Modellering av flerflagelliga bakterier
Vi börjar med att bygga upp en beräkningsmodell av en peritrikisk bakterie, som beskrivs i avsnittet Metodik och med matematiska detaljer i tilläggsinformation. Vi betraktar en bakterie som drivs av Nf flageller (fig. 2A) med en cellkropp i form av en prolaterad ellipsoid. Varje flagell består av: (i) en roterande motor som genererar en fast rotationshastighet runt flagellarfilamentets axel, (ii) en kort flexibel krok som behandlas som en torsionsfjäder runt motoraxeln vars hydrodynamik kan försummas17, (iii) ett spiralformigt flagellarfilament av normal vänsterhänt polymerisk form vars hydrodynamik fångas med slankkroppsteorin24. Parametrarna för motor och filament har valts så att de stämmer överens med parametrarna för E. coli-bakterier7 (tabell S1 i tilläggsinformationen). Varje spiralformad filament har en avsmalnande ände så att spiralradien är noll vid dess fästpunkt vid motorn25. Flagellära filament kan rotera men inte translatera i förhållande till sin fästpunkt på cellkroppen, och medan rotationen kring helixaxeln påtvingas av motorn, löses alla ytterligare rotationer i förhållande till kroppen. Vi försummar hydrodynamiska interaktioner mellan cellkroppen och flagellarfilamenten men inkluderar steriska interaktioner för att förhindra att filamenten kommer in i kroppen. För varje krok använder vi θ för att beteckna lutningsvinkeln mellan det normala till cellkroppen vid motorns placering och flagellarfilamentets axel (dvs. när θ = 0 är filamentet normalt till cellkroppen). Det återställande elastiska momentet som varje motor påtvingar flagellarfilamentet modelleras som en torsionsfjäder med fjäderkonstanten \(K=EI/{\ell }_{h}\), där EI och \({\ell }_{h}\) är krokens böjstyvhet respektive längd16. Storleken på återställningsmomentet ges således av K|θ| och krokens elasticitet verkar för att rikta in spiralaxeln i linje med cellkroppens normal. Beräkningsmodellen löser de momentana positionerna för flagellarfilamenten och för cellkroppens simningshastighet, Ub, och vinkelhastighet, Ωb, som en funktion av krokens styvhet.
(A) Beräkningsmodell av en peritrikisk bakterie som aktiverar Nf spiralformade filament (radie Rh; lutningsvinkel β) genom att rotera dem runt sin axel \(\hat{{{\bf{k}}}\) med föreskriven vinkelhastighet. Den flexibla kroken agerar elastiskt för att anpassa spiralaxeln till den normala \(\hat{{{\bf{N}}}}\) till cellkroppen. (B) Förenklad modell för att fånga den elastohydrodynamiska instabiliteten. Två raka aktiva filament med längden \(\ell \) som är fästa på vardera sidan av en sfärisk kropp med radien \(a\) lutas i en vinkel ±θ bort från cellkroppens ytnormal \(\hat{{{\bf{N}}}}}\) och verkar på cellen med en tangentiell kraft \(f\ell \hat \hat{{{\bf{t}}}}}) som resulterar i att modellbakterien simmar med hastigheten \(U\hat{{{{\bf{y}}}}\).
Pusherbakterier med flexibla krokar genomgår en simningsinstabilitet
En granskning av resultaten från vår beräkningsmodell avslöjar en anmärkningsvärd elastohydrodynamisk instabilitet, som illustreras i figur 3 i fallet Nf = 4 flageller, det genomsnittliga antalet flageller på en E. coli-cell6. Motorerna är placerade symmetriskt runt cellkroppens yta. Vi börjar beräkningarna med varje flagellarfilament lutat i en liten vinkel bort från det normala till ytan och låter systemet marschera framåt i tiden samtidigt som vi följer cellens position i laboratorieramen och flagellarfilamentens position i förhållande till cellkroppen. Tillhörande filmer finns tillgängliga online (se tilläggsinformation).
Simrörelse för en bakterie som simmar med Nf = 4 flageller med en flexibel vs. styv krok. (A) Initialt läge och konformation för varje cell. (B) Pushercell med flexibel krok vid t = 200 (tider skalade med flagellans rotationshastighet). (C) Pushercell med styv krok vid t = 200. (D) Avstånd som varje simmare tillryggalagt (icke-dimensionerat av de spiralformade filamentens stigning) som en funktion av tiden för fyra olika simmare: styv (diamanter) jämfört med flexibel krok (fyrkanter) och pusher (fyllda symboler) jämfört med puller (tomma).
