Geometri: Linjer och vinklar

Linjer och vinklar utgör nästan alla geometriska former. Så låt oss dyka in i geometrin genom att diskutera dessa mycket grundläggande delar av former.

Nu kan vi börja prata om geometri. Och geometri är naturligtvis studiet av former. För vissa människor som är visuellt orienterade kommer geometri väldigt naturligt. Och för andra människor som inte har utvecklat sina visuella färdigheter kan geometri vara lite svårare.

Särskilt för de personer för vilka geometri är lite svårare, kommer jag att säga följande.

Det räcker inte att bara titta på dessa videor. När du har tittat på dem, ta fram papper och en linjal och rita dessa olika former, rita dem faktiskt fysiskt på papper. Och bygg former och fysiska föremål. Du kan använda pennor, tandpetare, sugrör, allt sådant. Bygg faktiskt trianglar, bygg rektanglar och titta på dem.

Använd dina händer!

Använd dina händer, våra händer är faktiskt en del av vår intelligens. När du använder dina händer engagerar du alla delar av hjärnan. Det kommer att göra det mycket lättare, att förstå alla dessa relationer.

Så låt oss börja med linjer. Linjer är raka och de fortsätter i evighet i båda riktningarna. Här har vi en massa olika raka linjer, i en massa olika riktningar. Du måste föreställa dig att det i slutet av varje linje finns några pilar eller något liknande. Detta visar att linjerna faktiskt fortsätter i evighet i båda riktningarna.

Linjer och vinklar: Alla linjer är raka

Det är mycket viktigt att inte förväxla rakt med horisontellt. Dessa två ord har mycket olika betydelser, men ibland finns det elever som blandar ihop dem. Alla linjer är raka. Så alla linjer som vi hade på föregående bild, linjer som går i olika riktningar, alla dessa är raka linjer.

Och du kan alltid anta att en linje är rak på provet. Om den ser rak ut är den rak. Det är alltid sant i testet. Men vissa linjer dras horisontellt av bekvämlighetsskäl. Du kan dock aldrig anta att linjer är exakt horisontella eller vertikala bara för att de ser ut så. Folk blir verkligen förvirrade när det gäller detta. Du är förvirrad om du tror att horisontellt och rakt betyder samma sak.

Så vi säger att man utifrån testet kan anta att linjer är raka. Folk antar felaktigt att detta också betyder att de kan anta att linjer är horisontella, och det stämmer inte. Ett linjesegment är en ändlig bit av en linje.

Exempel

Så här har vi till exempel ett linjesegment, det har två ändpunkter. Och när dessa ändpunkter är märkta blir det lätt att diskutera.

Detta är linjesträckan AB. I testet kan AB antingen betyda linjesegmentets faktiska form. Eller så kan det betyda längden på linjesegmentet, den numeriska längden. En vinkel uppstår mellan två linjer eller två segment. Här har vi till exempel en vinkel.

Linjer och vinklar: Förstå vinklar

Detta råkar vara mellan en linje och ett segment. Det bästa sättet att förstå en vinkel är att tänka på den dynamiskt, som en handling att vrida eller rotera. Alltså med andra ord att gå från här till här. Det är vad en vinkel är, det är det dynamiska utrymmet mellan två linjer. Om vi märker punkter kan vi tala om en vinkel.

Märkning av vinklar

Vi skulle kunna kalla den här vinkeln för antingen CDE eller EDC, punkt D, vinkelns spets. Just här måste vinkelns punkt vara i mitten av namnet. Och därför kan vi kalla den antingen CDE eller EDC, så länge som hörnpunkten är i mitten. Ibland i de här videorna använder jag också det enkla vinkelnamnet, om det inte finns någon tvetydighet. Det finns till exempel bara en vinkel i det här diagrammet.

Så jag skulle kunna kalla den för vinkel D. Teoretiskt sett skulle det kunna inträffa på provet. Även om testet ofta är tillräckligt försiktigt för att alltid använda ett namn på tre bokstäver för en vinkel. Vi mäter storleken på en vinkel i grader. Testet kan ange dessa direkt, alltså 50 grader.

Alternativt kan provet märka diagrammet och ange vinkelns mått i texten. Så vinkel GFH = 50 grader eftersom de sätter bokstäver på punkterna i diagrammet. Vi kan bara använda det för att tala om det måttet, i antalet grader i texten. Det som förmodligen är det bästa sättet att göra det är att ange vinkeln med ett variabelt antal grader.

Flexibelt format för testning

Detta flexibla format gör det möjligt för dem att antingen ange vinkeln, för i texten kan de säga x = 50, eller så kan de ställa en fråga om det. De kan ge oss annan information och säga hitta x. Så de skulle gilla att göra detta. Vi ska göra en snabb genomgång av grundläggande fakta om grader. I en rak vinkel finns det 180 grader och kom förstås ihåg att en rak linje kan gå i vilken riktning som helst.

