Matematica ar putea fi o știință a mediului mai mult decât ne dăm seama. Chiar dacă este o căutare a adevărurilor eterne, multe concepte matematice își au originile în experiența de zi cu zi. Astrologia și arhitectura i-au inspirat pe egipteni și babilonieni să dezvolte geometria. Studiul mecanicii în timpul revoluției științifice din secolul al XVII-lea ne-a adus calculul.
În mod remarcabil, ideile din teoria cuantică se dovedesc a purta și ele o putere matematică extraordinară, chiar dacă avem puțină experiență zilnică în a avea de-a face cu particule elementare. Lumea bizară a teoriei cuantice – în care lucrurile pot părea să se afle în două locuri în același timp și sunt supuse legilor probabilității – nu numai că reprezintă o descriere mai fundamentală a naturii decât ceea ce a precedat-o, dar oferă și un context bogat pentru matematica modernă. Ar putea structura logică a teoriei cuantice, odată ce va fi pe deplin înțeleasă și asimilată, să inspire un nou tărâm al matematicii care ar putea fi numit „matematică cuantică”?
Există, desigur, o relație veche și intimă între matematică și fizică. Galileo a scris în mod faimos despre o carte a naturii care așteaptă să fie descifrată: „Filozofia este scrisă în această carte măreață, universul, care stă continuu deschisă privirii noastre. Dar cartea nu poate fi înțeleasă dacă nu se învață mai întâi să se înțeleagă limba și să se citească literele în care este compusă. Ea este scrisă în limbajul matematicii.” Din vremuri mai moderne îl putem cita pe Richard Feynman, care nu era cunoscut ca un cunoscător al matematicii abstracte: „Celor care nu cunosc matematica le este greu să transmită un sentiment real cu privire la frumusețea, cea mai profundă frumusețe, a naturii. … Dacă vrei să înveți despre natură, să apreciezi natura, este necesar să înțelegi limbajul în care ea vorbește.” (Pe de altă parte, el a mai afirmat: „Dacă toată matematica ar dispărea astăzi, fizica ar fi înapoi cu exact o săptămână”, la care un matematician a avut o replică inteligentă: „Aceasta a fost săptămâna în care Dumnezeu a creat lumea.”)
Fizicianul matematician și laureat al premiului Nobel, Eugene Wigner, a scris cu elocvență despre capacitatea uimitoare a matematicii de a descrie realitatea, caracterizând-o drept „eficiența nerezonabilă a matematicii în științele naturale”. Aceleași concepte matematice apar într-o gamă largă de contexte. Dar, în aceste zile, se pare că asistăm la invers: eficacitatea nerezonabilă a teoriei cuantice în matematica modernă. Ideile care își au originea în fizica particulelor au o tendință ciudată de a apărea în cele mai diverse domenii matematice. Acest lucru este valabil în special pentru teoria corzilor. Influența sa stimulativă în matematică va avea un impact durabil și satisfăcător, oricare ar fi rolul său final în fizica fundamentală. Numărul disciplinelor pe care le atinge este amețitor: analiză, geometrie, algebră, topologie, teoria reprezentărilor, combinatorică, probabilități – lista poate continua la nesfârșit. Începe să ne fie milă de bieții studenți care trebuie să învețe toate acestea!
Care ar putea fi motivul de bază pentru această eficiență nerezonabilă a teoriei cuantice? După părerea mea, este strâns legat de faptul că în lumea cuantică tot ceea ce se poate întâmpla se întâmplă.
Într-un mod foarte schematic, mecanica clasică încearcă să calculeze modul în care o particulă călătorește de la A la B. De exemplu, calea preferată ar putea fi de-a lungul unei geodezice – o cale de lungime minimă într-un spațiu curbat. În mecanica cuantică se consideră în schimb colecția tuturor căilor posibile de la A la B, oricât de lungi și de întortocheate ar fi acestea. Aceasta este faimoasa interpretare a lui Feynman „suma peste istorii”. Legile fizicii vor atribui apoi fiecărei căi o anumită pondere care determină probabilitatea ca o particulă să se deplaseze de-a lungul traiectoriei respective. Soluția clasică care se supune legilor lui Newton este pur și simplu cea mai probabilă dintre multe altele. Astfel, într-un mod natural, fizica cuantică studiază ansamblul tuturor traiectoriilor, ca un ansamblu ponderat, permițându-ne să adunăm toate posibilitățile.
