.
Carte de materii
Utilizarea calculatorului de abatere standard
Calculatorul de abatere standard de mai sus oferă o modalitate simplă atât de a calcula cât și de a învăța cum să găsiți abaterea standard a unui set de numere. Mai bine decât orice alt calculator standard, acest calculator oferă o soluție pas cu pas pentru a găsi răspunsul pe cont propriu. Acest calculator de abatere standard este un excelent instrument de predare pentru a vă ghida în obținerea răspunsurilor corecte în munca proprie. Dacă aveți nevoie, de asemenea, să găsiți intervalul unui set de date, consultați pagina Calculator de măsuri de variabilitate. Acest calculator va găsi toate cele trei măsuri de variabilitate, intervalul, varianța și abaterea standard, și vă va arăta o soluție pas cu pas.
Ce este abaterea standard?
Definirea abaterii standard este o măsură a „răspândirii” valorilor datelor în cadrul setului de date. „Răspândirea” se referă la cât de aproape sau de departe sunt valorile datelor în comparație cu media setului de date. Varianța este pătratul abaterii standard. Atât varianța, cât și abaterea standard sunt măsuri ale variabilității.
Acest calculator de abatere standard nu numai că vă oferă un răspuns la problema dumneavoastră, dar vă ghidează și printr-o soluție pas cu pas.
Ce implică o abatere standard mare?
Potrivit definiției abaterii standard, aceasta măsoară răspândirea valorilor datelor față de medie. Dacă există o abatere standard mare, atunci există o răspândire mare a valorilor datelor. Aceasta înseamnă că valorile sunt mai mult răspândite la mare distanță de medie. Acest lucru implică o mare variabilitate în setul de date. Dacă abaterea standard este mică, atunci valorile datelor dintr-un set de date sunt mai puțin răspândite față de medie. Acest lucru implică mai puțină variabilitate și mai multă consecvență.
Să presupunem că dați un examen și că abaterea standard pentru notele din clasă este de 5,0. În acest moment, nu putem spune cu adevărat dacă clasa ta a avut o performanță consistentă sau nu, deoarece nu avem cu ce să o comparăm. Acum, prietenul tău dintr-o altă clasă dă un examen, iar deviația standard pentru notele din clasă este de 15,0. Atunci când comparăm cele două abateri standard, observăm că există mai multă consecvență și mai puțină variabilitate în clasa ta. Există mai puțină consecvență și mai multă variabilitate în clasa prietenului tău.
Dacă folosiți calculatorul de abatere standard pentru a găsi abaterile standard a două seturi de date diferite, abaterea standard care este mai mică este pentru setul de date care este mai consecvent, iar abaterea standard care este mai mare este pentru setul de date care este mai variabil.
Exemplu de venit – compararea a două orașe
Să presupunem că aveți două seturi de date care constau în venitul familiei. Primul set de date constă în populația de venituri ale familiilor din orașul „A”, iar al doilea set de date constă în populația de venituri ale familiilor din orașul „B.” Orașul „A” și orașul „B” au ambele venituri medii ale familiilor de 65.000 de dolari. Până acum, avem:
Media orașului A:
µ = 65.000
Media orașului B:
µ = 65.000
Dacă abaterea standard pentru setul de date al veniturilor din orașul A este de 5.500 $.00 $, iar abaterea standard pentru setul de date privind veniturile din orașul B este de $ \$ 2.100,00 $, atunci știm că veniturile din orașul A sunt împrăștiate mai departe de medie, în timp ce veniturile din orașul B sunt mai apropiate, sau grupate mai strâns, în jurul mediei. Veniturile din orașul A au o variabilitate mai mare decât veniturile din orașul B.