I fig. 3A-C illustrerar vi banan för en pusherbakterie (dvs. en cell med flagellarfilament som genomgår normal CCW-rotation) med två olika krokstyvheter över en tidsskala t = 200 (tid nondimensionaliserad av flagellernas rotationshastighet). Båda startar på samma plats (A), men cellen med den flexibla kroken (K = 0,1) slutar med sina flagellarfilament helt insvepta i ryggen och kan simma fem gånger så snabbt (B) som cellen med den styva kroken (K = 100) vars flagellarfilament har förblivit i samma utspridda konfiguration (C). Detta kvantifieras i figur 3D där vi plottar den tillryggalagda nettoavståndet som en funktion av tiden (skalat med spiralens stigning). Cellen med en flexibel krok (fylld kvadrat) simmar konsekvent snabbare än den styva (fylld diamant). Om vi alternativt vänder på flagellernas rotationsriktning så att de roterar medurs (CW) blir cellen en dragare och övergår inte till snabb simning för varken en flexibel krok (tomma rutor) eller en styv (tomma diamanter). Observera att de två styva fallen (pushers och pullers; diamanter) har identisk simningsstorlek, vilket är en följd av den kinematiska reversibiliteten hos Stokesflöden5. Viktigt är att övergången till snabb simning för flexibla pusherbakterier inte sker jämnt med förändringar i krokens styvhet utan i stället sker den vid ett kritiskt dimensionslöst värde Kc ≈ 1 (icke-dimensionaliserat med hjälp av vätskans viskositet, den spiralformade filamentens stigning och rotationsfrekvensen). Över Kc förblir alla flageller normala till cellen (θ ≈ 0), vilket leder till försumbar simning, medan alla flageller under Kc lindar sig bakom cellen (|θ| ≈ π/2), vilket leder till en nettokörning.
Denna skarpa övergång har inte sitt ursprung i en bockningsinstabilitet hos kroken, som här endast modelleras på nivån av en torsionsfjäder16. Instabiliteten beror i stället på den dubbelriktade kopplingen mellan flagellans konformation och cellens rörelse. För att reda ut fysiken bakom denna instabilitet betraktar vi mer i detalj fallet med en sfärisk cellkropp och två flageller, vilket är den minsta konfiguration som kan visa instabiliteten samtidigt som den fångar samma fysik som geometriskt komplexa fall (se tillhörande filmer i den kompletterande informationen). De stationära beräkningsresultaten i detta fall visas i huvuddelen av figur 4 (symboler och tunna linjer) för vinkeln θ mellan flagelltrådarnas axel och cellkroppen (A) och för cellens nettosimningshastighet U i lab-frame (B). Medan flagellakonformationen hos dragbakterier är oberoende av krokstyvheten och leder till noll simning (ljusröda cirklar), uppvisar pusherceller tydligt ett plötsligt hopp till en inlindad konformation och en nettolokomotion för en krokstyvhet under Kc ≈ 0.79 (mörkblå cirklar).
Steady-state flagellas lutningsvinklar (|θ|, A) och lab-frame simningshastigheter (U, B) för den fullständiga beräkningsmodellen i fig. 2A med två flageller (symboler och tunna linjer) och för den enkla aktiva filamentmodellen i fig. 2B (tjocka linjer) som funktion av den dimensionslösa krokfjäderkonstanten K. Grön linje och ljusröda symboler: dragbakterie för vilken det icke-simmande tillståndet alltid är stabilt; Mörkröd linje och mörkblå symboler: dragbakterie som genomgår en övergång till simning för K < Kc. Den streckade linjen visar den kritiska fjäderkonstanten som förutsägs teoretiskt, Kc ≈ 0,53.