Această abordare holistică de a considera totul deodată este foarte apropiată de spiritul matematicii moderne, în care studiul „categoriilor” de obiecte se concentrează mult mai mult pe relațiile reciproce decât pe orice exemplu individual specific. Această vedere de ansamblu a teoriei cuantice este cea care scoate la iveală noi conexiuni surprinzătoare.
Calculatoare cuantice
Un exemplu izbitor al magiei teoriei cuantice este simetria în oglindă – o echivalență cu adevărat uimitoare a spațiilor care a revoluționat geometria. Povestea începe în geometria enumerativă, o ramură bine stabilită, dar nu foarte interesantă, a geometriei algebrice care numără obiecte. De exemplu, cercetătorii ar putea dori să numere numărul de curbe de pe spațiile Calabi-Yau – soluții cu șase dimensiuni ale ecuațiilor gravitaționale ale lui Einstein, care prezintă un interes deosebit în teoria corzilor, unde sunt folosite pentru a curba dimensiuni spațiale suplimentare.
La fel cum puteți înfășura un elastic în jurul unui cilindru de mai multe ori, curbele de pe un spațiu Calabi-Yau sunt clasificate printr-un număr întreg, numit grad, care măsoară cât de des se înfășoară. Găsirea numărului de curbe cu un anumit grad este o problemă faimos de dificilă, chiar și pentru cel mai simplu spațiu Calabi-Yau, așa-numitul quintic. Un rezultat clasic din secolul al XIX-lea afirmă că numărul de linii – curbe de gradul unu – este egal cu 2.875. Numărul de curbe de gradul doi a fost calculat abia în jurul anului 1980 și se dovedește a fi mult mai mare: 609.250. Dar pentru calcularea numărului de curbe de gradul trei a fost nevoie de ajutorul teoreticienilor corzilor.
În jurul anului 1990, un grup de teoreticieni ai corzilor a cerut geometrilor să calculeze acest număr. Geometriștii au conceput un program de calculator complicat și au revenit cu un răspuns. Dar teoreticienii corzilor au suspectat că era eronat, ceea ce a sugerat o greșeală în cod. La verificare, geometrii au confirmat că exista, dar de unde știau fizicienii?
Teoreticienii corzilor lucraseră deja pentru a traduce această problemă geometrică într-una fizică. Făcând acest lucru, ei dezvoltaseră o modalitate de a calcula numărul de curbe de orice grad deodată. Este greu de supraestimat șocul pe care l-a produs acest rezultat în cercurile matematice. A fost un pic ca și cum ar fi fost conceput un mod de a escalada fiecare munte, indiferent cât de înalt!”
În cadrul teoriei cuantice este perfect logic să combinăm numerele de curbe de toate gradele într-o singură funcție elegantă. Asamblată în acest fel, ea are o interpretare fizică simplă. Ea poate fi văzută ca o amplitudine de probabilitate pentru o coardă care se propagă în spațiul Calabi-Yau, unde a fost aplicat principiul sumei peste istorii. Se poate considera că un șir de caractere sondează toate curbele posibile de toate gradele posibile în același timp și este astfel un „calculator cuantic” super-eficient.”
Dar a fost necesar un al doilea ingredient pentru a găsi soluția reală: o formulare echivalentă a fizicii folosind un așa-numit spațiu Calabi-Yau „în oglindă”. Termenul „oglindă” este înșelător de simplu. Spre deosebire de modul în care o oglindă obișnuită reflectă o imagine, aici spațiul original și oglinda sa sunt de forme foarte diferite; ele nu au nici măcar aceeași topologie. Dar, în domeniul teoriei cuantice, ele au în comun multe proprietăți. În special, propagarea corzilor în ambele spații se dovedește a fi identică. Calculul dificil pe mulțimea originală se transformă într-o expresie mult mai simplă pe mulțimea oglindă, unde poate fi calculată printr-o singură integrală. Et voilà!
Dualitatea egalităților
Simetria în oglindă ilustrează o proprietate puternică a teoriei cuantice numită dualitate: Două modele clasice pot deveni echivalente atunci când sunt considerate ca sisteme cuantice, ca și cum s-ar agita o baghetă magică și toate diferențele dispar brusc. Dualitățile indică simetrii profunde, dar adesea misterioase, ale teoriei cuantice subiacente. În general, ele sunt slab înțelese și sunt un indiciu că înțelegerea noastră a teoriei cuantice este, în cel mai bun caz, incompletă.
