las ideas fluyen a través de él, como si el signo igual condujera la corriente eléctrica que ilumina la bombilla «¡Ahá!» en nuestra mente. Y las líneas dobles indican que las ideas pueden fluir en ambas direcciones. Albert Einstein fue un maestro absoluto en la búsqueda de ecuaciones que ejemplifican esta propiedad. Por ejemplo, E = mc2, sin duda la ecuación más famosa de la historia. En toda su discreta elegancia, conecta los conceptos físicos de masa y energía que se consideraban totalmente distintos antes de la llegada de la relatividad. A través de la ecuación de Einstein aprendemos que la masa puede transformarse en energía, y viceversa. La ecuación de la teoría general de la relatividad de Einstein, aunque menos pegadiza y conocida, vincula los mundos de la geometría y la materia de una manera igualmente sorprendente y hermosa. Una forma sucinta de resumir esa teoría es que la masa le dice al espacio cómo curvarse, y el espacio le dice a la masa cómo moverse.
La simetría del espejo es otro ejemplo perfecto del poder del signo igual. Es capaz de conectar dos mundos matemáticos diferentes. Uno es el reino de la geometría simpléctica, la rama de las matemáticas que subyace a gran parte de la mecánica. Por otro lado está el reino de la geometría algebraica, el mundo de los números complejos. La física cuántica permite que las ideas fluyan libremente de un campo al otro y proporciona una inesperada «gran unificación» de estas dos disciplinas matemáticas.
Es reconfortante ver cómo las matemáticas han sido capaces de absorber gran parte del razonamiento intuitivo, a menudo impreciso, de la física cuántica y la teoría de cuerdas, y de transformar muchas de estas ideas en afirmaciones y pruebas rigurosas. Los matemáticos están a punto de aplicar esta exactitud a la simetría especular homológica, un programa que amplía enormemente la idea original de simetría especular de la teoría de cuerdas. En cierto sentido, están escribiendo un diccionario completo de los objetos que aparecen en los dos mundos matemáticos separados, incluyendo todas las relaciones que satisfacen. Sorprendentemente, estas pruebas no suelen seguir el camino que los argumentos físicos habían sugerido. Al parecer, el papel de los matemáticos no es limpiar lo que hacen los físicos. Al contrario, en muchos casos hubo que desarrollar líneas de pensamiento completamente nuevas para encontrar las pruebas. Esto es una prueba más de la profunda y aún no descubierta lógica que subyace a la teoría cuántica y, en última instancia, a la realidad.
Niels Bohr era muy aficionado a la noción de complementariedad. El concepto surgió del hecho de que, como demostró Werner Heisenberg con su principio de incertidumbre, en la mecánica cuántica se puede medir el momento p de una partícula o su posición q, pero no ambos al mismo tiempo. Wolfgang Pauli resumió ingeniosamente esta dualidad en una carta a Heisenberg fechada el 19 de octubre de 1926, apenas unas semanas después del descubrimiento: «Uno puede ver el mundo con el ojo p, y puede verlo con el ojo q, pero si uno abre ambos ojos, entonces se vuelve loco»
En sus últimos años, Bohr trató de llevar esta idea a una filosofía mucho más amplia. Uno de sus pares complementarios favoritos era el de verdad y claridad. Quizá habría que añadir el par de rigor matemático e intuición física como otro ejemplo de dos cualidades mutuamente excluyentes. Puedes mirar el mundo con un ojo matemático o con un ojo físico complementario, pero no te atrevas a abrir ambos.
Este artículo fue reimpreso en español en Investigacionyciencia.es.