Liniile și unghiurile alcătuiesc aproape toate formele geometrice. Așa că haideți să ne scufundăm în geometrie discutând despre aceste elemente de bază ale formelor.
Acum putem începe să vorbim despre Geometrie. Iar Geometria, bineînțeles, este studiul formelor. Acum, pentru unii oameni care sunt orientați vizual, Geometria vine foarte natural. Iar altor persoane care nu și-au dezvoltat abilitățile vizuale, Geometria poate fi un pic mai dificilă.
În special pentru cei pentru care Geometria este un pic mai dificilă, iată ce am să spun.
Nu este suficient să vă uitați pur și simplu la aceste videoclipuri. După ce le urmăriți, luați o hârtie și o riglă și desenați aceste forme diferite, de fapt, desenați-le fizic pe hârtie. Și construiți forme și obiecte fizice. Puteți folosi creioane, scobitori, paie, orice de genul ăsta. Construiți de fapt triunghiuri, dreptunghiuri, uitați-vă la ele.
DRAW IT OUT!
Imagine de Aaron Amat
Utilizează-ți mâinile!
Utilizează-ți mâinile, mâinile noastre sunt de fapt o parte din inteligența noastră. Dacă vă folosiți mâinile, implicați fiecare parte a creierului. Asta va face să fie mult mai ușor, să înțelegeți toate aceste relații.
Așa că hai să începem cu liniile. Liniile sunt drepte și ele continuă la nesfârșit în ambele direcții. Aici avem o grămadă de linii drepte diferite, într-o grămadă de direcții diferite. Trebuie să vă imaginați că la capătul fiecărei linii există niște săgeți sau ceva de genul acesta. Acest lucru indică faptul că liniile chiar continuă la nesfârșit în ambele direcții.
Lini și unghiuri: Toate liniile sunt drepte
Este foarte important să nu confundați dreapta cu orizontala. Aceste două cuvinte au sensuri foarte diferite, dar, uneori, sunt unii elevi care le confundă. Toate liniile sunt drepte. Deci toate liniile pe care le-am avut pe diapozitivul anterior, linii care merg în direcții diferite, toate acestea sunt linii drepte.
Și puteți presupune întotdeauna că o linie este dreaptă la test. Dacă pare dreaptă, este dreaptă. Acest lucru este întotdeauna adevărat pe test. Dar unele linii sunt trasate orizontal pentru comoditate. Cu toate acestea, nu puteți presupune niciodată că liniile sunt exact orizontale sau verticale doar pentru că așa par. Acum, oamenii devin foarte confuzi în această privință. Sunteți confuzi dacă credeți că orizontal și drept înseamnă același lucru.
Atunci spunem că puteți presupune din test că liniile sunt drepte. Oamenii presupun în mod eronat că acest lucru înseamnă, de asemenea, că pot presupune că liniile sunt orizontale, iar acest lucru nu este corect. Un segment de dreaptă este o bucată finită a unei drepte.
Exemplu
Așa că, de exemplu, aici avem un segment de dreaptă, care are două puncte finale. Și atunci când aceste puncte finale sunt etichetate, acest lucru face ca discuția să fie mai ușoară.
Acesta este segmentul de dreaptă AB. Și în scopul testului, AB poate însemna fie forma reală a segmentului de dreaptă în sine. Sau poate însemna lungimea segmentului de dreaptă, lungimea numerică. Un unghi se formează între două linii sau două segmente. De exemplu, aici avem un unghi.
Liniile și unghiurile: Understanding Angles
Imagine de Radu Bercan
Se întâmplă să fie între o dreaptă și un segment. Cel mai bun mod de a înțelege un unghi este să ne gândim la el în mod dinamic, ca la acțiunea de a se întoarce sau de a se roti. Deci, cu alte cuvinte, mergând de aici până aici. Aceasta este ceea ce este un unghi, este acel spațiu dinamic dintre cele două linii. Dacă etichetăm puncte, putem vorbi despre un unghi.
