Modelarea bacteriilor multiflagelate
Începem prin a construi un model computațional al locomoției unei bacterii peritricide, așa cum este prezentat în secțiunea Metode, cu detalii matematice în informațiile suplimentare. Considerăm o bacterie propulsată de Nf flageli (Fig. 2A) cu un corp celular de forma unui elipsoid prolat. Fiecare flagel este format din: (i) un motor rotativ care generează o viteză de rotație fixă în jurul axei filamentului flagelar; (ii) un cârlig scurt și flexibil tratat ca un resort de torsiune în jurul axei motorului, a cărui hidrodinamică poate fi neglijată17; (iii) un filament flagelar elicoidal de formă polimerică normală stângace a cărui hidrodinamică este captată cu ajutorul teoriei corpului subțire24. Parametrii motorului și ai filamentului sunt aleși pentru a se potrivi cu cei ai bacteriei E. coli7 (tabelul S1 din informațiile suplimentare). Fiecare filament elicoidal are un capăt conic, astfel încât raza elicei este zero în punctul său de atașare la motor25. Filamentele flagelare se pot roti, dar nu se pot deplasa în raport cu punctul lor de fixare pe corpul celular și, în timp ce rotația în jurul axei elicei este impusă de motor, orice altă rotație în raport cu corpul este rezolvată. Noi neglijăm interacțiunile hidrodinamice dintre corpul celular și filamentele flagelare, dar includem interacțiunile sterice pentru a împiedica filamentele să intre în corp. Pentru fiecare cârlig, folosim θ pentru a indica unghiul de înclinare dintre normala la corpul celular la locația motorului și axa filamentului flagelar (adică atunci când θ = 0, filamentul este normal la corpul celular). Momentul elastic de restabilire impus de fiecare motor pe filamentul său flagelar este modelat ca un resort de torsiune cu constanta elastică \(K=EI/{\ell }_{h}\), unde EI și \({\ell }_{h}\) reprezintă rigiditatea la încovoiere și, respectiv, lungimea cârligului16. Astfel, mărimea momentului de restabilire este dată de K|θ|, iar elasticitatea cârligului acționează pentru a alinia axa spiralei cu normala la corpul celulei. Modelul de calcul rezolvă pentru pozițiile instantanee ale filamentelor flagelare și pentru viteza de înot, Ub, și viteza unghiulară, Ωb, a corpului celular în funcție de rigiditatea cârligului.
(A) Modelul computațional al unei bacterii peritricide care acționează Nf filamente elicoidale (raza Rh; unghiul de pas β) prin rotirea acestora în jurul axei lor \(\hat{{\bf{k}}}\) cu o viteză unghiulară prescrisă. Cârligul flexibil acționează elastic pentru a alinia axa elicei cu normala \(\hat{{\bf{N}}}\) la corpul celulei. (B) Model simplificat pentru a surprinde instabilitatea elastohidrodinamică. Două filamente active drepte de lungime \(\ell \) atașate de o parte și de alta a unui corp sferic de rază \(a\) sunt înclinate cu un unghi ±θ față de normala la suprafața corpului celular, \(\hat{{\bf{N}}}}\), și acționează asupra celulei cu o forță tangențială \(f\ell \hat{{\bf{t}}}}\), ceea ce duce la înotul bacteriei model cu viteza \(U\hat{{\bf{y}}}}\\).
Bacteriile împingătoare cu cârlige flexibile suferă o instabilitate de înot
Examinarea rezultatelor modelului nostru de calcul descoperă o instabilitate elastohidrodinamică remarcabilă, ilustrată în Fig. 3 în cazul Nf = 4 flageli, numărul mediu de flageli pe o celulă de E. coli6. Motoarele sunt poziționate simetric în jurul suprafeței corpului celular. Începem calculele cu fiecare filament flagelar înclinat la un unghi mic față de normala la suprafață și facem ca sistemul să avanseze în timp, urmărind în același timp poziția celulei în cadrul laboratorului și a filamentelor flagelare în raport cu corpul celular. Filmele asociate sunt disponibile online (a se vedea informațiile suplimentare).
Mișcarea de înot pentru o bacterie care înoată cu Nf = 4 flageli cu un cârlig flexibil vs. cârlig rigid. (A) Poziția și conformația inițială a fiecărei celule. (B) Celula de împingere cu cârlig flexibil la t = 200 (timpi scalați de rata de rotație a flagelului). (C) Celulă de împingere cu cârlig rigid la t = 200. (D) Distanța parcursă de fiecare înotător (nedimensionalizată prin pasul filamentelor elicoidale) în funcție de timp pentru patru înotători diferiți: cârlig rigid (romburi) vs. cârlig flexibil (pătrate) și împingător (simboluri umplute) vs. trăgător (goale).