Men om det finns någon punkt på den raka linjen, hela vägen runt från den ena sidan av linjen till den andra. Det är 180 grader, det finns 90 grader i en rät vinkel. Så här har vi två linjer som skär varandra i rätvinkliga vinklar. Det finns faktiskt fyra rätvinkliga vinklar i denna skärningspunkt. Om de två linjerna eller segmenten möts i rätvinkliga vinklar kallas de vinkelräta, det är en term som du bör känna till.

Lokträdda linjer och rätvinkliga vinklar

Testet kan antingen rita den där lilla kvadraten, lodrättstecknet, som är den där lilla kvadraten, eller så kan det ange att vinkeln är 90 grader. Det kan märka 90 grader i diagrammet eller X grader och berätta i texten att X är lika med 90. Det finns många olika sätt att tala om för oss att det är en 90 graders vinkel. Anta inte att två linjer är vinkelräta om du inte uttryckligen får veta det, detta är ofta en fälla.

Förutsatt att dessa punkter förekommer som en del av ett större diagram och att ingen ytterligare information ges. Det ser verkligen ut som om de skulle kunna stå i en rät vinkel, och det är en mycket frestande sak att anta. Testet skulle gärna se att du gör misstaget att anta att linjerna är vinkelräta och att vinkeln är exakt 90 grader.

Det gör den faktiskt inte, jag har ritat det här så att vinkeln där är en vinkel på 89,6 grader. Så det är nära att vara en rät vinkel, och det kan se ut som en rät vinkel för blotta ögat. Men ingen av de speciella egenskaperna hos den rätvinkliga vinkeln är sanna.

Och i kommande videor kommer vi att prata mer om speciella egenskaper hos rätvinkeln. Ingen av de speciella egenskaperna för rätvinkeln är sanna, om vinkeln är nära 90 men inte exakt 90.

Väldigt viktigt, så du kan inte anta att två linjer är vinkelräta, om du inte har någon form av motivering för att göra det.

Linjer och vinklar: Kongruenta former

En term som jag kommer att presentera, och som förmodligen inte kommer att förekomma på provet, är kongruent. Kongruent är som lika, när det gäller former. Vi använder begreppet ”lika” för ett tal och det mycket liknande begreppet ”kongruent” för figurer.

Två former är kongruenta om de har samma form och samma storlek.

De behöver inte ha samma orientering. Så till exempel är de lila och gröna figurerna här kongruenta, den ena är vänd från den andra. Man kan säga att den ena är en högerhänt version och den andra är en vänsterhänt version, men i grunden är det samma form.

Dessa två är kongruenta, även om de har olika orientering.

Bisektorer

En bisektris skär något i två kongruenta delar. En vinkelbiisektor skär en vinkel i två mindre kongruenta vinklar. Här har vi till exempel en vinkelhalva. Om vi till exempel får veta att den stora vinkeln, PNM, är 40 grader, och att NQ delar vinkeln i två delar – då kan vi dra slutsatsen att de två mindre vinklarna vardera måste vara 20 grader.

De måste var och en vara exakt hälften lika stora som varandra, eftersom vinkeln är halverad. På samma sätt kan ett segments bisektris vara en punkt, ett annat segment eller en linje. Bisektorn delar segmentet i två lika stora halvor. Lägg märke till att segmentet ST här skär PQ i två delar. Lägg också märke till att det definitivt är sant att PQ inte skär ST, eftersom SR är klart större än RT.

Det faktum att ST delar PQ i två delar innebär alltså att R är mittpunkten i PQ och att PR = RQ. Vi har delat den i två lika stora halvor, och återigen är det alltid det som halvering innebär. Ibland kan en linje dela ett segment i två delar och samtidigt vara vinkelrät mot det. Linjen kallas då för en lodrät bisektrisk till segmentet.

Linjen VW är vinkelrät, den är vinkelhalva på TU. Varje punkt på ett segmentets vinkelhalva är lika långt från de två ändpunkterna på segmentet. Det är ett mycket praktiskt faktum att känna till, som visar sig på många olika sätt. Den lodräta bisektrisken är i själva verket mängden av alla möjliga punkter som ligger på samma avstånd från de två ändpunkterna på segmentet.

Linjer och vinklar: Nu ska vi titta på vinklar

Nu några grundläggande fakta om vinklar. Vi har redan sagt att en rät linje innehåller 180 grader. Det betyder att om två eller flera vinklar ligger i en rät linje är summan av deras vinklar 180 grader. Så till exempel kan vi anta att den långa linjen är rak. Den har inte någon slags liten böj vid den punkten.

Testet kommer inte att göra det för oss, om det ser rakt ut är det rakt. Och därför vet vi att dessa två vinklar tillsammans ger 180. Så x + y = 180. Om de två vinklarna tillsammans ger 180 kallas de för kompletterande vinklar. Två vinklar på en rak linje är alltid komplementära. Så p + q = 180.