Simbol pentru abaterea standard
Simbolul pentru abaterea standard a unui set de date care reprezintă un eșantion este s. Simbolul pentru abaterea standard a unui set de date care reprezintă o populație este σ (sigma grecească minusculă). Avem informații despre populație atât pentru orașul „A”, cât și pentru orașul „B”. Prin urmare, simbolul pentru deviația standard pentru ambele sunt:
Deviația standard a orașului A:
σ = 5.500 $
Deviația standard a orașului B:
σ = 2.100 $
Deviația standard pentru lipsa variabilității
O deviație standard este întotdeauna un număr pozitiv sau, eventual, 0. Să presupunem că în orașul ‘C’, fiecare familie are același venit, $ \$ 65.000 $. Deși în mod realist acest lucru nu este posibil, din punct de vedere matematic acest lucru ar însemna că media veniturilor în orașul ‘C’ este de $ \$ 65.000 $, iar abaterea standard este 0. O abatere standard de 0 indică faptul că un set de date nu are nici un fel de variabilitate, iar fiecare valoare a datelor din setul de date este exact aceeași.
Încercați! Folosind calculatorul de abatere standard, introduceți următoarele:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
Veți vedea că abaterea standard se va calcula la 0, iar pașii pentru soluție vă vor arăta de ce este 0.
Unități folosite pentru abaterea standard
Unitățile pentru abaterea standard sunt aceleași cu unitățile pentru valorile datelor din setul de date. În exemplul nostru de mai sus, valorile datelor sunt venituri în dolari, prin urmare abaterea standard este în dolari.
Ce este varianța?
Relaționată cu abaterea standard a unui set de date este varianța unui set de date. Varianța unui set de date este pătratul abaterii standard și, prin urmare, unitățile pentru varianță sunt la pătrat față de cele ale abaterii standard. Simbolul pentru varianța eșantionului este s2, iar simbolul pentru varianța populației este σ2. În exemplul nostru de mai sus, varianțele pentru Orașul A și Orașul B sunt:
Varianța Orașului A:
σ2 = 30.250.000 $ 2
Varianța Orașului B:
σ2 = 4.410.000 $ 2
La fel cum ați face manual, calculatorul deviației standard găsește mai întâi varianța și apoi ia rădăcina pătrată pentru a găsi deviația standard.
Aplicarea formulelor privind abaterea standard și varianța
Acum că știți definiția abaterii standard, doriți să învățați cum să calculați abaterea standard și varianța? Puteți fie să aplicați formulele de abatere standard și varianță, fie să derulați în sus și să folosiți calculatorul de abatere standard online. În tutorialul de mai jos vă voi arăta cum să găsiți manual abaterea standard și varianța folosind formulele.
Vreți să știți cum să găsiți manual abaterea standard sau varianța unui set de date? Atunci, va trebui să folosiți formulele de varianță și/sau abatere standard. Aceste formule pot părea complexe, dar atunci când sunt luate în pași mici, procesul de calcul al acestora este foarte ușor de gestionat. Formulele folosesc simboluri diferite, în funcție de faptul că setul de date reprezintă o populație sau un eșantion.
Există două versiuni ale formulelor de varianță și abatere standard, formula standard și formula de calcul. În acest articol voi folosi formula computațională. Este mai simplu de calculat manual și are mai puține erori de rotunjire. Dacă doriți să vedeți soluția formulei standard, Calculatorul de abatere standard de mai sus vă poate arăta soluțiile folosind ambele formule.
Formula de variație a populației și formula de variație a eșantionului
| Formula de variație a populației | Formula de variație a eșantionului |
|---|---|
$$ {\sigma^2}= \frac{{{sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}}{N}$$Unde $\sigma^2$ este simbolul varianței populației, |
$$$ {s^2}= \frac{{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$Unde $s^2$ este simbolul varianței eșantionului, |
Există un pas foarte simplu între obținerea varianței și apoi obținerea abaterii standard. Odată ce aveți varianța, trebuie doar să luați rădăcina pătrată pentru a obține abaterea standard.
Formula abaterii standard a populației și formula abaterii standard a eșantioanelor
| Ecartul standard al populației Formula | Formula abaterii standard a eșantionului |
|---|---|
$$$ {\sigma}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{N}}{N}}{N}}. $$Unde $\sigma$ este simbolul abaterii standard a populației, |
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n – 1}}} $$Unde $s$ este simbolul abaterii standard a eșantionului, |
Exemplu privind modul de găsire a abaterii standard și a varianței
Să trecem în revistă modul de găsire a abaterii standard și a varianței pentru un mic set de date, având în vedere că setul de date reprezintă un eșantion de înălțimi ale copiilor. După ce obținem varianța, vom face un mic pas pentru a obține abaterea standard. Vom calcula răspunsurile noastre prin parcurgerea unei serii de 8 pași.