În Fig. 3A-C ilustrăm traiectoria unei bacterii împingătoare (adică o celulă cu filamente flagelare aflate în rotație normală CCW) cu două rigidități diferite ale cârligului pe o scară de timp t = 200 (timp nedimensionat de viteza de rotație a flagelului). Deși ambele pornesc din aceeași locație (A), celula cu cârligul flexibil (K = 0,1) sfârșește cu filamentele sale flagelare înfășurate în spate și este capabilă să înoate de cinci ori mai repede (B) decât celula cu cârligul rigid (K = 100) ale cărei filamente flagelare au rămas în aceeași configurație întinse (C). Acest lucru este cuantificat în Fig. 3D, unde reprezentăm distanța netă parcursă în funcție de timp (scalată în funcție de pasul spiralei). Celula cu un cârlig flexibil (pătrat umplut) înoată în mod constant mai repede decât cea rigidă (romb umplut). Dacă, în mod alternativ, inversăm direcția de rotație a flagelului pentru a se roti în sensul acelor de ceasornic (CW), celula devine o celulă care trage și nu trece la înot rapid nici pentru un cârlig flexibil (pătrate goale), nici pentru unul rigid (romburi goale). Rețineți că cele două cazuri rigide (împingători și trăgători; romburi) au o magnitudine de înot identică, o consecință a reversibilității cinematice a fluxurilor Stokes5. Este important de remarcat faptul că tranziția la înotul rapid pentru bacteriile împingătoare flexibile nu se produce fără probleme odată cu modificarea rigidității cârligului, ci are loc la o valoare critică adimensională de Kc ≈ 1 (nedimensionalizată folosind vâscozitatea fluidului, pasul filamentului elicoidal și frecvența de rotație). Peste Kc, toți flagelii rămân normali față de celulă (θ ≈ 0), ceea ce duce la o înot neglijabil, în timp ce sub Kc, toți flagelii se înfășoară în spatele celulei (|θ| ≈ π/2), ceea ce duce la o locomoție netă.
Această tranziție bruscă nu provine dintr-o instabilitate de încovoiere a cârligului, care este modelată aici doar la nivelul unui resort de torsiune16. În schimb, instabilitatea provine din cuplajul bidirecțional dintre conformația flagelului și locomoția celulară. Pentru a desluși fizica acestei instabilități, luăm în considerare mai detaliat cazul unui corp celular sferic și a doi flageli, care este configurația minimă capabilă să prezinte instabilitatea, captând în același timp aceeași fizică ca și cazurile complexe din punct de vedere geometric (a se vedea filmele asociate în informațiile suplimentare). Rezultatele de calcul în regim staționar în acest caz sunt prezentate în partea principală a Fig. 4 (simboluri și linii subțiri) pentru unghiul θ dintre axa filamentelor flagelare și corpul celulei (A) și pentru viteza netă de înot U a celulei în cadru de laborator (B). În timp ce conformația flagelului bacteriei puller este independentă de rigiditatea cârligului și conduce la înot zero (cercuri roșu deschis), celulele pusher prezintă în mod clar un salt brusc la o conformație înfășurată și o locomoție netă pentru o rigiditate a cârligului sub Kc ≈ 0.79 (cercuri albastru închis).
Unghiuri de înclinare a flagelului în stare staționară (|θ|, A) și viteze de înot în cadru de laborator (U, B) pentru modelul computațional complet din Fig. 2A cu doi flageli (simboluri și linii subțiri) și pentru modelul simplu de filament activ din Fig. 2B (linii groase) în funcție de constanta adimensională a arcului cârligului, K. Linie verde și simboluri roșu deschis: bacterie trăgătoare pentru care starea de non-înot este întotdeauna stabilă; linie roșie închisă și simboluri albastru închis: bacterie trăgătoare care suferă o tranziție la înot pentru K < Kc. Linia punctată arată constanta critică a resortului prezisă teoretic, Kc ≈ 0,53.
