Matematik kan vara mer av en miljövetenskap än vi tror. Även om den är ett sökande efter eviga sanningar spårar många matematiska begrepp sitt ursprung i vardagliga erfarenheter. Astrologi och arkitektur inspirerade egyptierna och babylonierna att utveckla geometrin. Studiet av mekanik under den vetenskapliga revolutionen på 1600-talet gav oss kalkyl.
Märkligt nog visar sig idéer från kvantteorin bära en enorm matematisk kraft också, trots att vi har liten daglig erfarenhet av att hantera elementarpartiklar. Kvantteorins bisarra värld – där saker och ting kan tyckas befinna sig på två ställen samtidigt och omfattas av sannolikhetslagarna – utgör inte bara en mer grundläggande beskrivning av naturen än vad som föregick den, utan ger också ett rikt sammanhang för den moderna matematiken. Skulle kvantteorins logiska struktur, när den väl är helt förstådd och absorberad, kunna inspirera till en ny matematisk värld som skulle kunna kallas ”kvantmatematik”?
Det finns naturligtvis ett långvarigt och intimt förhållande mellan matematik och fysik. Galileo skrev som bekant om en naturbok som väntar på att avkodas: ”Filosofin är skriven i denna stora bok, universum, som ständigt står öppen för vår blick. Men boken kan inte förstås om man inte först lär sig att förstå språket och läsa bokstäverna i vilka den är skriven. Den är skriven på matematikens språk.” Från modernare tider kan vi citera Richard Feynman, som inte var känd som en kännare av abstrakt matematik: ”För dem som inte kan matematik är det svårt att förmedla en verklig känsla för naturens skönhet, dess djupaste skönhet. … Om man vill lära sig om naturen, om man vill uppskatta naturen, är det nödvändigt att förstå det språk som den talar på.” (Å andra sidan konstaterade han också följande: ”Om all matematik försvann i dag, skulle fysiken bli exakt en vecka försenad”, vilket en matematiker svarade med en smart replik: ”Det var den vecka då Gud skapade världen.”)
Den matematiske fysikern och nobelpristagaren Eugene Wigner har skrivit vältaligt om matematikens fantastiska förmåga att beskriva verkligheten, och betecknat den som ”matematikens orimliga effektivitet inom naturvetenskaperna”. Samma matematiska begrepp dyker upp i många olika sammanhang. Men i dessa dagar tycks vi bevittna det omvända: kvantteorins orimliga effektivitet i den moderna matematiken. Idéer som har sitt ursprung i partikelfysiken har en kuslig tendens att dyka upp i de mest skilda matematiska områden. Detta gäller särskilt strängteorin. Dess stimulerande inflytande inom matematiken kommer att ha en varaktig och givande inverkan, oavsett vad dess slutliga roll inom den grundläggande fysiken visar sig vara. Antalet discipliner som den berör är svindlande: analys, geometri, algebra, topologi, representationsteori, kombinatorik, sannolikhet – listan kan göras lång. Man börjar tycka synd om de stackars studenter som måste lära sig allt detta!
Vad kan vara den bakomliggande orsaken till kvantteorins orimliga effektivitet? Enligt min åsikt är det nära kopplat till det faktum att i kvantvärlden sker allt som kan hända verkligen.
I ett mycket schematiskt sätt försöker den klassiska mekaniken beräkna hur en partikel färdas från A till B. Den föredragna vägen skulle till exempel kunna vara längs en geodetisk väg – en väg av minimal längd i ett krökt rum. Inom kvantmekaniken betraktar man i stället samlingen av alla möjliga vägar från A till B, hur långa och invecklade de än är. Detta är Feynmans berömda tolkning av ”summan över historier”. Fysikens lagar kommer sedan att tilldela varje väg en viss vikt som bestämmer sannolikheten för att en partikel kommer att röra sig längs just den banan. Den klassiska lösningen som lyder Newtons lagar är helt enkelt den mest sannolika bland många. Så på ett naturligt sätt studerar kvantfysiken mängden av alla banor, som en vägd ensemble, vilket gör det möjligt för oss att summera alla möjligheter.