Problema: Găsiți varianța și abaterea standard pentru următoarele. Să presupunem că aveți un eșantion de 5 copii și că înălțimile lor sunt:
56 in, 49 in, 61 in, 60 in, 63 in
Pasul 1 – Scrieți formulele Varianța eșantionului și Abaterea standard a eșantionului
Pentru că această problemă afirmă că cele 5 valori reprezintă un eșantion, vom folosi formulele Varianța eșantionului și Abaterea standard a eșantionului. În primul rând, începeți prin a scrie formulele de calcul pentru varianța eșantionului și abaterea standard a eșantionului:
$$ {s^2}= \frac{{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}$$$
$$$ {s}= \sqrt{\frac{{\sum}{x^2}} – \frac{\sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}}{n – 1}}}. $$
Pasul 2 – Creați un tabel pentru toate valorile lui $ x $ și $x^2$
În continuare, desenați un tabel cu 2 coloane și 5 rânduri pentru fiecare valoare a datelor, precum și un rând de antet. Etichetați rândul de antet cu $ x $ și $ x^2 $. Acum, puneți fiecare dintre valorile datelor în coloana $ x $. Fiecare valoare a datelor are propriul rând. Înscrieți la pătrat fiecare valoare a lui x în prima coloană și puneți aceste valori în a doua coloană.
$x$ |
$x^2$ |
| 56 | 3136 |
| 49 | 2401 |
| 61 | 3721 |
| 60 | 3600 |
| 63 | 3969 |
Etapa 3 – Adunați toate valorile din prima coloană
După ce tabelul și coloanele sunt create, se ia suma tuturor valorilor din prima coloană. Aceasta este simbolizată ca $ \sum{x} $.
$$ \sum{x} = 56+49+61+60+63 $$
$$$ \sum{x} = 289 $$
Pasul 4 – Se ridică la pătrat și se împarte
Acum, luați răspunsul de la pasul 3, 289, și ridicați-l la pătrat. Apoi, împărțiți la mărimea eșantionului.
$$ \frac{(\sum{x})^2}{n} = \frac{83521}{5} = 16704.2 $$
Pasul 5 – Adunați toate valorile din a doua coloană
În continuare, luați suma tuturor valorilor din a doua coloană. Aceasta este simbolizată sub forma $ \sum{x^2} $.
$$ \sum{x^2} = 3136+2401+3721+3600+3969$$
$$ \sum{x^2} = 16827 $$
Pasul 6 – Se scade $ \sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n} $
În acest pas, veți lua răspunsul de la pasul 5 și veți scădea răspunsul de la pasul 4.
$$\sum{x^2} – \frac{(\sum{x})^2}{n}$$
$$$ 16827 – 16704.2 = 122.8 $$
Pasul 7 – Împărțiți și obțineți varianța
Aici, luați răspunsul de la pasul 6 și împărțiți-l la $n – 1$, cu unul mai puțin decât mărimea eșantionului. Aceasta este varianța!
$$ {s^2}= \frac{{{sum}{x^2} – \frac{({\sum}{x})^2}{n}}{n-1}
= \frac{ 122.8 }{4} = 30.7 $$
Pasul 8 – Cum se găsește abaterea standard din varianță
În cele din urmă, pentru a găsi abaterea standard, luați rădăcina pătrată a răspunsului pentru varianța de la pasul 7. Aici, voi rotunji răspunsul la 4 zecimale.
$$ s = \sqrt{30.7} = 5.5408 $$
Din moment ce datele noastre sunt inițial în unități de inci, abaterea standard este de 5.5408 inci.
Așa este! Nu e așa de rău, nu-i așa? Este o idee excelentă să folosiți calculatorul de abatere standard de mai sus pentru a vă ghida în rezolvarea mai multor probleme. Încercați să elaborați manual soluțiile pe cont propriu și verificați munca dvs. cu soluția elaborată din calculator. Ați reușit!