În acest diapozitiv avem două versiuni ale ecuațiilor lui Euler care descriu modul în care sunt legate viteza, presiunea și densitatea unui fluid în mișcare.Ecuațiile sunt numite în onoarea lui Leonard Euler, care a fost student cu Daniel Bernoulli și a studiat diverse probleme de dinamică a fluidelor la mijlocul anilor 1700.Ecuațiile sunt un set de ecuații diferențiale cuplate și pot fi rezolvate pentru o anumită problemă de curgere folosind metode din calcul.Deși ecuațiile par a fi foarte complexe, ele sunt de fapt simplificări ale ecuațiilor mai generale ale ecuațiilor lui Navier-Stokese din dinamica fluidelor. Ecuațiile Euler neglijează efectele vâscozității fluidului, care sunt incluse în ecuațiile Navier-Stokes.O soluție a ecuațiilor Euler este, prin urmare, doar o aproximare a unei probleme reale de fluide.Pentru unele probleme, cum ar fi viața unei aripi subțiri la un unghi de atac mic, o soluție a ecuațiilor Euler oferă un bun model al realității. Pentru alte probleme, cum ar fi creșterea stratului limită pe o placă plană, ecuațiile lui Euler nu modelează corect problema.
Lumea noastră are trei dimensiuni spațiale (sus-jos, stânga-dreapta, înainte-înapoi) și o dimensiune temporală. În general, ecuațiile lui Euler au o ecuație de continuitate dependentă de timp pentru conservarea masei și trei ecuații de conservare a impulsului dependente de timp.În partea de sus a figurii, arătăm o formă staționară simplificată, bidimensională, a ecuațiilor lui Euler.Există două variabile independente în problemă, coordonatelex și y ale unui domeniu oarecare. Există patru variabile dependente, presiunea p, densitatea r și două componente ale vectorului de viteză; componenta u este în direcția x, iar componenta v este în direcția y.Toate variabilele dependente sunt funcții atât de x, cât și de y.Ecuațiile diferențiale sunt, prin urmare, ecuații diferențiale parțiale și nu ecuații diferențiale ordinare pe care le studiați la începutul cursului de calcul.
Vă veți observa că simbolul diferențial este diferit de simbolul obișnuit „d /dt” sau „d /dx” pe care îl vedeți pentru ecuațiile diferențiale ordinare. Simbolul „
” este folosit pentru a indica diferențierea parțială.Simbolul indică faptul că trebuie să ținem toate variabilele independente fixe, cu excepția variabilei de lângă simbol, atunci când calculăm o derivată. Setul de ecuații este:
Continuitate: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Momentum: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Deși aceste ecuații par foarte complexe, studenții universitari din domeniul ingineriei sunt învățați cum să le deducă printr-un proces foarte asemănător cu derivarea pe care o prezentăm pe pagina web privind conservarea impulsului. Cele două ecuații ale momentului sunt generalizări bidimensionale ale ecuației de conservare a momentului. Ecuația vitezei de curgere a masei dezvoltată pe pagina web privind conservarea masei este o soluție unidimensională a ecuației de continuitate prezentată aici.
Soluțiile generalizate ale acestor ecuații sunt dificil de obținut.Observați că toate variabilele dependente apar în fiecare ecuație.Pentru a rezolva o problemă de curgere, trebuie să rezolvați toate cele trei ecuații simultan; de aceea numim acest sistem de ecuații cuplate. Există de fapt o altă ecuație care este necesară pentru a rezolva acest sistem, deoarece prezentăm doar trei ecuații pentru patru necunoscute. O ecuație de stare corelează presiunea și densitatea unui gaz.În trecut, inginerii făceau alte aproximări și simplificări ale setului de ecuații până când obțineau un grup de ecuații pe care le puteau rezolva.Recent, calculatoarele de mare viteză au fost folosite pentru a rezolva aproximări ale ecuațiilor folosind o varietate de tehnici, cum ar fi diferențele finite, volumul finit, elementele finite și metodele spectrale.Acest domeniu de studiu se numește Computational Fluid Dynamics sau CFD.
Una dintre metodele de simplificare folosite în trecut a fost să presupunem că gazul are o viteză foarte mică și să neglijăm efectele compresibilității.Într-un flux incompresibil, densitatea este constantă și o putem elimina din ecuația de continuitate:
Continuitate: u/x + v/y = 0
Potem apoi să factorizăm ecuațiile de moment și să folosim ecuația de continuitate pentru a le simplifica:
X – Momentum: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Momentum: u * v/x + v * v/y = – / r
Acest set de ecuații a fost folosit pentru a dezvolta algoritmul utilizat în programulFoilSimcomputer.
Activități:
Vizite ghidate
Navigație ..
Pagina de start a ghidului pentru începători