Analytisk modell av den elastohydrodynamiska instabiliteten
Den observerade dynamiken kan fångas av en analytisk modell som visar att simning sker som ett resultat av en linjär elastohydrodynamisk instabilitet. Vi betraktar den enkla geometriska modell som illustreras i figur 2. Två raka aktiva filament med längden \(\ell \) är symmetriskt fastsatta på vardera sidan av en sfärisk cellkropp med radie a och lutas med symmetriska vinklar ±θ bort från kroppens ytnormal, \(\hat{{\bf{N}}}\) (observera att det asymmetriska lutningsläget, som inte beaktas här, skulle leda till en övergång i rotation i stället för translation). Varje filament, som är elastiskt fäst vid cellkroppen via en krok som modelleras som en torsionsfjäder med styvhet K, trycker på cellen i tangentiell riktning med en drivkraftstäthet \(f\hat{{\bf{t}}}}\), vilket resulterar i att bakterien simmar med hastigheten \(U\hat{{\bf{y}}}}\) (se fig. 2 för all notation). För CCW-rörelse pekar framdrivningskrafterna mot cellkroppen (f < 0) och cellen är en skjutare. För CW-rörelse däremot pekar framdrivningskrafterna bort från cellen (f > 0) och simmaren är en dragare.
Simningshastigheten (U) och förändringshastigheten för konformationen hos filamenten (\(\dot{\theta }\)) kan erhållas genom att man tvingar fram en kraft- och momentbalans. Genom att använda c|| och c⊥ för att beteckna motståndskoefficienterna för en slank filament som rör sig parallellt med respektive vinkelrätt mot dess tangent (se tilläggsmaterial), kan man beräkna kraftbalansen på hela cellen i simningsriktningen, \(\hat{{{\bf{y}}}\), skrivs som
där de två första termerna beror på dragningen på cellkroppen och på de aktiva filamenten på grund av simning, den tredje termen är dragningen på filamenten på grund av rotation och den sista termen är den totala framdrivningskraften som verkar på cellen.
Den andra ekvationen kommer från balansen av momentet på varje aktiv filament, skriven i \(\hat{{{\bf{z}}}=\hat{{{\bf{x}}}\times \hat{{\bf{y}}}}\) riktning vid fästpunkten på cellytan som
där den första termen är det hydrodynamiska momentet på grund av filamentets rotation, den andra termen är det hydrodynamiska momentet på grund av simmotståndet och den sista termen är det elastiska återställningsmomentet från kroken som verkar för att återföra filamentet till dess raka konfiguration. Kombinationen av ekv. (1) och (2) leder till en utvecklingsekvation för θ
När det elastiska momentet dominerar är den raka konfigurationen θ = 0 det enda stabila tillståndet som är förknippat med ingen simning. Om det elastiska momentet istället är försumbart blir simtillstånden med θ = ±π/2 möjliga jämvikter.
För att undersöka hur en variation av krokens styvhet möjliggör övergång från ett tillstånd till nästa löser vi Eq. (3) numeriskt med lämpliga värden för flagellarfilamenten för en simmande E. coli-cell av vildtyp och med hjälp av storleken på f som leder till överensstämmelse med de fullständiga beräkningarna vid noll krokstyvhet (se tilläggsmaterial). Vi börjar med små störningar runt θ = 0 och beräknar långtidstillståndet i ekv. (3), med resultat som illustreras i fig. 4 för både pusher (mörkröd linje) och puller (grön linje). Puller-cellerna simmar aldrig för något värde på krokstyvheten, och den raka konfigurationen θ = 0 är alltid stabil. Pushers kan däremot inte simma för krokar som är styvare än ett kritiskt värde utan genomgår en plötslig övergång till direkt simning för mjukare krokar, vilket stämmer utmärkt överens med beräkningarna av det fullständiga fallet med två flageller (symboler i fig. 4).
Den plötsliga övergången till simning för en kritisk krokstyvhet kan förutsägas analytiskt genom att linjärisera Eq. (3) nära jämvikten vid θ = 0, vilket leder till
Om f är positiv (puller) så är konfigurationen med θ = 0, som är associerad med ingen simning U = 0, alltid linjärt stabil mot små störningar för varje värde av K. Däremot är pushers med f < 0 linjärt instabila för K < Kc så att den högra sidan av ekv. (4) blir positiv, dvs. \({K}_{c}=-\,f{c}_{\perp }{\ell }^{3}/(2{c}_{\perp }\ell +6\pi \mu a)\). En linjär elastohydrodynamisk instabilitet gör det därför möjligt för pusherbakterier med tillräckligt flexibla krokar att dynamiskt övergå till en asymmetrisk konformation (θ ≠ 0) med nettosimning (U ≠ 0). Observera att den enkla teoretiska modellen (linjär stabilitet och numerisk lösning av Eq. 3) förutsäger en kritisk dimensionslös styvhet på Kc ≈ 0,53, vilket stämmer överens med beräkningarna för den fullständiga bakteriemodellen, Kc ≈ 0,79.