Etichetarea unghiurilor
Am putea numi acest unghi fie CDE, fie EDC, punctul D, vertexul unghiului. Chiar aici, punctul unghiului trebuie să fie în mijlocul numelui. Și astfel, putem numi fie CDE, fie EDC, atâta timp cât vertexul se află în mijloc. Uneori, în aceste videoclipuri, voi folosi și numele unui singur unghi, dacă nu există nicio ambiguitate. De exemplu, există un singur unghi în această diagramă.
Așa că l-aș putea numi unghiul D. Teoretic, acest lucru ar putea apărea la test. Deși testul este adesea suficient de atent pentru a folosi întotdeauna un nume din trei litere pentru un unghi. Măsurăm mărimea unui unghi în grade. Testul le poate enunța direct, deci 50 de grade.
Altfel, testul poate să eticheteze diagrama și să precizeze măsura unghiului în text. Deci unghiul GFH = 50 de grade pentru că au pus litere pe punctele din diagramă. Putem folosi doar asta pentru a vorbi despre acea măsură, în numărul de grade din text. De fapt, probabil că lucrul favorit pe care îl facem este următorul: să specificăm doar unghiul, cu un număr variabil de grade.
Formatul flexibil al testării
Acest format flexibil le permite fie să specifice unghiul, pentru că în text, ar putea spune x = 50, fie ar putea pune o întrebare despre asta. Ei ar putea să ne dea alte informații și să spună găsiți x. Deci le-ar plăcea să facă acest lucru. Vom face o recapitulare rapidă a faptelor de bază privind gradele. Într-un unghi drept, există 180 de grade și, bineînțeles, amintiți-vă că o linie dreaptă poate merge în orice direcție.
Dar dacă există un punct oarecare pe linia dreaptă, tot drumul de la o parte la alta a liniei. Asta înseamnă 180 de grade, sunt 90 de grade într-un unghi drept. Deci aici avem două linii care se intersectează în unghi drept. Există, de fapt, patru unghiuri drepte la această intersecție. Dacă cele două drepte sau segmente se întâlnesc în unghiuri drepte, ele se numesc perpendiculare, acesta este un termen pe care ar trebui să îl cunoașteți.
Lini perpendiculare și unghiuri drepte
Testul poate fie să deseneze acel mic pătrat, semnul perpendicular, care este acel mic pătrat, fie poate indica faptul că unghiul este de 90 de grade. Poate să scrie 90 de grade în diagramă sau X grade și să ne spună în text că X este egal cu 90. Există diverse moduri în care ne poate spune că este un unghi de 90 de grade. Nu presupuneți că două drepte sunt perpendiculare dacă nu vi se spune explicit acest lucru, aceasta este adesea o capcană.
Imagine de Anar Babayev
Să presupunem că aceste puncte apar ca parte a unei diagrame mai mari și că nu sunt date alte informații. Cu siguranță se pare că acestea ar putea fi în unghi drept, iar acesta este un lucru foarte tentant de presupus. Testului i-ar plăcea ca tu să faci greșeala, de a presupune că liniile sunt perpendiculare și că unghiul este egal cu exact 90 de grade.
De fapt nu este așa, am desenat asta astfel încât, acel unghi de acolo este un unghi de 89,6 grade. Deci, este aproape de a fi un unghi drept, și poate arăta ca un unghi drept cu ochiul liber. Dar niciuna dintre proprietățile speciale ale unghiului drept nu este adevărată.
Și în următoarele videoclipuri, vom vorbi mai mult despre proprietățile speciale ale unghiului drept. Niciuna dintre proprietățile speciale ale unghiului drept nu este adevărată, dacă unghiul este aproape de 90, dar nu exact 90.
Mult important, deci nu puteți presupune că două drepte sunt perpendiculare, decât dacă aveți un fel de justificare pentru a face acest lucru.
Lini și unghiuri: Formele congruente
Un termen pe care îl voi introduce, care probabil nu va apărea în test, este congruent. Congruent este ca și egal, pentru forme. Folosim conceptul de egal pentru un număr și conceptul foarte asemănător de „congruent” pentru forme.
Două forme sunt congruente dacă au aceeași formă și aceeași mărime.
