På den här bilden har vi två versioner av Eulers ekvationer som beskriver hur hastigheten, trycket och densiteten hos en rörlig vätska hänger samman.Ekvationerna är uppkallade efter Leonard Euler, som studerade tillsammans med Daniel Bernoulli och studerade olika strömningsdynamiska problem i mitten av 1600-talet.Ekvationerna är en uppsättning kopplade differentialekvationer och de kan lösas för ett givet strömningsproblem med hjälp av metoder från kalkylering.Även om ekvationerna verkar vara mycket komplexa är de i själva verket en förenkling av de mer generella Navier-Stokekvationerna för strömningsdynamik. Eulers ekvationer försummar effekterna av vätskans viskositet som ingår i Navier-Stokes ekvationer.En lösning av Eulers ekvationer är därför endast en approximation av ett verkligt flödesproblem.För vissa problem, som t.ex. livslängden hos ett tunt flygblad vid låg anfallsvinkel, ger en lösning av Eulers ekvationer en bra modell av verkligheten. För andra problem, som tillväxten av gränsskiktet på en platt platta, ger Eulers ekvationer inte en korrekt modell av problemet.
Vår värld har tre rumsliga dimensioner (uppåt-nedåt, vänster-högre, fram- och bakåt) och en tidsdimension. I allmänhet har Eulers ekvationer en tidsberoende kontinuitetsekvation för bevarandet av massan och tre tidsberoende ekvationer för bevarandet av rörelsemängden.Överst i figuren visar vi en förenklad, tvådimensionell, stabil form av Eulers ekvationer.Det finns två oberoende variabler i problemet,x- och y-koordinaterna för en viss domän. Det finns fyra beroende variabler, trycket p, densiteten r och två komponenter av hastighetsvektorn; u-komponenten är i x-riktningen och v-komponenten är i y-riktningen.Alla beroende variabler är funktioner av både x och y.Differentialekvationerna är därför partiella differentialekvationer och inte vanliga differentialekvationer som du studerar i en begynnande kalkylkurs.
Du kommer att märka att differentialsymbolen skiljer sig från de vanliga ”d /dt” eller ”d /dx” som du ser för vanliga differentialekvationer. Symbolen ”
” används för att beteckna partiell differentiering.Symbolen anger att vi ska hålla alla oberoende variabler fasta, utom variabeln bredvid symbolen, när vi beräknar en derivata. Ekvationerna är:
Kontinuitet: (r * u)/x + (r * v)/y = 0
X – Momentum: (r * u^2)/x + (r * u * v)/y = – p/x
Y – Moment: (r * u * v)/x + (r * v^2)/y = – p/y
Och dessa ekvationer verkar mycket komplexa, lär sig ingenjörsstudenter att härleda dem genom en process som är mycket lik den härledning som vi presenterar på webbsidan om bevarande av rörelsemängd. De två impulsekvationerna är tvådimensionella generaliseringar av impulskonserveringsekvationen. Ekvationen för massflödeshastigheten som utvecklas på webbsidan för bevarandet av massa är en endimensionell lösning av kontinuitetsekvationen som visas här.
Generaliserade lösningar av dessa ekvationer är svåra att få fram.Lägg märke till att alla de beroende variablerna förekommer i varje ekvation.För att lösa ett flödesproblem måste man lösa alla tre ekvationerna samtidigt; det är därför som vi kallar det här för ett kopplat system av ekvationer. Det finns faktiskt en annanekvation som krävs för att lösa detta system, eftersom vi bara visar tre ekvationer för fyra okända. Tidigare gjorde ingenjörer ytterligare approximationer och förenklingar av ekvationsuppsättningen tills de hade en grupp ekvationer som de kunde lösa.På senare tid har höghastighetsdatorer använts för att lösa approximationer av ekvationerna med hjälp av en mängd olika tekniker, t.ex. finita differens-, finita volym-, finita element- och spektralmetoder.Detta studieområde kallas Computational Fluid Dynamics eller CFD.
En av de förenklingsmetoder som användes tidigare var att anta att gasen hade mycket låg hastighet och att försumma effekterna av kompressibiliteten.I ett inkompressibelt flöde är densiteten konstant och vi kan ta bort den från kontinuitetsekvationen:
Kontinuitet: u/x + v/y = 0
Vi kan sedan faktorisera impulsekvationerna och använda kontinuitetsekvationen för att förenkla dem:
X – Moment: u * u/x + v * u/y = – / r
Y – Moment: u * v/x + v * v/y = – / r
Denna ekvationsuppsättning användes för att utveckla den algoritm som används i programmetFoilSimcomputer.
Aktiviteter:
Guidade turer
Navigation ..
Hemsida för nybörjare.