Detta holistiska tillvägagångssätt, där man betraktar allting på en gång, ligger helt i linje med den moderna matematikens anda, där studiet av ”kategorier” av objekt fokuserar mycket mer på de inbördes relationerna än på något specifikt enskilt exempel. Det är detta fågelperspektiv på kvantteorin som ger upphov till överraskande nya samband.
Kvantkalkylatorer
Ett slående exempel på kvantteorins magi är spegelsymmetri – en verkligt häpnadsväckande ekvivalens mellan rummen som har revolutionerat geometrin. Historien börjar i enumerativ geometri, en väletablerad, men inte särskilt spännande gren av algebraisk geometri som räknar objekt. Forskare kan till exempel vilja räkna antalet kurvor i Calabi-Yau-utrymmen – sexdimensionella lösningar på Einsteins gravitationsekvationer som är av särskilt intresse inom strängteorin, där de används för att kränga ihop extra rumsdimensioner.
På samma sätt som man kan linda ett gummiband runt en cylinder flera gånger, klassificeras kurvorna i ett Calabi-Yau-utrymme med hjälp av ett heltal, som kallas graden, och som mäter hur ofta de lindas runt. Att hitta antalet kurvor med en given grad är ett berömt svårt problem, även för det enklaste Calabi-Yau-rummet, det så kallade kvintiska. Ett klassiskt resultat från 1800-talet anger att antalet linjer – kurvor av grad ett – är lika med 2 875. Antalet grad-två-kurvor beräknades först runt 1980 och visar sig vara mycket större: 609 250. Men antalet kurvor av grad tre krävde hjälp av strängteoretiker.
Omkring 1990 bad en grupp strängteoretiker geometriker att beräkna detta antal. Geometrarna utarbetade ett komplicerat datorprogram och kom tillbaka med ett svar. Men strängteoretikerna misstänkte att det var felaktigt, vilket tydde på ett fel i koden. Efter kontroll bekräftade geometrikerna att det fanns ett sådant, men hur visste fysikerna det?
Strängteoretiker hade redan arbetat med att översätta detta geometriska problem till ett fysiskt problem. Därmed hade de utvecklat ett sätt att beräkna antalet kurvor av vilken grad som helst på en gång. Det är svårt att överskatta chocken över detta resultat i matematiska kretsar. Det var lite som att utforma ett sätt att bestiga varje berg, oavsett hur högt det är!
Inom kvantteorin är det helt logiskt att kombinera antalet kurvor av alla grader i en enda elegant funktion. Sammansatt på detta sätt har den en okomplicerad fysikalisk tolkning. Den kan ses som en sannolikhetsamplitud för en sträng som fortplantar sig i Calabi-Yau-rummet, där summa-över-historier-principen har tillämpats. Man kan tänka sig att en sträng kan undersöka alla möjliga kurvor av varje möjlig grad samtidigt och är därmed en supereffektiv ”kvantkalkylator.”
Men det krävdes en andra ingrediens för att hitta den faktiska lösningen: en likvärdig formulering av fysiken med hjälp av ett så kallat ”spegel” Calabi-Yau-rum. Termen ”spegel” är bedrägligt enkel. I motsats till hur en vanlig spegel reflekterar en bild är här det ursprungliga rummet och dess spegel av mycket olika form; de har inte ens samma topologi. Men inom kvantteorins område delar de många egenskaper. I synnerhet visar sig strängutbredningen i de båda rummen vara identisk. Den svåra beräkningen på den ursprungliga manifestet översätts till ett mycket enklare uttryck på den speglade manifestet, där den kan beräknas med en enda integral. Et voilà!
Dualitet av likheter
Spegelsymmetri illustrerar en kraftfull egenskap hos kvantteorin som kallas dualitet: Två klassiska modeller kan bli likvärdiga när de betraktas som kvantsystem, som om man viftar med en trollstav och alla skillnader plötsligt försvinner. Dualiteter pekar på djupa men ofta mystiska symmetrier i den underliggande kvantteorin. I allmänhet är de dåligt förstådda och en indikation på att vår förståelse av kvantteorin i bästa fall är ofullständig.