Nu este necesar ca ele să aibă aceeași orientare. Deci, de exemplu, formele mov și verde de aici sunt congruente, una este răsturnată față de cealaltă. Despre una ați putea spune că este o versiune pentru dreptaci, iar cealaltă este o versiune pentru stângaci, dar este aceeași formă în mod fundamental.
Aceste două sunt congruente, chiar dacă au orientări diferite.
Bisectoare
O bisectoare taie ceva în două bucăți congruente. O bisectoare de unghiuri taie un unghi în două unghiuri congruente mai mici. Deci, de exemplu, aici avem o bisectoare de unghi. Dacă ni se spune, de exemplu, că unghiul mare, PNM, are 40 de grade și că NQ taie unghiul în două – atunci putem deduce că cele două unghiuri mai mici trebuie să aibă fiecare 20 de grade.
Câte unul trebuie să fie exact pe jumătate egal cu celălalt, deoarece unghiul a fost bisectat. În mod similar, bisectoarea unui segment poate fi un punct, un alt segment sau o dreaptă. Bisectoarea împarte segmentul în două jumătăți egale. Observați aici că segmentul ST bisectează PQ. De asemenea, observați că este cu siguranță adevărat că PQ nu bisectează ST, deoarece SR este clar mai mare decât RT.
Atunci faptul că ST bisectează PQ înseamnă că R este punctul median al lui PQ, și că PR = RQ. Am împărțit-o în două jumătăți egale și, din nou, asta înseamnă întotdeauna bisecarea. Uneori, o dreaptă va bisecta un segment și va fi, de asemenea, perpendiculară pe acesta. Dreapta se numește bisectoare perpendiculară pe segment.
Regula VW este perpendiculară, este bisectoarea perpendiculară a lui TU. Fiecare punct de pe bisectoarea perpendiculară a unui segment este echidistant față de cele două puncte terminale de pe segment. Și deci acesta este un fapt foarte util de știut, care apare într-o varietate de moduri. Bizectoarea perpendiculară este, de fapt, ansamblul tuturor punctelor posibile, care sunt echidistante de cele două puncte terminale ale segmentului.
Liniile și unghiurile: Să ne uităm la unghiuri
Acum câteva date de bază despre unghiuri. Am spus deja că o linie dreaptă conține 180 de grade. Aceasta înseamnă că, dacă două sau mai multe unghiuri se află pe o linie dreaptă, suma unghiurilor lor este de 180 de grade. Deci, de exemplu, putem presupune că acea linie lungă este dreaptă. Nu are un fel de curbă ușoară în acel punct.
Testul nu ne va face acest lucru, dacă pare dreaptă, este dreaptă. Și, prin urmare, știm că acele două unghiuri împreună fac 180. Deci, x + y = 180. Dacă cele două unghiuri însumează 180, atunci ele se numesc suplimentare. Două unghiuri pe o linie dreaptă sunt întotdeauna suplimentare. Așadar, p + q = 180.
Imagine de BlueRingMedia
Când două linii se încrucișează
Când două linii se încrucișează, se formează patru unghiuri. Deci aici avem două linii care merg la nesfârșit în ambele direcții, ele trebuie să se intersecteze și se formează aceste patru unghiuri. Perechile de unghiuri opuse între ele, care au în comun doar vertexul, se numesc unghiuri verticale, iar unghiurile verticale sunt întotdeauna congruente. Deci, de exemplu, A și C, nu au nicio latură comună.
Tot ce au în comun a și c este că se ating la un singur vârf. Ele se ating la un verigă, b și d se ating și ele la un verigă. Și deci de aceea se numesc unghiuri verticale, pentru că se întâlnesc la un vertex. Așadar, știm că unghiurile verticale sunt congruente, știm că a = c, iar b = d. Desigur, perechile de unghiuri alăturate, a + b, b + c, toate acestea sunt complementare.
Toate acestea însumează 180 de grade, pentru că avem perechi de unghiuri pe o dreaptă. Prin urmare, dacă ni s-a dat un singur unghi din această diagramă, le putem găsi pe celelalte trei. De exemplu, dacă a = 35, știm că c trebuie să fie egal. De asemenea, acesta trebuie să fie de 35 grade. Iar b și d trebuie să fie unghiul suplimentar de 145 de grade. Astfel încât orice două perechi împreună, orice două unghiuri împreună într-o pereche, însumează 180 de grade.