Model analitic al instabilității elastohidrodinamice
Dinamica observată poate fi captată de un model analitic care demonstrează că înotul apare ca rezultat al unei instabilități elastohidrodinamice liniare. Luați în considerare modelul geometric simplu ilustrat în Fig. 2. Două filamente active drepte de lungime \(\ell \) sunt atașate simetric de o parte și de alta a unui corp celular sferic de rază a și sunt înclinate cu unghiuri simetrice ±θ față de normala la suprafața corpului, \(\hat{{\bf{N}}}\) (rețineți că modul de înclinare asimetrică, care nu este luat în considerare aici, ar duce la o tranziție în rotație în loc de translație). Fiecare filament, atașat în mod elastic de corpul celulei prin intermediul unui cârlig modelat ca un resort de torsiune de rigiditate K, împinge celula de-a lungul direcției tangențiale cu o densitate de forță de propulsie \(f\hat{{\bf{t}}}\), ceea ce duce la înotul bacteriei cu viteza \(U\hat{{\bf{y}}}\) (a se vedea figura 2 pentru toate notațiile). În cazul mișcării CCW, forțele de propulsie se îndreaptă spre corpul celulei (f < 0), iar celula este un împingător. În schimb, pentru mișcarea CW, forțele de propulsie se îndepărtează de celulă (f > 0) și înotătorul este un trăgător.
Viteza de înot (U) și rata de schimbare a conformației filamentelor (\(\dot{\theta }\)) pot fi obținute prin aplicarea echilibrului de forțe și momente. Folosind c||| și c⊥ pentru a desemna coeficienții de rezistență pentru un filament subțire care se deplasează paralel și, respectiv, perpendicular pe tangenta sa (a se vedea materialul suplimentar), se obține echilibrul forțelor asupra întregii celule în direcția de înot, \(\hat{{\bf{y}}}\), se scrie ca
în care primii doi termeni se datorează rezistenței pe corpul celulei și pe filamentele active datorate înotului, al treilea termen este rezistența pe filamente datorată rotației, iar ultimul termen este forța totală de propulsie care acționează asupra celulei.
Cea de-a doua ecuație provine din echilibrul de moment pe fiecare filament activ, scris în direcția \(\hat{{{\bf{z}}}=\hat{{{\bf{x}}}\ ori \hat{{\bf{y}}}\) la punctul de atașare de pe suprafața celulei ca
unde primul termen este momentul hidrodinamic datorat rotației filamentului, al doilea este momentul hidrodinamic datorat rezistenței la înot, iar ultimul termen este momentul de restabilire elastică de la cârlig care acționează pentru a readuce filamentul la configurația sa dreaptă. Combinarea ecuațiilor (1) și (2) conduce la o ecuație de evoluție pentru θ
Când momentul elastic domină, configurația dreaptă θ = 0 este singura stare staționară, asociată cu absența înotului. Dacă, în schimb, momentul elastic este neglijabil, stările de înot cu θ = ±π/2 devin echilibre posibile.
Pentru a examina modul în care o variație a rigidității cârligului permite trecerea de la o stare la alta, rezolvăm Ec. (3) numeric cu valorile corespunzătoare ale filamentelor flagelare pentru o celulă E. coli care înoată de tip sălbatic și folosind magnitudinea lui f care conduce la concordanță cu calculele complete la rigiditate zero a cârligului (a se vedea materialul suplimentar). Începem cu perturbații mici în jurul lui θ = 0 și calculăm starea de echilibru pe termen lung a ecuației (3), cu rezultate ilustrate în Fig. 4 atât pentru împingător (linia roșu închis), cât și pentru trăgător (linia verde). Celulele puller nu înoată niciodată pentru nicio valoare a rigidității cârligului, iar configurația dreaptă θ = 0 este întotdeauna stabilă. În schimb, împingătorii nu pot înota pentru cârlige mai rigide decât o valoare critică, dar suferă o tranziție bruscă la înotul direct pentru cârlige mai moi, în concordanță excelentă cu calculele din cazul complet cu două flageluri (simbolurile din Fig. 4).
Tranziția bruscă la înot pentru o rigiditate critică a cârligului poate fi prezisă analitic prin liniarizarea Ec. (3) în apropierea echilibrului la θ = 0, ceea ce conduce la
Dacă f este pozitivă (puller) atunci configurația cu θ = 0, care este asociată cu nici un înot U = 0, este întotdeauna liniar stabilă la perturbații mici pentru orice valoare a lui K. În schimb, împingătorii cu f < 0 sunt liniar instabili pentru K < Kc astfel încât partea dreaptă a ecuației (4) devine pozitivă, adică \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). Prin urmare, o instabilitate elastohidrodinamică liniară permite bacteriilor împingătoare cu cârlige suficient de flexibile să treacă în mod dinamic la o conformație asimetrică (θ ≠ 0) cu înot net (U ≠ 0). Rețineți că modelul teoretic simplu (stabilitatea liniară și soluția numerică a ecuației 3) prezice o rigiditate critică adimensională de Kc ≈ 0,53, în concordanță cu calculele pentru modelul complet al bacteriei, Kc ≈ 0,79.
.