När två linjer korsar varandra

När två linjer korsar varandra bildas fyra vinklar. Här har vi alltså två linjer som går i evighet i båda riktningarna, de måste korsas och dessa fyra vinklar bildas. De par av vinklar som står mittemot varandra och som bara har en spets gemensamt kallas vertikala vinklar, och vertikala vinklar är alltid kongruenta. Så till exempel A och C, de delar inga sidor.

Allt som a och c har gemensamt är att de berörs av ett enda hörn. De berör varandra i hörnet, b och d berör också varandra i hörnet. Och det är därför de kallas vertikala vinklar, eftersom de möts i en spets. Så vi vet att vertikala vinklar är kongruenta, vi vet att a = c och b = d. Naturligtvis är de vinkelpar som ligger bredvid varandra, a + b, b + c, alla dessa är komplementära.

De summerar alla till 180 grader, eftersom vi har vinkelpar på en linje. Om vi fick en vinkel i det här diagrammet kan vi därför hitta de andra tre. Om a = 35 vet vi till exempel att c måste vara lika stort. Det måste också vara 35 grader. Och b och d måste vara den kompletterande vinkeln 145 grader. Så att alla två par tillsammans, alla två vinklar tillsammans i ett par, summerar till 180 grader.

Linjer och vinklar: Övningsproblem ett

Här är ett övningsproblem, pausa videon och sedan ska vi prata om det här.

Okej I diagrammet är x = 40 grader och RT delar den stora vinkeln SRU ,som är en mycket stor vinkel. SRU är den kompletterande vinkeln till den 40 graders vinkeln, så SRU måste vara 180 minus 40 vilket skulle vara 140. Så SRU är 140.

Och den här vinkeln är halverad, eftersom den är halverad skärs den i två lika stora halvor. Så det finns två halvor som var och en måste vara 70 grader. SRT = 70 grader, TRU = 70 grader. Det är de två lika stora halvorna av den vinkel som delades i två delar. Lägg nu märke till att vinkeln TRV, den vinkeln består av TRU och vinkel x, som vi känner till.

Vi vet att TRU är 70 grader vi vet att vinkel X är 40 grader, så vi adderar dem tillsammans. TRV måste vara en vinkel på 110 grader. Lägg nu märke till att TRV är den vertikala vinkeln av SRW, så dessa två måste vara lika stora. Det betyder att SRW också måste vara en vinkel på 110 grader, så Y är lika med 110. Slutligen ska vi gå igenom parallella linjer.

Linjer och vinklar: Parallella linjer

Om två linjer är parallella skär de aldrig varandra, och de är alltid exakt lika långt ifrån varandra. Och återigen är detta ytterligare en av dessa egenskaper, som vinkelrätt, nära parallell, räknas inte för bönor. Man måste veta att de två linjerna är exakt parallella. Eftersom parallella linjer aldrig skär varandra bildar de naturligtvis aldrig vinklar med varandra.

Transversala linjer

Vi får dock många vinklar om en tredje icke-parallellinje skär över de två parallella linjerna. Denna tredje linje kallas för en tvärgående linje. En transversal är en linje som skär över två parallella linjer. Här har vi alltså en transversal som skär över de parallella linjerna WX och YZ. Vi får åtta änglar där.

Nu är de fyra stora änglarna alla lika stora. Och de fyra små änglarna är alla lika stora. Så med andra ord a = d = e = h och b = c = f = g, det är den stora idén. Nu bland dessa, naturligtvis kommer du kanske ihåg från geometrin att det finns alla sorters speciella namn.

Alternativ inre och samma sida yttre och motsvarande vinklar. Om du vill komma ihåg alla dessa specialnamn är det bra, det behöver du inte. Allt du behöver komma ihåg är att alla stora vinklar är lika, alla små vinklar är lika. Så här är diagrammet igen, och nu har jag märkt det så att det är tydligt att allt är lika.

Linjer och vinklar: Lägg också märke till att p och q är kompletterande vinklar. Så varje stor vinkel plus varje liten vinkel är lika med 180 grader, det är en riktigt stor idé. Om vi alltså får veta graden av någon av vinklarna här, kan vi hitta de andra sju vinklarna. Sammanfattningsvis har vi talat om linjer och linjesträckor, vi har talat om vinklar och grader.

Vi påpekade att det finns 180 grader i en rak vinkel och 90 grader i en rät vinkel. Vi pratade om vinkelhalvor och vinkelhalvor. En vinkelhalva delar upp en vinkel i två mindre lika stora vinklar. En vinkelhalva är vinkelrät mot ett segment och delar det i två lika stora halvor.

Vi pratade om hur två vinklar på en linje är kompletterande. Vertikala vinklar är kongruenta. Och vi pratade om de vinklar som bildas av en transversal som skär ett par parallella linjer. Och vi kommer att tala om många tillämpningar av dessa grundläggande idéer, i de kommande videorna.