Primul și cel mai faimos exemplu al unei astfel de echivalențe este binecunoscuta dualitate particulă-undă care afirmă că fiecare particulă cuantică, cum ar fi un electron, poate fi considerată atât ca o particulă, cât și ca o undă. Ambele puncte de vedere au avantajele lor, oferind perspective diferite asupra aceluiași fenomen fizic. Punctul de vedere „corect” – particulă sau undă – este determinat exclusiv de natura întrebării, nu de natura electronului. Cele două fețe ale simetriei în oglindă oferă perspective duale și la fel de valabile asupra „geometriei cuantice.”
Matematica are minunata abilitate de a conecta lumi diferite. Cel mai trecut cu vederea simbol din orice ecuație este umilul semn egal. Ideile curg prin el, ca și cum semnul egal conduce curentul electric care aprinde becul „Aha!” din mintea noastră. Iar liniile duble indică faptul că ideile pot curge în ambele direcții. Albert Einstein a fost un maestru absolut în găsirea ecuațiilor care exemplifică această proprietate. Să luăm E = mc2, fără îndoială cea mai faimoasă ecuație din istorie. În toată eleganța sa discretă, aceasta leagă conceptele fizice de masă și energie, care erau văzute ca fiind total distincte înainte de apariția relativității. Prin ecuația lui Einstein aflăm că masa poate fi transformată în energie și viceversa. Ecuația teoriei generale a relativității a lui Einstein, deși mai puțin atrăgătoare și mai puțin cunoscută, leagă lumile geometriei și materiei într-un mod la fel de surprinzător și frumos. Un mod succint de a rezuma această teorie este că masa îi spune spațiului cum să se curbeze, iar spațiul îi spune masei cum să se miște.
Simetria în oglindă este un alt exemplu perfect al puterii semnului egal. Acesta este capabil să conecteze două lumi matematice diferite. Una este domeniul geometriei simplectice, ramura matematicii care stă la baza unei mari părți a mecanicii. De cealaltă parte se află tărâmul geometriei algebrice, lumea numerelor complexe. Fizica cuantică permite ideilor să circule liber de la un domeniu la celălalt și oferă o neașteptată „mare unificare” a acestor două discipline matematice.
Este reconfortant să vezi cum matematica a fost capabilă să absoarbă atât de mult din raționamentul intuitiv, adesea imprecis al fizicii cuantice și al teoriei corzilor și să transforme multe dintre aceste idei în afirmații și dovezi riguroase. Matematicienii sunt aproape de a aplica această exactitate simetriei homologice în oglindă, un program care extinde foarte mult ideea originală de simetrie în oglindă a teoriei corzilor. Într-un anumit sens, ei scriu un dicționar complet al obiectelor care apar în cele două lumi matematice separate, inclusiv toate relațiile pe care le satisfac. În mod remarcabil, aceste demonstrații adesea nu urmează calea pe care argumentele fizice o sugeraseră. Se pare că nu este rolul matematicienilor să facă curățenie în urma fizicienilor! Dimpotrivă, în multe cazuri, a trebuit să se dezvolte linii de gândire complet noi pentru a găsi dovezile. Aceasta este o dovadă în plus a logicii profunde și încă nedescoperite care stă la baza teoriei cuantice și, în cele din urmă, a realității.
Niels Bohr era foarte atașat de noțiunea de complementaritate. Conceptul a apărut din faptul că, așa cum a demonstrat Werner Heisenberg prin principiul incertitudinii, în mecanica cuantică se poate măsura fie impulsul p al unei particule, fie poziția q a acesteia, dar nu ambele în același timp. Wolfgang Pauli a sintetizat în mod ingenios această dualitate într-o scrisoare către Heisenberg din 19 octombrie 1926, la doar câteva săptămâni după descoperire: „Se poate vedea lumea cu ochiul p și se poate vedea cu ochiul q, dar dacă deschizi ambii ochi, atunci devii nebun.”
În ultimii săi ani, Bohr a încercat să împingă această idee într-o filozofie mult mai largă. Una dintre perechile sale complementare preferate a fost adevărul și claritatea. Poate că perechea dintre rigoarea matematică și intuiția fizică ar trebui să fie adăugată ca un alt exemplu de două calități care se exclud reciproc. Puteți privi lumea cu un ochi matematic sau cu un ochi fizic complementar, dar nu îndrăzniți să le deschideți pe amândouă.
Acest articol a fost retipărit în limba spaniolă la Investigacionyciencia.es.
.