Liniile și unghiurile: Practice Problem One
Iată o problemă practică, puneți pe pauză videoclipul și apoi vom vorbi despre aceasta.
Imagine de Evgeniia Iliukhina
Bine În diagramă x = 40 de grade și RT bisectează unghiul mare SRU ,care este un unghi foarte mare. Ei bine, SRU este unghiul suplimentar la acel unghi de 40 de grade, deci SRU trebuie să fie 180 minus 40 care ar fi 140. Deci SRU este 140.
Și acest unghi este bisecat, pentru că este bisecat, este tăiat în două jumătăți egale. Deci sunt două jumătăți, fiecare trebuie să fie de 70 grade. SRT = 70 de grade, TRU = 70 de grade. Acestea sunt cele două jumătăți egale ale unghiului care a fost bisecat. Ei bine, acum observați că unghiul TRV, acest unghi este format din TRU și din unghiul x, pe care îl știm.
Știm că TRU este de 70 de grade, știm că unghiul X este de 40 de grade, așa că le adunăm. TRV trebuie să fie un unghi de 110 grade. Acum observați că TRV este unghiul vertical al SRW, deci cele două trebuie să fie egale. Asta înseamnă că și SRW trebuie să fie un unghi de 110 grade, deci Y este egal cu 110. În cele din urmă, vom analiza liniile paralele.
Liniile și unghiurile: Linii paralele
Dacă două linii sunt paralele, ele nu se intersectează niciodată și sunt întotdeauna exact la aceeași distanță. Și, din nou, aceasta este încă una dintre aceste proprietăți, ca și perpendicularitatea, aproape de paralelă, nu contează pentru fasole. Trebuie să știi că cele două linii sunt exact paralele. Evident, din moment ce liniile paralele nu se intersectează niciodată, ele nu formează niciodată unghiuri între ele.
Liniile transversale
Obținem însă multe unghiuri, dacă o a treia linie neparalelă taie cele două linii paralele. Această a treia linie se numește transversală. O transversală este o linie care taie două linii paralele. Deci, aici avem o transversală care taie liniile paralele WX și YZ. Și obținem opt îngeri acolo.
Acum cei patru îngeri mari sunt toți egali. Și cei patru îngeri mici sunt toți egali. Deci, cu alte cuvinte, a = d = e = h și b = c = f = g, aceasta este marea idee. Acum, printre acestea, bineînțeles că vă amintiți din geometrie, există tot felul de nume speciale.
Alternatul interior și exteriorul aceleiași laturi și unghiurile corespunzătoare. Dacă vreți să vă amintiți toate aceste nume speciale, este minunat, nu este nevoie. Tot ce trebuie să vă amintiți este că toate unghiurile mari sunt egale, toate unghiurile mici sunt egale. Deci, iată diagrama din nou, iar acum am etichetat-o astfel încât să fie clar că totul este egal.
Liniile și unghiurile: Unghiuri suplimentare
Rețineți, de asemenea, că p și q sunt suplimentare. Deci orice unghi mare plus orice unghi mic este egal cu 180 de grade, aceasta este o idee foarte importantă. Astfel, dacă ni se dă gradul oricăruia dintre unghiurile de aici, am putea să le găsim pe celelalte șapte. Pe scurt, am vorbit despre drepte și segmente de dreaptă, am vorbit despre unghiuri și grade.
Am subliniat faptul că există 180 de grade într-un unghi drept și 90 de grade într-un unghi drept. Am vorbit despre bisectoarele unghiurilor și bisectoarele perpendicularelor. O bisectoare de unghi împarte un unghi în două unghiuri mai mici și egale. O bisectoare perpendiculară este perpendiculară pe un segment și îl împarte în două jumătăți egale.
Am vorbit despre cum două unghiuri de pe o dreaptă sunt complementare. Unghiurile verticale sunt congruente. Și am vorbit despre unghiurile formate de o transversală, care intersectează o pereche de drepte paralele. Și vom vorbi despre multe aplicații ale acestor idei fundamentale, în următoarele videoclipuri.
.