Det första och mest kända exemplet på en sådan ekvivalens är den välkända partikel-våg-dualiteten som säger att varje kvantpartikel, till exempel en elektron, kan betraktas både som en partikel och som en våg. Båda synsätten har sina fördelar och erbjuder olika perspektiv på samma fysiska fenomen. Den ”rätta” synvinkeln – partikel eller våg – bestäms enbart av frågans natur, inte av elektronens natur. Spegelsymmetriens två sidor erbjuder dubbla och lika giltiga perspektiv på ”kvantgeometri”
Matematiken har den underbara förmågan att koppla samman olika världar. Den mest förbisedda symbolen i en ekvation är det ödmjuka likhetstecknet. Idéer flödar genom det, som om likhetstecknet leder den elektriska strömmen som tänder glödlampan ”Aha!” i vårt sinne. Och de dubbla linjerna visar att idéer kan flöda i båda riktningarna. Albert Einstein var en absolut mästare på att hitta ekvationer som exemplifierar denna egenskap. Ta E = mc2, som utan tvekan är historiens mest kända ekvation. I all sin diskreta elegans kopplar den samman de fysikaliska begreppen massa och energi, som före relativitetsteorins tillkomst betraktades som helt skilda. Genom Einsteins ekvation lär vi oss att massa kan omvandlas till energi och vice versa. Ekvationen i Einsteins allmänna relativitetsteori är visserligen mindre catchy och välkänd, men den kopplar samman geometri och materia på ett lika överraskande och vackert sätt. Ett kortfattat sätt att sammanfatta den teorin är att massan talar om för rummet hur det ska kröka, och rummet talar om för massan hur den ska röra sig.
Spegelsymmetri är ett annat perfekt exempel på likhetstecknets kraft. Det kan koppla samman två olika matematiska världar. Den ena är den symplektiska geometrins värld, den gren av matematiken som ligger till grund för mycket av mekaniken. På den andra sidan finns den algebraiska geometrins värld, de komplexa talens värld. Kvantfysiken gör det möjligt för idéer att fritt flöda från det ena fältet till det andra och ger en oväntad ”stor förening” av dessa två matematiska discipliner.
Det är betryggande att se hur matematiken har kunnat absorbera så mycket av det intuitiva, ofta oprecisa resonemanget inom kvantfysiken och strängteorin, och omvandla många av dessa idéer till rigorösa påståenden och bevis. Matematikerna är nära att tillämpa denna exakthet på homologisk spegelsymmetri, ett program som kraftigt utvidgar strängteorins ursprungliga idé om spegelsymmetri. På sätt och vis skriver de en fullständig ordbok över de objekt som förekommer i de två separata matematiska världarna, inklusive alla relationer som de uppfyller. Anmärkningsvärt nog följer dessa bevis ofta inte den väg som fysiska argument hade föreslagit. Det är tydligen inte matematikernas roll att städa upp efter fysikerna! Tvärtom måste man i många fall utveckla helt nya tankegångar för att hitta bevisen. Detta är ytterligare ett bevis på den djupa och ännu oupptäckta logik som ligger till grund för kvantteorin och i slutändan för verkligheten.
Niels Bohr var mycket förtjust i begreppet komplementaritet. Begreppet uppstod ur det faktum att man inom kvantmekaniken, som Werner Heisenberg bevisade med sin osäkerhetsprincip, kan man inom kvantmekaniken mäta antingen en partikels rörelsemängd p eller dess position q, men inte båda samtidigt. Wolfgang Pauli sammanfattade denna dualitet på ett klokt sätt i ett brev till Heisenberg daterat den 19 oktober 1926, bara några veckor efter upptäckten: ”Man kan se världen med p-ögat och man kan se den med q-ögat, men om man öppnar båda ögonen blir man galen.”
På senare år försökte Bohr att föra in denna idé i en mycket bredare filosofi. Ett av hans favoritkomplementära par var sanning och klarhet. Kanske bör paret matematisk stringens och fysisk intuition läggas till som ett annat exempel på två kvaliteter som utesluter varandra. Du kan se på världen med ett matematiskt öga eller med ett kompletterande fysiskt öga, men våga inte öppna båda.
Denna artikel har återgivits på spanska på Investigacionyciencia.es.